方程的根与函数零点

1、一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步,切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离,数形结合百般好，隔离分家万事休，,数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？,3.1.1方程的根与函数的零点,数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？,数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？,数形结合百般好，隔离分家万事休，,切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离,一种科学只有在成功地运用数学时,才算达到完善的地步,数缺形时少直观，形少数时难入微，,数形结合百般好，隔离分家万事休，,数缺形时少直观，形少数时难入微，,数缺形时少直观，形少数时难入微，,我们知道，令一个一元二次函数,的函数值y0，则得到一元二次方程

2、,思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,问题1： 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,判别式 =b24ac,0

3、,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等 的实数根x1 、x2,问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？,1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。,结论,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.,函数零点的定义：,零点指的是一个实数，不是一个点,方程f(x)=0有实数根,等价关系,2,-2和7,1,零点的求法

4、（1）,代数法,练习,问题探究,有,有,有,函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)f(b)0,那么，函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点，即存在 使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(c)=0 的根。,结论：,思考1：函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，若函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)f(b)0的结论吗？,结论：函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线： （1）f(a)f(b)0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点；,（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)f

5、(b)0。,思考2：如果函数 y=f(x) 在a,b上是连续的单调函数, 并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)0, 那么这个函数在(a,b)内的零点个数能确定吗？,有且只有一个,由表可知f(2)0，,由于函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点,用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象；,问题5：.求函数f(x)=lnx+2x6的零点的个数.,解：,-4,-1.3,1.09,3.38,5.6,7.79,9.94,12.07,14.1,方法一,f(x)=lnx+2x6,从而f(2)f(3)0,函数f(x)在区间(2,3)内有零点,10,8,6,4,2

6、,-2,-4,5,1,2,3,4,6,x,y,O,思考：还有没有其他方法？,y=2x+6,y=lnx,即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.,如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.,方法二：,转化,解：作出函数的图象，如下：,因为f(1)=10,f(1.5)=2.8750, 所以f(x)=x33x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(,） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。,零点的求法（2）,图像法,问题6.,问题7.已知关于x的二次方程x

7、2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(1,0)内， 另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.,解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与 x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内， 画出示意图，得,.,问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (2)若方程有一个根在(0,2)内,求m的范围. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1

8、)内，求m的范围.,解:由题意得:f(0)f(2)0,即(2m+1)(6m+5)0,解得:,问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (3)若方程有一个根比2大,另一个根比2小,求m范围. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.,解:由题意得:f(2)0,即6m+50,解得:,问题7：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (4)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.,解:由题意得:,解得:,1.在二次函数 中，ac0,则其零点的个 数为（） .不存在,2.若不是常数函数且最小值为，则 的零点个数（）,.,.,.或,.不确定,D,B,课堂练习,.已知函数 是定义域为的奇函数，且 在 上有一个零点，则 的零点个数为 ( ) . . . .不确定,A,4.（解答题）若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一个零点，求实数a的取值范围,4.若方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一个零点，求实数a的取值范围 【解析】 （1）当a=0时，f（x）=-x-1，其零点为 -1（0，1），所以a0；（2）当a0时，因为方程ax2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，即二次函数函数f（x）=ax2-x-1在（0，1）内恰有一个零