第七章 点的合成运动

1、点的合成运动,第七章,直升飞机螺旋桨端P点，其运动可以分解为：“随螺旋桨一起相对飞机机身的运动”和“随机身一起在空中的移动”。,机身相对地面直线平移,一点、二系、三运动,绝对运动是由相对运动和牵连运动合成的，所以亦称为合成运动。,合成运动,例 直杆 OA 在竖直面内绕 O 点转动，套筒 M 沿直杆滑动，试分析套筒的合成运动。,动点： 静系： 动系：,套筒M,地球oxy,沿直杆OA的动坐标系Ox，固结在圆盘上,A,相对运动：,套筒M（动点）相对运动的轨迹为沿ox轴的直线运动,x,牵连运动：,定轴转动,在t1瞬时滑块M位于圆盘上的A点，它的牵连速度ve1和牵连加速度ae1 等于该瞬时A点的速度和加

2、速度。,x,设此时圆盘的角速度为1，角加速度为a1，则,Ve1 、 ae1的方向看图,牵连运动：,定轴转动,绝对运动：,曲线运动,假设初始时刻A点在o处，槽与x轴重合。,2、 动点相对oxy的运动方程，即相对运动，直线运动,例1： 图示刻有直槽的圆盘绕水平轴O以匀速转动 ，同时一小球A以匀速u 相对直槽运动，若以A为动点，地面为静系，圆盘为动系，试分析三种运动，并列出相应的运动方程。,解：,1、建立坐标系,动坐标建在槽内、静坐标为地球,4. 圆盘相对oxy的运动方程，牵连运动（ oxy 相对oxy 的运动为转动）,3. 动点相对oxy的运动方程，即绝对运动，曲线运动,动点相对于静系的速度和加速

3、度称为动点的绝对速度和绝对加速度,动点相对于动系的速度和加速度称为动点的相对速度和相对加速度,或,牵连点：该瞬时动系上与动点的空间位置重合的那一点 。,M1,M2,1,2,ve,ae,不同瞬时有 不同的牵连点！,绝对位移：,7-2 点的速度合成,相对位移：,牵连位移：,7-2 点的速度合成,在推导该定理过程中，对动系的运动未加限制，因此该定理适用于牵连运动是任何运动的情况。,这是一个平面矢量关系，有两个独立的投影方程，可求解两个未知量。,例 具有圆弧形导杆的曲柄滑道机构，试分析其合成运动。,解 ：,动点： 静系： 动系：,小 球 M,绝对运动： 牵连运动： 相对运动：,平 动,地 球,滑道AB

4、D,圆周运动,圆周运动,例2： 曲柄长r，角速度，求夹角为时，曲杆的速度。,解：,1.确定动点动系,以OA杆上的A为动点，动系xoy固定在曲杆CD上，静系xoy固定在地面。,2.运动分析,绝对运动：,（A点相对地面的）圆周运动，速度方向和大小已知,牵连运动：,(xoy)随曲杆CD的直线平行移动，速度方向铅直，大小待定,相对运动：,A点相对（xAy）曲杆CD的直线运动，速度大小待定，方向水平,例2： 曲柄长r，角速度，求夹角为时，曲杆的速度。,解：,3.速度合成,求得,方向： ,大小： ？ ？,例3： 运动员以恒定速度u在直线跑道上奔跑，一位摄影师在距跑道h距离处用摄影机拍摄。问图示位置时，摄影

5、机的角速度应为多少 才能跟上运动员？,1.确定动点动系,以运动员为动点，动系固定在摄影机上，静系固定在地面,2.运动分析,解：,3.速度合成,方向： ,大小： ？ ？,相对速度：,牵连速度：,相对加速度：,牵连加速度：,则绝对速度：,绝对加速度：,7-3 牵连运动为平移时点的加速度合成,牵连运动为平移时的加速度合成定理：,在任一瞬时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。,7-3 牵连运动为平移时点的加速度合成,例4： 曲柄长r，角速度，求夹角为时曲杆的加速度,解：,1.确定动点动系,以OA杆上的A为动点，动系xoy固定在曲杆CD上，静系xoy固定在地面。,2.运动分析,3.加速

6、度合成,求得,方向： ,大小： ？ ？,例5：半圆轮沿斜坡向下滑动,图示时刻速度和加速度已知，试求此刻AB杆的速度和加速度。,以AB杆上的A为动点，动系固定在半圆轮上,2. 速度合成,3. 加速度合成,方向： ,大小： ？ a0 ？ v2r /R,向x轴上投影：,练习1：已知O1A1和O2A2杆长均为r， 且始终平行。 O1A1杆以匀角速度转动，通过半圆形凸轮带动CD杆运动，凸轮半径也是r。试求图示时刻CD杆的速度和加速度。,以CD杆上的C为动点，动系固定在半圆轮上,2. 速度合成,3. 加速度合成,方向： ,大小： ？ ？ ,向x轴上投影：,练习2：已知半径为 r 的半圆形凸轮以匀速 v0

7、在水平面上滑动，长为 r 的直杆OA可绕O轴转动。试求图示瞬时OA杆的角速度和角加速度。,以OA杆上的A为动点，动系固定在半圆轮上,2. 速度合成,3. 加速度合成,向x轴上投影：,其中：,解得：,练习3：设有一圆盘以匀角速度 绕垂直于盘面的 O 轴转动，动点 M 在圆盘上半径为 r 的圆槽内以匀速 vr 相对圆盘运动。求M 点的绝对加速度。,解：,1. 以M为动点，圆盘为动系,2. 分析三种运动,3. 速度合成,4. 求加速度,7-4 牵连运动为转动时点的加速度合成,1,2,1,2,7-4 牵连运动为转动时点的加速度合成,牵连运动为转动时点的加速度合成定理：当牵连运动为定轴转动时（平面运动时

8、也成立），在任一瞬时，动点的绝对加速度等于动点的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度三者的矢量和。,科氏加速度等于动系的角速度与动点的相对速度的矢积的二倍。,科氏加速度是由于牵连运动和相对运动相互影响而产生的加速度。,大小：,方向：,矢积的方向,大小：,例6: 在北半球纬度处有一条河流，河水沿着正北方向流动，流速为u，如图。考虑地球自转的影响，求河水的加速度。,解：因为只考虑地球自转的影响，所以可取地心坐标系为静系，以地轴为z轴，轴x、y由地心分别指向两个遥远的恒星（未画出）。因此，该坐标系不受地球自转影响。以水流所在处为原点，选动系固结于地球上，轴x、y在水平面内，轴x指向东，轴y指向北，轴z

9、铅直向上。地球绕地轴自转的角速度以表示。,水流在地球上作匀速圆周运动，故：,地球作定轴转动，有,例7: T型杆在图示位置的速度、加速度已知，AD长为b。试求此时OC杆的角速度和角加速度。,2. 速度合成,3. 加速度合成,向 方向投影：,练习4: 偏心轮以匀角速度转动，并推动AB杆运动。O、A、B连线铅直。偏心距OC= r，半径为 。图示时刻OC垂直于CA,试求此时杆的速度与加速度,解：,2. 速度合成,3. 加速度合成,向x轴上投影：,其中：,解得：,讨论题:图示平板凸轮机构中，已知凸轮半径为r，偏心距为e，以匀角速度转动，试求图示瞬时平板的速度和加速度。,讨论：,1. 动点和动系如何选择？,若选轮缘上一点M为动点，平板为动系，则动点的相对轨迹为一曲率未知的椭圆；,若选平板上一点M为动点，凸轮为动系，则动点的相对轨迹为一未知平面曲线；,若选凸轮的圆