统计学课件 内部资料 第三章.ppt

1、第2章 统计数据的描述(续),2.5 分布集中趋势的测度 2.6 分布离散程度的测度 2.7 分布偏度与峰度的测度 2.8 茎叶图与箱线图 2.9 统计表与统计图,形状,集中趋势,离散趋势,集中趋势,均值,中位数,众数,分位数,几何平均数,概括性测度,离散趋势,方差,标准差,变异系数,极差,2.5 分布集中趋势的测度,集中趋势,集中趋势(Central tendency) 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据,集中趋势（续）

2、,集中趋势,均值,中位数,众数,几何平均数,众数,众数(Mode) 出现次数最多的变量值 不受极端值的影响 一组数据可能没有众数或有几个众数 主要用于定性数据，也可用于定量数据,众数（续）,未分组数据,无众数原始数据: 1 2 3 4 5 6 7,一个众数原始数据: 1 2 3 3 3 4 5,多于一个众数原始数据: 1 2 3 3 4 4 5,众数（续）,分组数据 先在次数表中找出次数最多的那一组，称为众数组 一般以Mo来表示,众数（续）,计算公式(教材),众数（续）,众数（续）,例解：,众数（续）,Mo = 40.5 + (1001-172) 10/(1001-172)+(1001-251

3、)= 45.75,中位数,中位数(median) 将一组数字由大排至小，位居中间的数值为该组数字的中位数。 一般以Me来表示 如果一组数列有奇数个观察值，则中位数为排序后数列的中间值 如果一组数列有偶数个观察值，则中位数为排序后数列的中间两个观察值的算数平均数,中位数（续）,未分组数据 将n个数值由小至大排序 若n为奇数，决定中位数所在的位置n/2+1/2 若n为偶数，则取第n/2与第n/2+1个之数值的平均数为代表,中位数（续）,例解 66 70 71 76 80 84 92 n=7, 所以中位数所在的位置为第7/2+1/2（）个数值(76) 66 70 71 76 80 84 92 96

4、n=8, 中位数所在的位置为第 8/2+1/2=4.5 个，取第n/2（第个）值与第n/2+1(第五个）值的平均数=(76+80)/2 = 78,中位数（续）,分组数据 计算累加次数 根据中位数所在的位次n/2 ，找出中位数所在的组别 以下列公式求出中位数：,中位数（续）,中位数（续）,例解：,中位数（续）,步骤一：先算出累积次数 步骤二：找出中位数所在的组（n/2)： n/2=1786/2=893 步骤三：套入公式求组中位数： Me = 40.5+ (1786/2 291) * (50.5-40.5)/1001 = 46.51,中位数又称为二分位数，即将数字数据由小至大排序后，切成二部分。大

5、于及小于中位数者刚好各占所有数字数据的一半 除了将数据作半切割外，我们也可以将数据切成四等分、十等分、或一百等分 四分位数: Q1, Q2, Q3 十分位数: D1, D2, D3, 百分位数: P1, P2, P3, ,分位数(概念要点),四分位数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一 2.排序后处于25%和75%位置上的值,3. 不受极端值的影响 4. 主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于列名数据,四分位数(位置的确定),未分组数据：,组距分组数据：,数值型未分组数据的四分位数 (7个数据的算例),原始数据: 23 21 30 32 28 25 26 排 序: 21 23 25

6、 26 28 30 32 位 置: 1 2 3 4 5 6 7,N+1,QL= 23,QU = 30,数值型未分组数据的四分位数 (6个数据的算例),原始数据: 23 21 30 28 25 26 排 序: 21 23 25 26 28 30 位 置: 1 2 3 4 5 6,QL= 21+0.75(23-21) = 22. 5,QU= 28+0.25(30-28) = 28.5,数值型分组数据的四分位数(计算公式),上四分位数:,下四分位数:,数值型分组数据的四分位数(计算示例),QL位置50/412.5,QU位置350/437.5,【例】计算50 名工人日加工零件数的四分位数,均值,均值(

7、mean) 集中趋势的最常用测度值 一组数据的均衡点所在，如同翘翘板的支点 用于定量数据，不能用于定性数据资料 易受到极端值的影响,均值（续）,未分组数据 总体均值,大N通常代表总体数值的个数,总体均值是特定的一个常数值,均值（续）,样本均值,小n通常代表样本观察值的个数,读作x-bar,样本平均值也一个常数吗？,均值（续）,分组数据 加权算术平均数,n,加权（weighted),加权均值（算例）,【例】计算50 名工人日加工零件数的均值,均值（续）,均值的性质 均值是要找到一平衡点，使所有观察值与此点的距离和最小,均值（续）,事实上，各个观察值与平均数差的总和为0,证明,均值（续）,各个观察

8、值与平均数差的平方和为最小,等于0,大于等于0,常数,均值（续）,均值容易受到极端值的影响，若数据中有过大或过小的观察值时，不要以平均值来代表集中趋势。,均值（续）,可以进行代数运算 员工每人加薪5000元,均值（续）,员工每人加薪5%,众数、中位数和均值的比较,小结（续）,特征 众数 不受极端值影响 具有不唯一性 数据分布偏斜程度较大时应用 中位数 不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用 平均数 易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用,右偏Right-Skewed,左偏Left-Skewed,对称Symmetric,Mean,=,Median,=,Mode,Mea

9、n,Median,Mode,Mode,Median,Mean,小结（续）,数值关系： Pearson发现在单峰微偏的次数分配 中，平均数至众数的距离，为平均 数至中位数距离的三倍。,几何平均数（续）,几何平均数(geometric mean) n 个变量值乘积的 n 次方根 数据必须为正值才能计算几何平均数 主要用于计算平均百分比(percentages)、比率(ratios)、指数(indexes)、成长率(growth rates)的计算 计算公式为：,几何平均数（续）,总体 样本,几何平均数（续）,可看作是均值的一种变形,几何平均数（续）,例解 假设你去年薪资加薪百分之五，今年加薪百分之

