珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学

1、珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学试题与参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1.（集合）已知集合，则（）A. B. C. D. 2.（复数的除法）复数（）A. B. C. D. 3.（函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（）A B C D4.（充要条件）在中，“”是“”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5.（向量）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A B C D6.（线性规划）已知满足约束条

2、件，则的最小值为（ ）A . B. C. D. 7.（三视图）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: ）则该组合体的体积为（）A. 72000 B. 64000 C. 56000 D. 44000 8.（信息题）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：在内是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置.9.（绝对值不等式）不等式的解集是 10.（二项展开式）在二项式的展

3、开式中，含项的系数是，则实数的值为 11.（等比数列）设等比数列的公比，则 12.（导数）直线是函数的切线，则实数 13.（解三角形）在中，则 14（几何证明选讲选做题）如图， 圆的直径 . 15(极坐标选做题）极坐标系中，曲线上的点到直线的距离的最大值是 .三、解答题:本题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分16.（三角函数）已知函数 （1）求的最小正周期和最小值； （2）若且，求的值.17.（概率）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数

4、如下表班级一二三四人数3234（1）从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一个软件，其中A、B两个软件学习的概率每个都是，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为，求的分布列和数学期望。18.（立几）在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为,构成一个三棱锥（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求二面角的余弦值19.（数

5、列）若正数项数列的前项和为，首项，点在曲线上. （1）求； （2）求数列的通项公式；（3）设,表示数列的前项和,若恒成立，求及实数的取值范围.20（圆锥曲线）已知点的坐标分别是、，直线相交于点，且它们的斜率之积为(1)求点轨迹的方程；(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点，试求面积的取值范围（为坐标原点）21.（导数）已知函数（1）当时，求在上的最小值；（2）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围珠海市2013年9月高三摸底考试理科数学试题与参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出

6、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1.（集合）已知集合，则（）A. B. C. D. 2.（复数的除法）复数（）A. B. C. D. 3.（函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（）A B C D4.（充要条件）在中，“”是“”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5.（向量）如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（）A B C D6.（线性规划）已知满足约束条件，则的最小值为（ ）A . B. C. D. 7.（三视图）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: ）则该组合体的体

7、积为（）A. 72000 B. 64000 C. 56000 D. 44000 8.（信息题）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：在内是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置.9.（绝对值不等式）不等式的解集是 10.（二项展开式）在二项式的展开式中，含项的系数是，则实数的值为 11.（等比数列）设等比数列的公比，则 12.（导数）直线是函数的切线，则实数 13.（解

8、三角形）在中，则 4 14（几何证明选讲选做题）如图， 圆的直径 . 15(极坐标选做题）极坐标系中，曲线上的点到直线的距离的最大值是 .三、解答题:本题共有6个小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分16.（三角函数）已知函数 （1）求的最小正周期和最小值； （2）若且，求的值.解：（1），4分所以，当时，有最小值6分（2），所以10分因为，所以，所以，所以12分17.（概率）某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A、B、C三种软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表班级一二三四人数3234（1）

9、从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率（2）从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选择A、B两个软件学习的概率每个都是，且他们选择A、B、C任一款软件都是相互独立的。设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为，求的分布列和数学期望。解：(1)设“从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级”的事件为则3分答：从这12人中随机抽取2人，这2人恰好来自同一班级的概率是4分(2) 5分由题设知，每个人选软件C概率均为6分10分的分布列如下的期望是 12分18.（立几）在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N

10、分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为,构成一个三棱锥（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）证明平面；（3）求二面角的余弦值解：（1）平行平面1分证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）所以平行2分因为，所以平行平面4分（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变因为在折叠前，由于折叠后，点，所以5分因为，所以平面8分（3）解：所以是二面角的平面角. 10分因为，所以. 在中， ，由于，所以，于是13分所以，二面角的余弦值为14分19.（数列）若正数项数列的前项和为，首项，点在曲线上. （1）求； （2）求数列的

11、通项公式；（3）设,表示数列的前项和,若恒成立，求及实数的取值范围.解：（1）因为点在曲线上，所以.分别取和，得到，由解得，.4分（2）由得.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列所以， 即6分由公式，得所以8分（3）因为，所以，10分显然是关于的增函数， 所以有最小值，12分由于恒成立，所以，13分于是的取值范围为.14分20（圆锥曲线）已知点的坐标分别是、，直线相交于点，且它们的斜率之积为(1)求点轨迹的方程；(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点，试求面积的取值范围（为坐标原点）解：（1）设点的坐标为，2分整理，得，这就是动点的轨迹方程4分（2）由题意知直线的斜率存在，设的方程为 5分将代入得：6分由，解得7分设，则 8分10分11分令,所以所以13分所以14分21.（导数）已知函数（1）当时，求在上的最小值；（2）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；（3）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围解：（1）当，2分于是，当在上变化时，的变化情况如下表：（，1）1（1,2）20单调递减极小值0单调递增由上表可得，当时函数取得最小值0. 4分（2），因