随机过程第四章

1、第四章 平稳过程,主要内容 严平稳过程与宽平稳过程的定义 平稳过程相关函数的性质 平稳过程的各态历经性 平稳过程的谱分析,平稳过程是一类统计特性不随时间而发生改变的 随机过程. 平稳过程在实际中有广泛的应用,在通讯,雷达等 随机信号处理中有重要的作用.,研究对象 更为特殊的二阶矩过程宽平稳过程,一 平稳过程的定义,定义 (严平稳过程),设X=X(t),tT是随机过程,如果对任意的n1,则称X=X(t),tT是 严平稳过程.,说明 1.严平稳过程的有限维分布不随时间的推移而改变,易知 其一维分布函数与时间t无关. 其二维分布函数仅与时间间隔有关.,2.若二阶矩存在的过程是严平稳过程,则其均值函数

2、是常数,相关函数是时间间隔的函数.,3. 通常用定义判断一个过程的严平稳性是困难的.,在实际中,若产生随机过程的主要物理条件在时间 进程中不变,则过程可看作是严平稳的.,例如工作在稳定状态下的接收机,其输出噪声可认为 是严平稳的.,此时若要测量噪声的统计特性, 则在任何时候测量都 可得到相同结果.,4.严平稳过程也叫狭义平稳过程或强平稳过程.,由于随机过程有限维分布有时候无法确定,以下给出 在理论与应用上更重要的另一种平稳过程概念.,定义 (宽平稳过程),设X=X(t),tT是二阶矩过程,如果,则称X=X(t),tT为宽平稳过程,简称平稳过程.,宽平稳过程也叫广义平稳过程或弱平稳过程.,以后说

3、到平稳过程指宽平稳过程,1. 严平稳过程不一定是宽平稳过程.,2. 宽平稳过程也不一定是严平稳过程.,注意 一般情况下,但对二阶矩过程 严平稳过程一定是宽平稳过程.,但对正态过程宽平稳性与严平稳性是等价的.,定理 若X(t),tT是正态过程, 则X(t),tT是严平稳过程的 充要条件是X(t),tT是宽平稳过程.,预备知识,证明 (充分性),设X(t),tT是宽平稳过程.,X(t),tT的有限维特征函数,即特征函数不随时间的推移而改变.,所以X(t),tT是严平稳过程,必要性显然.,例4.1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+) t(-,+ ), U0,T.称X(t), -t

4、+ 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.,它是平稳过程,例4.2 设Xn,n=1,2,是随机变量序列.,例4.3 设X(t),t0是只取1两个值的随机过程,其符号的改变次数是一参数为的Poisson过程N(t),t0,且对任意的t0, P(X(t)=1)=P(X(t)=1)=1/2. 试讨论X(t),t0的平稳性.,例4.4 设Y(t),t0是正态过程.且,设 是参数为 的Wiener过程， 令 其中 为常数， 试证明： 是严平稳过程.,例4.5,二 平稳过程相关函数的性质,一般用数字特征描述随机过程比用分布函数相对简便. 对于平稳过程,描述其统计特性的数字特征是相关函数.,1.(自)相关函

5、数的性质,定理 设X(t),tT是平稳过程,则其相关函数 有性质:,证明,(1) 若X(t),tT是周期平稳过程,即,则其相关函数也是周期函数,且周期相同也为T0.,特别,定理 设X(t),tT是平稳过程.则X(t),tT均方 连 续的充要条件是 RX()在=0处连续. 此时,RX()是连续函数.,证明,充分性,由均方连续的定义X(t),tT均方连续.,必要性,若X(t),tT均方连续.则有,X(t),tT均方连续,下证RX()是连续函数,(1) X(t),tT均方可导的充分条件是 RX()在=0处一阶导数存在,二阶 导 数存在且连续.,定理 设X(t),tT是平稳过程,X(t),tT均方可导

6、的必要条件是 RX()在=0处一阶导数,二阶导数存在.,证明 (1),即 RX()在=0处一阶导数存在.,同理可证 RX()在=0处二阶导数存在.,即 RX(s,t)在(t,t)处关于s的一阶偏导数存在.,同理可证 RX(s,t)在(t,t)处关于t的一阶偏导数存在.,(2) 若X(t),tT均方可导,则其导数过程 X (t),tT 仍然是平稳过程.且,证明 (2),即 导数过程X (t),tT 仍然是平稳过程.,推论,(1) 设X(t),tT是均方可导的实平稳过程. 则对任意的tT, X(t)与X(t)不相关.,特别 (2) 若X(t),tT还是正态过程, 则X(t)与X(t)独立.,证明

