命题及其关系课件

1、第一章,常用逻辑用语,本章内容,1.1 命题及其关系,1.2 充分条件与必要条件,1.3 简单的逻辑联结词,1.4 全称量词与存在量词,第一章 小结,1.1 命题及其关系,1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系,1.1.1 命题,1.1.1 命题,返回目录,1. 什么是命题? 它的结构形式是怎样的?,2. 什么是真命题? 什么是假命题? 如何判断命题的真假?,问题1. 从语言的角度讲, 下列句子各属什么类型? 能判断它们的真假吗? (1) 若直线 a/b, 则直线 a 和直线 b 无公共点. (2) 2+4=7. (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行吗? (4) x10是一个

2、比较大的数. (5) 1010这个数太大了! (6) 求 3 除以 2 的余数.,(1)(2)(4)是陈述句,(3)是疑问句,(5)是感叹句,(6)是祈使句.,能判断真假的是陈述句中的(1)(2).,问题1. 从语言的角度讲, 下列句子各属什么类型? 能判断它们的真假吗? (1) 若直线 a/b, 则直线 a 和直线 b 无公共点. (2) 2+4=7. (3) 垂直于同一条直线的两个平面平行吗? (4) x10是一个比较大的数. (5) 1010这个数太大了! (6) 求 3 除以 2 的余数.,一般地, 我们把用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫

3、做真命题, 判断为假的语句叫做假命题.,真命题.,假命题.,不能判断真假, 不是命题.,例1. 判断下列语句中哪些是命题? 是真命题还是假命题? (1) 空集是任何集合的子集; (2) 若整数 a 是素数, 则 a 是奇数; (3) 指数函数是增函数吗? (4) 若空间中两条直线不相交, 则这两条直线平行; (5) (6) x15.,解:,(3)不是陈述句;,(6)是陈述句但不能判断真假;,(1)(2)(4)(5)是能判断真假的陈述句, 所以(1)(2)(4)(5)是,命题,其中(1)(5)是真命题, (2)(4)是假命题.,命题通常由 “条件” 和 “结论” 两部份组成, 写成,“若 p,

4、则 q”,的形式, p 是命题的条件, q 是命题的结论.,例2. 指出下列命题中的条件 p 和结论 q: (1) 若整数 a 能被 2 整除, 则 a 是偶数; (2) 若四边形是菱形, 则它的对角线互相垂直且平分.,解:,(1),条件 p: 整数 a 能被 2 整除,结论 q: a 是偶数.,(2),条件 p: 四边形是菱形,结论 q: 它的对角线互相垂直且平分.,有些命题没有明显的 “若 p, 则 q” 的形式,如下例:,例3. 将下列命题写成 “若 p, 则 q” 形式, 并判断真假: (1) 垂直于同一条直线的两条直线平行; (2) 负数的立方是负数; (3) 对顶角相等.,解:,(

5、1),若两条直线垂直于同一条直线, 则这两条,直线平行.,这是个假命题.,垂直同一条直线的两直线也可能,平行, 也可能相交, 也可能异面.,例3. 将下列命题写成 “若 p, 则 q” 形式, 并判断真假: (1) 垂直于同一条直线的两条直线平行; (2) 负数的立方是负数; (3) 对顶角相等.,解:,(2),若一个数是负数, 则这个数的立方也是,这是个真命题.,负数.,一个负数的奇次方仍是负数.,例3. 将下列命题写成 “若 p, 则 q” 形式, 并判断真假: (1) 垂直于同一条直线的两条直线平行; (2) 负数的立方是负数; (3) 对顶角相等.,解:,(3),如果两个角是对顶角,

6、那么这两个角,这是个真命题.,相等.,平面几何中有对顶角相等的定理.,练习(补充),1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(1),若一个函数是奇函数, 则这个函数的图象,过原点.,这是个假命题.,奇函数的图象过原点, 必须保证,定义域包

7、含 0.,如 是奇函数, 但图象不过原点.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(2),若一个角的正弦函数值为正, 则这个角的终,边在第一象限.,这是个假命题.,正弦函数值为正的角, 其终边可能,在第二象限, 也可能与 y 轴的非负半

8、轴重合.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(3),若两条直线不相交, 则这两条直线不可能都,是平行线.,这是个真命题.,不相交的两条直线不会都是平行线,它们有可能平行, 有可能异面.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q”

9、的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(4),若函数 f(x) 满足 f(a)f(b)0, 则函数 f(x) 在,区间 (a, b) 内无零点.,这是个假命题.,f(x) 在区间 a, b 内不是单调函数时,即使 f(a)f(b)0, 在区间 (a, b) 内, f(x) 也可能有

