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文档简介

1、1,第二节 极限,数列极限定义,极限的唯一性（定理1）,收敛数列的有界性（定理2）,一 、 数列的极限,有界数列、单调数列的定义,2,1.数列的有界性和单调性：,例如：数列,(1)有界性:,有界,无界,3,几何解释,4,(2)单调性:,单调增加,单调减少,三个数列都可称为单调数列,不具有单调性,不是单调数列,5,定义：,2.数列极限的定义,给定数列 ，如果当 无限增大时， 无限趋近于某个确定的常数 ，则称 为 趋于无穷时数列 的极限。,描述定义,6,正确理解数列极限,7,由此可看出：收敛的数列必有界,8,定理1（极限的唯一性）,3. 有关数列收敛的性质,9,定理2 （收敛数列的有界性）,如数列

2、：,10,4 、数列的新定义 （13页）,数列,可以看作是定义在正整数集上的函数，,即有,称,为整标函数。数列是特殊的函数,反之不一定成立,不存在,不存在,本书主要讨论函数的极限,11,子数列的概念:,子数列的表示：,12,收敛数列与其子数列的关系:,定理3,证:,13,证,设,即,即,（记录）,证明数列发散时，可采用下列两种方法：,I ) 找两个极限不相等的子数列；,II) 找一个发散的子数列。,14,问题：,1. 若,2对于某一正数 如果存在正整数N 使得当nN时 有| a| 是否有 a (n ),3如果数列 收敛 那么数列 一定有界 发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?,4 数列

3、的子数列如果发散 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛 但其极限不同 原数列的 收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？,5 如何判断数列 1 1 1 1 是发散的？,15,二、例题,例1 用定义（ ）证明,证明,只须：,即,取,所以,注：用定义证明数列极限存在的步骤（寻找正整数N的方法）,（学习指导P 4 例1.4）,要使,设 ，构造 ，放大,16,例2 （记录） 用定义证明,这样的限制对数列极限的存在是否有影响？,由于改变数列 的有限项对数 列的极限没有 影响，所以在 选择不等式放 大时，可以对 n值做一些限定。,17,注: 发散数列也可能有收敛的子数列,例3, 证明数列发散时，可采用下列两种方法：,I ) 找两个极限不相等的子数列；,II) 找一个发散的子数列。,18,例5,（06年考研题 数学三）,解：,=1,求,例6（记录） 已知,求,解：,（k=1,2,3,),19,求,解：,从而,记录,作业：习题1-3 作业纸 P2 ， 4

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