静电场之均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场

1、,(1)一个半径为a的均匀带电圆环，带电量为Q(Q 0)，求圆环轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标的变化规律是什么？(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量为Q(Q 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？,解析(1)设 0，圆环上所带电量为Q = 2a。,如图所示，圆环上所有电荷到场点P的距离都是,在P点产生的电势为,电势在原点处最高，并随着距离的增加而减小。,P点的场强为,范例9.5 均匀带电圆环，圆

2、盘和圆圈在轴线上的电场,在z = 0处电场强度E = 0；在z处E0，因此E在z从0到之间有极值。,令,可得,极值为,如果z a，电势和场强分别为,这是点电荷的电势和场强公式，其中z/| z|表示符号。,范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,当z 0时，E 0，场强的方向与z轴正向相同；当z 0时，E 0，场强的方向与z轴正向相反。,电势曲线在中间下凹，在两边上凹，两部分的接合点是拐点，两个拐点对应电场强度的极值。,圆环电荷在中心产生的电势最大，当距离比较远时，其电势接近点电荷的电势。,圆环电荷在中心处的场强为零。,当距离比较大时，其场强与点电荷的场强接近。,场强随距离先增加再减

3、小，当距离z = 0.7a时，场强最大。,范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什么？,解析(1)设Q 0，当电荷均匀分布圆盘上时，电荷的面密度为 = Q/a2，,如图所示，在圆盘上取一半径为R，宽度为dR的圆环，其面积为dS = 2RdR，,所带的电量为dq = dS，,环电荷在场点P产生的电势为,全部电荷在场点P产生的电势为,a,z,O,Q,(2)一个半径为a的均匀带电圆盘，带电量为Q(Q 0)，求圆盘轴上的电势和电场强度，电势和电场强度随轴坐标变化的规律是什

4、么？, = Q/a2，,电势,当z = 0时电势最高U = 2kQ/a。,当|z| a时，电势为,这是点电荷的电势。,a,z,O,Q,范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,圆盘两边场强的方向不同。,如果z 0，轴线上的场强为,当z+0时，E2kQ/a2 = /20，这是无限大均匀带电平面在正面产生的场强。,当z a时，可得,这是点电荷的场强。,如果z 0，轴线上的场强为,当z-0时，E-2kQ/a2 = -/20，这是无限大均匀带电平面在另一面产生的场强。,圆盘两边的场强不连续。,轴上的场强可统一表示为,范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,圆盘电荷在中心产生的电势

5、最大，该点左右两边的电势虽然连续，但是导数不连续，因而圆盘两边的场强不连续。,两边的电势曲线都是向上凹的，没有拐点。,当|z| 3a时，圆盘电荷的电势接近于点电荷的电势。,圆盘电荷在中心附近产生的场强最大，该场强表示“无限大”带电平面的场强；圆盘两边的场强方向不同，因而不连续。,当距离增加时，场强持续减小；当|z| 3a时，圆盘电荷的场强接近于点电荷的场强。,(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量为Q(Q 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？,解析(2)当电荷均匀分布在外半径为a、内半径为b的圆圈上时，如图所示，圆圈的面积为S =

6、 (a2 - b2)，,电荷的面密度为 = Q/S，,在圆圈上取一半径为R，宽度为dR的圆环，在场点P产生的电势为,场点P的电势为,在z = 0处的电势为,如果b = a，可得带电圆环中心的电势U = kQ/a；如果b = 0，则得带电圆盘中心的电势U = 2kQ/a。,范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,(3)一个外半径为a、内半径为b的均匀带电圆圈，带电量为Q(Q 0)，求圆圈轴上的电势和电场强度。对于不同宽度的圆盘，电势和电场强度如何随距离变化？,根据公式E = -dU/dz可得圆圈轴线上的场强,如果b a，当z = 0时，圆圈中心的场强E = 0；,令,解得极值坐标,极

7、值场强为,当z时，E0，因此场强E在z从0到之间有极值。,范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,讨论,当b0时，圆圈演变成圆盘，轴上的电势为,当ba时，圆圈演变成圆环，轴上电势为,轴上场强,轴上场强,范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,讨论,根据罗必塔法则，圆环场强的极值坐标为,如果z a，根据二项式定理，可得,这是点电荷的电势和场强。,圆环场强的极值为,范例9.5 均匀带电圆环，圆盘和圆圈在轴线上的电场,均匀带电圆环到均匀带电圆盘的电势的演变过程。,在中心点，圆环电荷产生的电势最小，导数为零；,当距离比较大时，所有电荷的电势都与点电荷产生的电势相近。,随着圆圈宽度的增加，中心点的电势也增加，极大值变“尖”了，但导数仍然为零，这是因为电荷离轴线变近的缘故；,当圆圈变成圆盘时，电荷产生的电势最大，形成“尖”形，导数不但不为零，并且左右导数不相等。,均匀带电圆环到均匀带电圆盘的电场强度的演变过程。,当距离比较