10、零点.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(5),若一个数列的递推式为 an+1=kan (k0),则这个数列是等比数列.,这是个假命题.,数列的各项为 0 时, 结论就不成立.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式

11、, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a, b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,1. 请将下列命题写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断其真假. (1) 奇函数的图象一定过原点. (2) 正弦函数值为正的角的终边在第一象限. (3) 不相交的两条直线不都是平行直线. (4) 由 f(a)f(b)0 得 f(x) 在区间 (a,

12、b) 内无零点. (5) 形如 an+1=kan (k0) 的递推数列是等比数列. (6) 互相垂直的两非零向量的和向量与差向量的模相等.,解:,(6),若两非零向量互相垂直, 则这两个向量的和,与差的模相等.,这是个真命题.,两向量的和向量与差向量的模, 是以,这两向量为邻边的平行四边形的两条对角线长.,有一个角是直角的平行四边形是矩形.,矩形的两条对角线相等.,分析:,如图,当向量 a, b 的夹角为,120时, |c|=|a+b|=1.,要使 |c|1,a 与 b 的夹角必须小于120, 直到,a 与 b 同向,同理,即 q0, 120).,a, b 的夹角为60时, |c|=|a-b|

13、=1.,要使 |c|1,a, b 的夹角需大于60, 直到 a, b 反向.,A,【课时小结】,1. 命题,用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题, 判断为假的语句叫做假命题.,命题通常由 “条件” 和 “结论” 两部份组成, 写成 “若 p, 则 q” 的形式, p 是命题的条件, q 是命题的结论.,【课时小结】,2. 命题的真假判断,命题的两个属性: 结构属性和内容属性.,结构属性的特点是 “若 p, 则 q”,即由条件和结论两部分组成.,判断命题的真假就是分析它的内容属性.,判断命题真假的实质是考查掌握各方面数学知识的情况.,练习: (

14、课本第 4 页),第 1、2、3 题.,习题 1.1,A 组,第 1 题.,练习: (课本第 4 页),1. 举出一些命题的例子, 并判断它们的真假.,如:,若 x=1, 则 |x|=1.,若 |x|=1, 则 x=1.,若 b2-4ac0, 则方程 ax2+bx+c=0 有两不等实根.,若直线 a平面a, 直线 b/a, 则 b/a.,若 D2+E2-4F0, 则方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的图,若 sina0, 则 0ap.,形是一个圆.,若 aAB, 则 aA.,真,假,假,假,假,假,真,2. 判断下列命题的真假: (1) 能被 6 整除的整数一定能被 3 整除; (2) 若

15、一个四边形的四条边相等, 则这个四边形是正方形; (3) 二次函数的图象是一条抛物线; (4) 两个内角等于45的三角形是等腰直角是角形.,解:,(1)(3)(4)为真命题, (2)是假命题.,3. 把下列命题改写成 “若 p, 则 q” 的形式, 并判断它们的真假: (1) 等腰三角形两腰的中线相等; (2) 偶函数的图象关于 y 轴对称; (3) 垂直于同一个平面的两个平面平行.,解:,(1),若三角形是等腰三角形, 则它两腰的中,线相等.,此命题是真命题.,(2),若函数是偶函数, 则它的图象关于 y 轴对称.,此命题是真命题.,(3),若两个平面垂直于同一平面, 则这两个平面,平行.,

16、此命题是假命题.,习题 1.1,A 组,1. 判断下列语句是不是命题: (1) 125; (2) 若 a 为正无理数, 则 也是无理数; (3) x1, 2, 3, 4, 5; (4) 正弦函数是周期函数吗?,解:,(1)(2) 是命题.,(3) 不是命题, 因为不能判断真假.,(4) 不是命题, 因为不是陈述句.,1.1.2 四种命题,1.1.3 四种命题的相互关系,返回目录,1. 什么是一个命题的逆命题、否命题、逆否命题?,2. 原命题, 逆命题, 否命题, 逆否命题各相互之间是什么关系?,3. 一个命题的逆命题, 否命题和逆否命题的真假性是否有联系?,问题1. 下列四个命题中, 命题 (

