边值问题的数值解法在具体求解常微分方程时

1、8.6 边值问题的数值解法,因此，边值问题变成求合适的 ，使上述方程组初值问题的解满足原边值问题 的右端边界条件 ，从而得到边值问题的解。这样，把一个两点边值问 题的数值解问题转化为一阶方程组初值问题的数值解问题。方程组初值问题的 所有数值方法在这里都可以使用。问题的关键是如何去找合适的初始斜率的试 探值 。 对给定的 ，设初值问题（8.6.3）的解为 ，它是 的隐函数。 假设 随 是连续变化的，记为 ，于是我们要找的 就是方程,的根。可以用第6章的迭代法求上述方程的根。比如用割线法有,（8.6.5）,这样，可以按下面简单的计算过程进行求解。先给定两个初始斜率 ， 分别作为初值问题（8.6.4

2、）的初始条件。用一阶方程组的数值方法求解它 们，分别得到区间右端点的函数的计算值 和 。如果 或 ，则以 或 作为两点边值问题的解。否则 用割线法（8.6.5）求 ，同理得到 ，再判断它是否满足精度要求 。如此重复，直到某个 满足 ，此时得到 的 和 就是边值问题的解函数值和它的一阶导数值。上述方程 好比打靶， 作为斜率为子弹的发射， 为靶心，故称为打靶法。,为线性两点边值问题（8.6.2）的解。 例 8.7 用打靶法求解线性边值问题,的打靶法计算值 ，部分点上的计算值、精确值和误差列于表 8-12。,要求误差不超过 ，其解析解是 。 解 对应于（8.6.4）的初值问题为,对于每一个 ，取 h

3、=0.02 ，用经典R-K法求解。初选 ，求得 =11.4889，则有 。再选 ，求得 =11.8421，则有 。以 作为割线法迭代初 值，由割线法计算,由此得 ，仍然不满足精度要求。由 和 用割线法得到 。重复这个过程，直到 ，再求解相应 的初值问题，得到 ，有 。于 是得到边值问题的解 ，打靶过程和边值问题的计算 解分别列于表8-13和8-14,计算结果表明打靶法的效果是很好的，计算精度取决于所选取的初值问题数 值方法的阶和所选取的步长 h 的大小。不过，打靶法过分依赖于经验，选取试射 值，有一定的局限性。,差分方法是解边值问题的一种基本方法，它利用差商代替导数，将微分方程 离散化为线性或

4、非线性方程组（即差分方程）来求解。 先考虑线性边值问题（8.6.2）的差分法。将区间 分成 n 等分，子区间的 长度 ，分点 。由,8.6.2 差分方法,忽略余项，将差商分别代替（8.6.2）式中节点 处的一阶和二阶导数，实现离 散化。设 ，用 近似表示 ，建立 差分方程,这是一个三对角方程组。 若 ，且步长满足 ，则方程组（8.6.8）的系 数矩阵是严格对角占优的。此时，方程组（8.6.8）的解存在惟一，用追赶法求解 此方程组时一定是数值稳定的，用 Jacobi迭代法求解此方程组时一定是收敛的。,其中 。因此，当 时，差分方程的解收敛到微分方 程边值问题的解。 在应该用上，有时边界条件按以下

5、方式给出：,若 ，则由常微分方程的理论得出，两 点边值问题（8.6.2）的解存在惟一。设 是差分问题（8.6.8），而 是边 值问题（8.6.2）的解 在节点 的值， ，则截断误差有下列 估计式,这里 均为已知常数。这时，边界条件中所包含的导数也要替换成 相应的差商：,其解析解是 。 解 本题的 。取 ，由方程组（8.6.8）得,解此方程组得 。而解析解是 。由于节点少，步长太大，所以计算精度差。 当 n=10 时， ，部分计算结果列于表 8-15。当 n=20 时，近似解误差的 最大绝对值不超过 。当 n=500 时，误差的最大绝对值不超过 。因此，随着节点数的增加，精度提高。,对于非线性两点边值问题，其离散化后所得到的方程组是非线性的。 下面说明用有限差分求非线性边值问题（8.6.1）的数值解。区间划分与离 散化方法同线性情形，得到在 处的差分方程：,利用边界条件 ，将它们分别代入 k=1 和 k=n-1 的两个方程中， 并将已知量移到方程的右边，得到关于 的非线性方程组