10、15，薪资的年平均成长率为？,平均增长率,几何平均数(算例),【例】一位投资者持有一种股票，2001年、2002年、2003年和2004年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,平均收益率103.84%-1=3.84%,数据类型与集中趋势测度值,2.6分布离散程度的测度,离散趋势 测量群体中各个观察值之差异或离中程度的表征数 离差小，表示各数值间的差异小，平均数较能代表群体中的各个数值，离差大，表示各数值之间的变动很大，较为分散,离散趋势,方差,标准差,离散系数,总体方差,样本方差,总体标准差,样本标准差,极差,四分位距,极差,极差 一组数据的

11、最大值与最小值之差 未分组资料 R = Xmax Xmin(最大观察值-最小值） 分组资料 R = Umax Lmin(最大组之上限 最小组之下限） 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响,极差（续）,极差（续）,四分位距（Interquartile Range） 也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差 QD = QU QL 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性,方差和标准差,方差和标准差 数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,方差和标准差（续

12、）,总体方差和标准差（未分组）,方差和标准差（续）,样本方差和标准差,Degree of freedom,方差和标准差（续）,自由度（Degree of freedom） 一组数据中可以自由取值的数据的个数 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量,方差和标准差（续）,分组资料时，总体方差和标准差,方差和标准差（续）,分组资料时，样本方差和标准差,总体标准差（计算过程及结果）,【例】计算工人日加工

13、零件数的标准差,方差(数学性质),各变量值对均值的方差小于对任意值的方差 设X0为不等于X 的任意数，D2为对X0的方差，则,离散系数,离散系数(coefficient of variation) 标准差与其相应的均值之比 对数据相对离散程度的测度 消除了数据水平高低和计量单位的影响 用于对不同组别数据离散程度的比较 计算公式为：,离散系数（续）,例解： A股票过去一年的平均价格为$100，标准差为$5；B股票过去一年的平均价格为$50，标准差为$4 请问哪一支股票的价格波动较厉害？ A股票的CV = 5/100 =5% B股票的CV=4/50 = 8%,离散系数（实例和计算过程）,【例】某管

14、理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,离散系数(计算结果),S1=309.19（万元）,结论： 计算结果表明，V1V2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,2.3 分布偏度与峰度的测度,偏度,峰度,右偏分布,偏度,偏度(skewness) Pearson于1895年首次提出 数据分布偏斜程度的测度 偏态系数=0为对称分布 偏态系数 0为右偏分布 偏态系数 0为左偏分布,偏度（续）,右偏Right-Skewed,左偏Left-Skewed,对称Symmetric,Mean,=,Median,=,Mode,Mean,Median,Mode,

15、Mode,Median,Mean,偏度（续）,计算公式,偏度（续）,例解,偏度（续）,结论：1. 为右偏分布 2. 峰度适中,某电脑公司销售量分布的直方图,偏度（续）,结论：偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数,峰度,峰度(kurtosis) 统计学家Pearson于1905年首次提出 数据分布扁平程度的测度 峰态系数=0扁平峰度适中（Mesokurtic - not too flat and not too peaked） 峰态系数0为尖峰分布（Leptokurtic - peaked distribution

16、）,峰度（续）,峰度（续）,计算公式,峰度（续）,结论：偏态系数为负值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布,箱线图,数据的探测五点汇总 箱线图,Q1,Q3,IQR,Median,Max,Min,箱线图,箱线图,Right-Skewed,Left-Skewed,Symmetric,分布与盒状图,多批数据箱线图 (例题分析),【例】 从某大学经济管理专业二年级学生中随机抽取11人，对8门主要课程的考试成绩进行调查，所得结果如表。试绘制各科考试成绩的批比较箱线图，并分析各科考试成绩的分布特征,多批数据箱线图(例题分析),8门课程考试成绩的箱线图,11名学生8门课程考试成绩的箱线图,Min

17、-Max,25%-75%,Median value,45,55,65,75,85,95,105,学生1,学生2,学生3,学生4,学生5,学生6,学生7,学生8,学生9,学生10,学生11,多批数据箱线图 (例题分析),统计表,行标题,列标题,数字资料,表头,附加,统计表（续）,画表的一般原则： 合理安排统计表的结构 总标题内容应满足3W 要求 数据计量单位相同时，可放在表的右上角标明，不同时应放在每个指标后或单列出一列标明 表中的上下两条横线一般用粗线，其他线用细线,统计表（续）,通常情况下，统计表的左右两边不封口 表中的数据一般是右对齐，有小数点时应以小数点对齐，而且小数点的位数应统一 对于

18、没有数字的表格单元，一般用“”表示 必要时可在表的下方加上注释,统计图,画图的一般原则： 充分表达实际情况 能简单、明晰、有效地传达信息 最充分地表达观念 表示数据的客观事实,统计图常见错误（续）,Good Presentation,1960: $1.00,1970: $1.60,1980: $3.10,1990: $3.80,Minimum Wage,Minimum Wage,0,2,4,1960,1970,1980,1990,$,Bad Presentation,统计图常见错误（续）,Good Presentation,As received by students.,As received by students.,Bad Presentation,0,200,300,FR,SO,JR,SR,Freq.,10,30,FR,SO,JR,SR,%,FR = Freshmen, SO = Sophomore, JR = Junior, SR = Senior,统计图常见错误（续）,Good Presentation,Quarter