17、1) 与命题 (2) (3) (4) 的条件和结论之间分别有什么关系? (1) 若 f(x) 是正弦函数, 则 f(x) 是周期函数; (2) 若 f(x) 是周期函数, 则 f(x) 是正弦函数; (3) 若 f(x) 不是正弦函数, 则 f(x) 不是周期函数; (4) 若 f(x) 不是周期函数, 则 f(x) 不是正弦函数.,将命题 (1) 的条件与结论相交换就是命题 (2).,命题 (2) 叫命题 (1) 的逆命题, 命题 (1) 也叫命题,(2) 的逆命题.,将命题 (1) 的条件和结论都加以否定就是命题 (3).,命题 (3) 叫命题 (1) 的否命题, 命题 (1) 也叫命题,

18、(3) 的否命题.,问题1. 下列四个命题中, 命题 (1) 与命题 (2) (3) (4) 的条件和结论之间分别有什么关系? (1) 若 f(x) 是正弦函数, 则 f(x) 是周期函数; (2) 若 f(x) 是周期函数, 则 f(x) 是正弦函数; (3) 若 f(x) 不是正弦函数, 则 f(x) 不是周期函数; (4) 若 f(x) 不是周期函数, 则 f(x) 不是正弦函数.,将命题 (1) 的条件和结论都加以否定后又交换就是,命题 (4).,命题 (4) 叫命题 (1) 的逆否命题, 命题 (1) 也叫命题,(4) 的逆否命题.,一般地, 对于两个命题, 如果一个命题的条件和结论

19、分别是另一个命题的结论和条件, 那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆命题.,请同学们比照逆命题的定义, 写出否命题、逆否命题的定义.,原命题: “若 p, 则 q”,逆命题: “若 q, 则 p”.,对于两个命题, 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定, 那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题. 其中一个命题叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆否命题.,原命题: “若 p, 则 q”,逆否命题: “若 q, 则 p”.,对于两个命题, 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件和结论的否定, 那么我们把这样的两个命

20、题叫做互否命题. 其中一个命题叫做原命题, 另一个叫做原命题的否命题.,原命题: “若 p, 则 q”,否命题: “若 p, 则 q”.,“ p” 读作非 p, “ q” 读作非 q.,例(补充). 写出命题 “若 a6, 则 a5.” 的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断其真假.,解:,逆命题:,若 a5, 则 a6.,此逆命题是假命题.,否命题:,若 a6, 则 a5.,此否命题也是假命题.,逆否命题:,若 a5, 则 a6.,此逆否命题是真命题.,练习: (课本第6页),就一题.,练习: (课本第6页),写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它们的真假: (1) 若一个整数的末

21、位数字是 0, 则这个整数能被5 整除; (2) 若一个三角形的两条边相等, 则这个三角形的两个角相等; (3) 奇函数的图象关于原点对称.,解:,(1),逆命题:,若一个整数能被 5 整除, 则这个,整数的末位数字是 0.,此命题是假命题.,否命题:,若一个整数的末位数字不是 0, 则这个整数,不能被 5 整除.,这个命题也是假命题.,逆否命题:,若一个整数不能被 5 整除, 则这个整数的,末位数字不是 0.,此命题是真命题.,练习: (课本第6页),写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它们的真假: (1) 若一个整数的末位数字是 0, 则这个整数能被5 整除; (2) 若一个三

22、角形的两条边相等, 则这个三角形的两个角相等; (3) 奇函数的图象关于原点对称.,解:,(2),逆命题:,若一个三角形的两个角相等, 则,这个三角形的两条边相等.,此命题是真命题.,否命题:,若一个三角形的两条边不相等, 则这个三,角形的两个角不相等.,这个命题也是真命题.,逆否命题:,若一个三角形的两个角不相等, 则这个,三角形的两条边不相等.,此命题也是真命题.,练习: (课本第6页),写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断它们的真假: (1) 若一个整数的末位数字是 0, 则这个整数能被5 整除; (2) 若一个三角形的两条边相等, 则这个三角形的两个角相等; (3) 奇函数

23、的图象关于原点对称.,解:,(3),逆命题:,图象关于原点对称的函数是奇,函数.,此命题是真命题.,否命题:,不是奇函数的图象不关于原点对称.,这个否命题也是真命题.,逆否命题:,图象不关于原点对称的函数不是奇函,数.,这个逆否命题也是真命题.,问题2. 下面四个命题中, 任意两个命题是什么关系? 你能由此总结出四种命题中任意两个命题的关系吗? (1) 若 f(x) 是正弦函数, 则 f(x) 是周期函数; (2) 若 f(x) 是周期函数, 则 f(x) 是正弦函数; (3) 若 f(x) 不是正弦函数, 则 f(x) 不是周期函数; (4) 若 f(x) 不是周期函数, 则 f(x) 不是

