袋中有7只白球.ppt

1、1,引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中 有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料球. 现从袋中任取1球, 假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球, 问 它是木球的概率是多少？,设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.,第四章 条件概率,2,完全可加性,随机地向区间 ( 0 , 1 投掷一个质点，,令事件 A 为该质点落入区间,事件 Ak 为该质点落入区间,A,附录,附录,3,4,所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为,解 列表,5,设A、B为两事件, P ( A ) 0 , 则,称 为事件 A 发生的条件

2、下事 件 B 发生的条件概率，记为,定义,从而有,6,（1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法,（2） 其 他 概 型 用定义与有关公式,7,条件概率也是概率, 故具有概率的性质：,8,利用条件概率求积事件的概率即乘法公式,推广,9,例1 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率,解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时,所求概率为,例1,10,例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验 发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.,解一 令

3、 A 表示 “其中1张是假钞”.,B表示 “2 张都是假钞”,由缩减样本空间法得,下面两种解法哪个正确？,例2,11,解二 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.,B表示“2 张中至少有1张假钞”,则所求概率是 （而不是 ！）.,所以,12,例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率.,解 令 Ai 为第 i 次取到一等品,（1）,例3,13,(3),提问：

4、第三次才取得一等品的概率, 是,（2）直接解更简单,（2）,14,(4),15,条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系,若,一般地,16,例4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率.,设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效,已知,求,解,例4,17,解,由,即,故,解法二,18,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,全概率公式,A,Bayes公式,B2,19,每100

5、件产品为一批, 已知每批产品中 次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件 次品的概率为,从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率,例5,例5,20,解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,4,A 为一批产品通过检验,则,已知P( Bi )如表中所示，且,由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与,21,结果如下表所示,1.0 0.9 0.809 0.727 0.652,0.123 0.221 0.397 0.179

6、 0.080,22,i 较大时，,23,例6 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信 号“ ”, 收到信号“ ”,“不清”,“ ” 的概率分 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ ”,收到信号 “ ”,“不清”,“ ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9. 已知在发出的信号中, “ ”和“ ”出现的概 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ ”还是“ ”的概率 哪个大？,解 设原发信号为“ ” 为事件 B1 原发信号为“ ”为事件 B2,收到信号“不清” 为事件 A,例6,24,已知：,可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ ”的可能性

7、大,25,例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球.,设第 i 次,求,取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .,解,26,事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立,定义,设 A , B 为两事件，若,则称事件 A 与事件 B 相互独立,27,两事件相互独立的性质,两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的,若,若,若,则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥” 不能同时成立 (自行证明),28,四对事件,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立,试证其一,事实上,29,三事件 A, B

8、, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立：,注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出 2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立,(2),定义,30,例2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下,将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面 出现的颜色。,设事件,例2,31,则,但,本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1),32,例3 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数,则,但,例3,33,n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立,定义,34,例

9、4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件,证,例4,35,若 n 个事件 A1, A2, , An 相互独立,将这 n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.,36,利用独立事件的性质 计算其并事件的概率,若 A1, A2, , An 相互独立, 则,37,例5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率,解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =

10、1,2,100,则,例5,38,若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝 炎病毒，则, 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生,39,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性,系统由元件组成,常见的元件连接方式：,串联,并联,例6,40,设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性.,S1:,41,S2:,注 利用导数可证, 当 时, 恒有,42,作业,1、设一个口袋中有四个红球及三个白球.从这口袋中任取一个球后，不放回去，再从这口袋中任取一个球。令A表示事件“第一次取得白球”，B表示事件”第二次取得红球”。求P(B)及P(B|A). 2、一批零件共100次，次品率10。每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率。 3、两台车床加工同样的零件。第一台加工后的废品率为0.03、第二台加工后的