7、(1),X(t),tT是均方可导的实平稳过程.,所以X(t)与X(t)不相关.,证明 (2),由X(t),tT是正态过程,正态变量,所以X(t)与X(t)独立.,定理 设X(t),tR是均方连续的平稳过程,f(t)为 分段连续函数,则在任何有限区间a,b上, 积分,在均方意义下存在,且对任一分段连续函数g(t),有,证明,因为X(t),tR 均方连续,2. 联合平稳的平稳过程及其互相关函数 的性质,定义 设X(t),tT, Y(t),tT 是两个平稳 过 程.若对任意的s,tT,有,则称X(t),tT, Y(t),tT 为联合平稳的 平稳过程.,此时若令Z(t)=X(t)+Y(t), 问 Z(

8、t)是否为平稳过程?,定理,设X(t),tT, Y(t),tT 为联合平稳的平稳过程. 则其互相关函数RXY(s,t)具有如下性质,(1) (2) (3),证明 (1),证明 (2),证明 (3),推论,(2) 设X(t),tT, Y(t),tT 为实联合平稳的平稳过程. 则其互相关函数RXY(s,t) 满足,(1) 设X(t),tT, Y(t),tT 为联合平稳的平稳过程. 则其互协方差函数CXY(s,t)也满足,例4.6,设平稳过程 的相关函数为 其中 为常数,试判断过程是否均方可导； 若均方可导，试求导数过程的均值函数和相关函数。,各态历经性是1931年在统计力学中提出来的,它的直观意义

9、是,一个平稳过程如果是各态历经的,则它的每一个样本 函数几乎必须经历它所具有的各种状态.,三 平稳过程的各态历经性,时间平均定义,设X(t), -t+ 是平稳过程,若均方极限,则称为X(t), -t+ 在(-,+ )上 的时间平均.,1. 各态历经的定义,若对任意固定的R,均方极限,时间相关函数定义,对参数集为t0的平稳过程, 即X(t), t0.,时间平均,时间相关函数,各态历经性定义,设X(t), -t+ 是平稳过程,(1) 若以概率1有 =mX(t) 则称X(t), -t+ 的均值具有各态历经性.,若平稳过程X(t), -t+ 的均值函数 与相关函数都具有各态 历经性,则 称X(t),

10、-t+ 具有各态历经性. 或 称X(t), -t+ 是各态历经过程.,例4.7,解,例4.7,解,2. 均值各态历经的判定,定理设X(t), -t+ 是平稳过程,则 X(t), -t+ 均值具有各态历经性的 充要条件是,证明,由定义 X(t), -t+ 均值具有各态历经性的充要条件是,而上式成立的充要条件是,再由模的定义,所以 X(t), -t+ 均值具有各态历经性的 充要条件是,1. 若X(t), -t+ 是实平稳过程,则均值具有各态历经性的充要条件是,一些推论,2. 对参数集为t0的平稳过程 X(t), t0,均值具有各态历经性的充要条件是,特别当X(t), t0为实平稳过程,则相应结论为

11、,则 X(t), -t+ 的均值具有各态历经性.,3. 设X(t), -t+ 是平稳过程,如果,证明,所以 X(t), -t+ 的均值具有各态历经性.,例4.8,设X(t),t0是只取1两个值的随机过程, 其符号的改变次数是一参数为的Poisson 过程N(t),t0,且对任意的t0, P(X(t)=1)=P(X(t)=1)=1/2. 试讨论X(t),t0均值的各态历经性.,解,所以X(t),t0的均值具有各态历经性.,例4.9,解,3. 相关函数各态历经性的判定,设X(t), -t+ 是平稳过程,令,所以X(t), -t+ 的相关函数各态历经性的讨论 可转化为对过程Y(t), -t+ 的均值

12、各态历经性 的讨论.,同时还要求Y(t), -t+ 是平稳过程.,定理 设X(t), -t+ ,以及对任意固定的, Y(t), -t+ 均为平稳过程,则X(t), -t+ 的相关函数具有各态历经性的充要条件是,证明,由均值各态历经性的充要条件,1. 设X(t),tR,以及对任意固定的, Y(t),tR,均为 实平稳过程,则X(t),tR的相关函数具有各态历经 性的充要条件是,一些推论,2. 对参数集为t0的平稳过程 X(t), t0,其相关函数 具有各态历经性的充要条件是,特别X(t), t0为实平稳过程,则其相关函数具有 各态历经性的充要条件是,3. 设X(t),tR,为零均值的实平稳的正态

13、过程,若,则 X(t),tR的相关函数具有各态历经性.,证明,4. 各态历经性的应用, 之前对平稳过程的讨论都是在时域上进行的. 相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征., 但对许多物理和工程领域中问题,不仅要研究其 在时域上的特性,还要研究其在频域内的特征,即 从频率的角度来研究随机过程的统计特征. 例如对信号处理、线性系统分析以及随机振动的 研究. 其中广泛采用的方法是频率域分析方法.,四 平稳过程的谱密度, 频率域分析方法的重要工具是 Fouier变换, 它可以确定时域与频域的转换关系.,为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要 研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度. 谱密度是在频域