24、正弦函数.,(1) (2) 互逆.,(1) (3) 互否.,(1) (4) 互为逆否.,(2) (3) 互为逆否.,(2) (4) 互否.,(3) (4) 互逆.,问题2. 下面四个命题中, 任意两个命题是什么关系? 你能由此总结出四种命题中任意两个命题的关系吗? (1) 若 f(x) 是正弦函数, 则 f(x) 是周期函数; (2) 若 f(x) 是周期函数, 则 f(x) 是正弦函数; (3) 若 f(x) 不是正弦函数, 则 f(x) 不是周期函数; (4) 若 f(x) 不是周期函数, 则 f(x) 不是正弦函数.,又问: 这四种命题的真假性有什么相互关系?,一个命题为真, 它的逆命题

25、、否命题不一定真, 而它的逆否命题一定真.,一个命题为假, 它的逆命题、否命题不一定假, 而它的逆否命题一定假.,原命题 若p, 则q,逆,互,逆命题,互,互,互,逆,否,否,逆否,逆否,否命题,逆否命题,若q, 则p,若p, 则q,互为,互为,若q, 则p,互为逆否的两个命题的真假性相同.,问题3. 以 “若 x2-3x+2=0, 则 x=2 ” 为原命题, 写出它的逆命题、否命题与逆否命题. 其中互为逆否的有哪些? 它们的真假性如何?,逆命题:,若 x=2, 则 x2-3x+2=0.,否命题:,若 x2-3x+20, 则 x2.,逆否命题:,若 x2, 则 x2-3x+20.,其中原命题与

26、逆否命题互为逆否; 逆命题与否命,题互为逆否.,原命题与逆否命题是假命题; 逆命题与否命题,是真命题.,在证明某个命题有困难时, 可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真.,例4. 证明: 若 x2+y2=0, 则 x=y=0.,分析:,直接由 x2+y2=0 推证 x=y=0 不易推理表述,我们可以反过来想:,那么 x2+y2=0 就,这恰是所证命题的逆否命题.,如果原命题的逆否命题为真, 则原命题也真.,如果 x, y 中只要有一个不为 0,不会成立.,例4. 证明: 若 x2+y2=0, 则 x=y=0.,证明:,假若 x, y 中至少有一个不为 0, 不妨设,x0,于是得 x2

27、+y20.,即证得 “ x, y 不全为 0 时, x2+y20” .,即 “若 x2+y2=0, 则 x=y=0.” 得证.,则有 x20,而 y 为任意实数都有 y20,此命题的逆否命题是真命题,练习: (课本第8页),只有一题.,练习: (课本第8页),证明: 若 a2-b2+2a-4b-30, 则 a-b1.,证明:,若 a-b=1,得 a2-b2+2a-4b-3=a2-(a-1)2+2a-4(a-1)-3,则 b=a-1,=a2-a2+2a-1+2a-4a+4-3,=0,即证得 “若 a-b=1, 则 a2-b2+2a-4b-3=0” 为真., “若 a2-b2+2a-4b-30,

28、则 a-b1.”是真命题.,【课时小结】,1. 四种命题,原命题: “若 p, 则 q”,逆命题: “若 q, 则 p”.,逆否命题: “若 q, 则 p”.,否命题: “若 p, 则 q”.,【课时小结】,2. 四种命题的关系,原命题 若p, 则q,互逆,互逆,互否,互否,互为逆否,互为逆否,(1) 互为逆否的两个命题的真假性相同.,(2) 互逆或互否的两个命题的真假性没有关系.,习题 1.1,A 组,第 2、3、4 题.,B 组,只一题.,习题 1.1,A 组,2. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假: (1) 若 a, b 都是偶数, 则 a+b 是偶数; (2)

29、若 m0, 则方程 x2+x-m=0 有实数根.,解:,(1),逆命题:,若 a+b 是偶数, 则 a, b 都是偶数.,否命题:,若 a, b 不都是偶数, 则 a+b 不是偶数.,此逆命题是假命题.,此否命题也是假命题.,逆否命题:,若 a+b 不是偶数, 则 a, b 不都是偶数.,此逆否命题是真命题.,习题 1.1,A 组,2. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假: (1) 若 a, b 都是偶数, 则 a+b 是偶数; (2) 若 m0, 则方程 x2+x-m=0 有实数根.,解:,(2),逆命题:,若方程 x2-x-m=0 有实数根, 则,否命题:,此逆命题是假命题.,此否命题也是假命题.,逆否命题:,此逆否命题是真命题.,m0.,若 m0, 则方程 x2-x-m=0 无实数根.,若方程