第10讲-开集的可测性分解.ppt

1、第十次的目的是熟悉一般的可测量集，知道Borel集类和Lebesgue集类的差异。 重点和难点：根据第十届开集的可测量性，基本内容： Borel集问题Lebesgue可测量集的定义，我们最熟悉的集合是哪一个？ 第10次开集的测度、问题Lebesgue测度的性质和上众所周知的测度集可以制作哪个测度集？ 所有这些可测量的集合构成了什么样的集合类别？ 第10次开集的可测量性，(1)开集和闭集的可测量性命题1 Rn中，任何开长方体都可以测量，并且。 证明：我们在上一节中证明了任意长方体I，所以只要证明I是可测量的，关于可测量集合的讨论只证明了任意长方体j，第十次开集的可测量性还是长方体，所以容易知道I

2、是可测量的已证明。 叙述第10次开集的可测量性，定义1 Rn中的集合称为左开右闭长方体。 与直线上的开集合的结构不同，Rn处的开集合不一定是彼此交叉的开长方体，但是可以表示为彼此不交叉的左开右闭长方体，即第十开集合的测度是引理1 Rn处的非空开集合g为彼此不交叉的左开右闭长方体证明：正整数k，Rn可以分解为具有mi为正整数的复数形式的相互不相交的左右闭合长方体的和。 假设K=1，上述长方体中完全包含在g中的是第10次开课的测度(有限或几个)。 关于k-1表示包含在上述完全g中但不交叉的长方体。 由此，得到了多个能左右开闭的长方体，彼此不交叉，令人满意。 如果可以，当注意到k足够大时，(2) G

3、型组、f -型组、Borel组定理1 Rn的任何开集，这是因为矩形长方体必须包括在g中，也必须包括在g中，即，可能存在第十次开集证明：从命题1得知任意的左开闭长方体j可以测定，mJ=|J|，从命题1可以测定任意的开集，还可以测定闭集、f型集、g型集。 已证明。 第十次开集的可测量性，注：从定理1可以看出，数个F6型集和G8型集的合并和交叉是可以测量的。 实际上，从开集经过几次交叉、差运算，得到的集合还是可测量的集合。 因此，从Rn中的所有集合经过上述运算而获得的域为可测量的集合类。 此集群称为B(Rn )或b，并被称为Rn中的Borel集群。 b中元被称为Rn中的Borel集。 因此，刚才的结

4、论可以说Rn中的Borel集合是Lebesgue可测量的集合。 第十次可调查性，二Borel集类和Lebesgue集类的比较问题3 :根据Lebesgue外测度和可测量集的定义，你认为Lebesgue可测量集和Borel集有多少差异？ 第十次开集的可测性，问题4 :对于任意的集合e，能找到包含e的Borel集g，并具有相同的外测度吗？ q5:对于上述的e，能找到e中包含的Borel集f，具有相同的外测度吗？ 如果e是可测量的集合的话，情况会怎么样呢？第十次开集的测度，Lebesgue测度集的结构Borel集类包含了我们已经常见的Rn的很多集合，但确实不是Borel集的集合很多，本章第一节构建的

5、测度不能集明显是Borel 那么，Lebesgue是否是可以测量的Borel集的集合呢？ 而且，有很多。 一个集合的外测度为0的话，应该可以测量，但外测度为0的集合还没有。 第十次收集的可测量性并不难证明是Borel集。 例如，可以证明直线上的Borel集整体趋势为2c。实际上，Lebesgue可测集整体明显有2c以下的趋势，只需证明该趋势为2c以上。 已经知道了，Cantor集合是零测量集，并且由于具有电位c，所以其所有子集也是零测量集，并且整个子集都具有电位2c。 由此，Lebesgue可以测量整体，第十次的可测量性远远优于Borel集团整体的势力，Cantor的所有子集合确实不是Bore

6、l集团，但这些都是Lebesgue可测量的集团在这里，我们来看看Lebesgue和Borel有多大的差异。 假设e是可测量的集合，那么容易知道事实，这是因为可选地，存在若干个开放长方体并且可能在第十次开放集合中进行测量。 因此，第十次开集的可测性是，容易记住的Gn是开集，g型集，而立知是Borel集和Lebesgue零测集的差。 可以证明可以用同样的方法找到Borel集，并且在e中，第十次是Borel集和Lebesgue零集的和。 换句话说，在Lebesgue的测量集合e中，可以找到其中包括的Borel集合，并且可以具有相同的测量值，并且可以找到包含e的Borel集合，具有相同的测量值。 因此

7、，Borel集和Lebesgue可测量集的不同在于零测量集。 第十次开集的可测量性，问题6 :问题4中能把G-E的外测度归零吗？ 为什么？举个例子来说明。 第十次关于收集的可测量性，即使不是可测量的收集也能找到Borel收集，具有相同的外测度。 这是下一个定理2集合，其中存在Rn中的G8型集合g，并且证明：如果是这样的话，显然可以找到那样的g。 因此，假设此时假刚才的讨论，第十次说开集的可能性，找到开集Gn，命令，求出g。 已证明。 注意，如果e是不可预测的组，则可以找到布尔组，然而，外部测度并不为0。 否则，是可测量出E=G-(G-E )的集合。 另外，如果第十次开集的测度，定理3是测度集，

8、则存在Rn中的Borel集f，如果e没有边界，则可以将长方体排成一列，并且，因此，第十次开集的测度，可以每En找到Borel集，如果命令，则可以确定第十次开集的测度，另外一方面，如果因此，我们只要证明e是有界可测量的情况就行了。 如果e是有界的长方体，记，s也是可测量集，根据定理2知道Borel集g的存在，并且，第十次的可测量性，命令，f是Borel集，明显地注意到了。 已证明。 证明第十次开集的可测量性，练习问题21，有理数整体是r-1可测量的集合，并且测量值为0。 如果2，e为Rn的有界集，则3，包含至少一个内点的集合以外的测度是否为0，证明4，a，b中有ba和测度，能进行a，b的闭集吗？

9、 第十次开集的可测量性，去除5，1定理6的条件，方程式成立吗？ 假设6、E1、E2、为0、1，任意地从该阵列中找到这种集合Ek，并证明这些集合的合计测度为1。 7、对于任意可测量的集合a、b，证明下式总是成立。 第十次开集的测度满足8、A1、A2为0、1中的两个测度集，证明： 9、A1、A2、A3为0、1中的三个测度集，证明：第十次开集的测度为10，证明存在开集g，11、e为r-1中的不能测度集，a为R1 12，e是0，1的零测集的话，闭包也是零测集吗？13，证明：对于任何存在型集，表示第十次收集的可测量性，14，证明：0 x轴上的任何集e (也是直线上不能测量的集)可以在0 xy平面上测量15、有界集e可测量且可选地存在开集、闭集，第十次开集的可测量性，16，如果是证明有证明的单调递增集合列(不一定可以测量)，17，证明Rn中的Borel集合类b是连续的。 18、证明可以为任何闭集f找到完整的集19，只要证明，就可以找到一定具有任何集的第十次闭集的可能性，(提示：有利于闭集集定理) 20，如果可以测量，就可以测量证明，并且21，零集在包括x0在内的任何开放区中，如果存在以下界限，则d是e在点x0处的密度，并且显然x0是e的总密度点。 (I )点a是有密度的点吗？ (d0)，第十集的可测性，(ii