14、内研究平稳过程的重要指标. 数学上 它是相关函数的Fouier变换,它的物理 意义是功率谱密度., 时域分析法与频域分析法相互联系,且各有优 点,构成了研究平稳过程的两个重要分支.,1.相关函数的谱分解,定理1 (维纳-辛钦定理),设X(t), -t+ 是均方连续的平稳过程,则 其相关函数可以表示为,证明,所以f()是某个随机变量W的特征函数,即存在 分布函数G(),使,称函数FX()为平稳过程X(t),-t+ 的谱函数.,为平稳过程X(t), -t+ 相关函数的谱展开式, 或谱分解式.,定义 如果存在函数SX(),使得,则称SX()为平稳过程X(t), -t+ 的谱密度.,定理 2,设X(t

15、), -t+ 是均方连续的平稳过程,且RX() 绝对可积,即,则FX()可微,且有维纳-辛钦公式,定理3 设Xn, n=0, 1, 2,是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为,对离散参数集上的平稳时间序列,有相类似的结果.,称FX()为平稳时间序列Xn, n=0, 1,的谱函数.,定义 如果存在函数SX(),使得,则称SX()为平稳时间序列Xn, n=0, 1的谱密度.,定理 4 设Xn, n=0, 1,为平稳时间序列,且,则FX()可微,且有维纳-辛钦公式,例4.10,设X(t), -t+ 是平稳过程,其相关函数为,求X(t), -t+ 的谱密度和谱函数,解,例4.11 设Xn, n=0,

16、 1,为复随机变量序列,且,试求Y(n), n=0, 1, 2,的谱密度.,由定理 4,例4.12 设X,Y是两个相互独立的实随机变量,EX=0,DX=1 Y的分布函数为F(x),令,试求Z(t), -t+ 的谱函数.,解 因为 Z(t), -t+ 是平稳过程.,2. 谱密度的物理意义,工程实际中, 能量有限的信号x(t)称为 能量型信号, 可以定义它的总能量:,当时间趋于无穷时,它的平均功率趋于零.,另一类信号x(t),其能量是无限的,但平均功率有限.即,称为 功率型信号.周期信号就是常见的功率信号.,设有确定性信号x(t)(时间函数)在区间(-,+ )上绝对 可积,则x(t)的Fouier

17、变换存在 (或说x(t)具有频谱).,说明信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 右式也是总能量的谱表达式.,由于实际中很多信号(函数)的总能量是无限的, 不满足绝对可积的条件,所以通常研究x(t)在 (-,+ )上的平均功率,即,为了能利用Fouier变换给出平均功率的谱表达式, 构造一个截尾函数:,定义 设X(t), -t+ 是平稳过程,则称,为平稳过程的功率谱密度. 并记,定理 设X(t), -t+ 是平稳过程,若RX() 绝对可积,则X(t), -t+ 的谱密度就是 功率谱密度.即,3. 谱密度的性质和计算,定理1 平稳过程的谱密度是非负实函数.,特别 实平稳过程的谱密度是非负实偶

18、函数.,证明,特别 对实平稳过程,定理2,平均功率,说明,第一式说明功率谱密度曲线下的总面积(平均功率) 等于平稳过程的均方值.,第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数 曲线下的总面积.,谱密度的计算,广义积分-可利用复变函数中的留数定理, 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等,Fourier变换的性质, 线性性质, 位移性质, 微分性质,例4.13 已知平稳过程的功率谱密度为,求其相关函数与平均功率.,例4.14 已知平稳过程的相关函数,求其谱密度.,4. 互谱密度及其性质,定义 设X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是联合平 稳的平稳过程,如果互相关函数绝对可积,即

19、,则称,为平稳过程X(t), -t+ 和 Y(t), -t+ 的 互谱密度.,设X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是联合平稳的 平稳过程,如果互相关函数绝对可积,则,定理1,其中,说明 互谱密度没有明确的物理意义,引入它主要是为了 能在频率域上描述两个平稳过程的相关性.,定理 2 (互谱密度的性质),(3) 若X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是实联合 平稳的平稳过程,则SXY()的实部为偶函数,虚部 为奇函数.,同理证明另一个.,例4.14 设X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是联合平 稳的平稳过程,它们的谱密度与互谱密度分别为 SX (), SY() ,SXY().令,Z(t)=X(t)+Y(t), -t+ ,试求 Z(t), -t+ 的谱密度.,五 平稳过程的谱分解,对确定信号x(t),满足Dirichlet条件且绝对可