高等数学(专升本考试)模拟题及答案

1、高等数学（专升本）-学习指南 一、选择题 1函数 2222 ln24zxyxy的定义域为【D】 A 22 2xy B 22 4xy C 22 2xyD 22 24xy 解：z 的定义域为： 42 04 02 22 22 22 yx yx yx ，故而选 D。 2设)(xf在 0 xx处间断，则有【 D 】 A )(xf 在0 xx 处一定没有意义； B)0()0( 0 xfxf; ( 即 )(lim)(lim 00 xfxf xxxx ) ； C )(lim 0 xf xx 不存在，或 )(lim 0 xf xx ； D若)(xf在0 xx处有定义，则0 xx时，)()(0 xfxf不是无穷小

2、 3极限 2222 123 lim n n nnnn 【 B 】 A 1 4 B 1 2 C1 D 0 解：有题意，设通项为： 222 2 12 11 2 1 2 11 22 n Sn nnn n n n n n n 原极限等价于： 222 12111 limlim 222 nn n nnnn 4设 2 tanyx ，则dy【 A】 A 2 2tansecxxdx B 2 2sincosxxdx C 2 2sectanxxdx D 2 2cossinxxdx 解：对原式关于 x 求导，并用导数乘以dx 项即可，注意三角函数求导规则。 2 2 tan tan 2tan 2tan sec yx d

3、x x dx xx 所以， 2 2 tansec dy xx dx ，即 2 2tansecdyxxdx 5函数 2 (2)yx在区间0, 4上极小值是【D 】 A-1 B 1 C2 D0 解：对 y 关于 x 求一阶导，并令其为0，得到2 20 x ； 解得 x 有驻点： x=2，代入原方程验证0 为其极小值点。 6对于函数,fx y 的每一个驻点 00 ,xy，令 00 , xx Afxy， 00 , xy Bfxy， 00 , yy Cfxy，若 2 0ACB，则函数【 C】 A有极大值 B有极小值C没有极值 D不定 7多元函数 ,fx y 在点 00 ,xy 处关于y的偏导数 00 ,

4、 y fxy 【C】 A 0000 0 , lim x fxx yfxy x B 0000 0 , lim x fxx yyfxy x C 0000 0 , lim y fxyyfxy y D 0000 0 , lim y fxx yyfxy y 8向量 a 与向量b平行，则条件：其向量积 0ab 是【B】 A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 9向量 a 、b垂直，则条件：向量 a 、b的数量积 0a b 是【B】 A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 10 已知向量 a 、b、 c两两相互垂直，且1a，2b，3c，

5、 求abab 【C 】 A1 B2 C4 D8 解：因为向量 a 与b垂直，所以 sin,1a b，故而有： 2 2sin, 22 1 1 4 a abab aa - ab+ b a - bb b a ba b 11下列函数中，不是基本初等函数的是【B】 A 1 x y e B 2 lnyxC sin cos x y x D 35 yx 解：因为 2 ln xy是由uyln， 2 xu复合组成的，所以它不是基本初等函数。 12二重极限 42 2 0 0 lim yx xy y x 【D】 A等于 0 B等于 1 C等于 2 1 D不存在 解： 2 2 242 0 lim 1 xky y xyk

6、 xyk 与 k 相关，因此该极限不存在。 13无穷大量减去无穷小量是【D】 A无穷小量B零C 常量 D未定式 解： 所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言， 变量的一种变化趋势， 而非具体的值。 所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。 142 0 1cos2 lim sin 3 x x x 【C】 A1 B 1 3 C 2 9 D 1 9 解：根据原式有： 2 242 03 2sin22 lim 16sin24sin99 4sin3sin x x xx xx 15设(sincos ) x yexxx ，则 y 【D】 A(sincos ) x exxxB s

7、in x xex C(cossin ) x exxxD(sincos )sin xx exxxxex 解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。 (sincos ) x yexxx (sincos )(sincos ) (sincos )(coscossin ) sinsincos xx xx x exxxexxx exxxexxxx exxxxx (sincos )sin xx yexxxxex 16直线 1 L 上的 一个 方向 向 量 1111 ,m nps， 直线 2 L 上的 一个 方向向 量 1222 ,m nps，若 1 L 与 2 L 平行，则 【B】 A 121212 1m

8、mn np pB 111 222 mnp mnp C 121212 0m mn np p D 111 222 1 mnp mnp 17平面 1上的一个方向向量1111 ,A B Cn，平面 2上的一个方向向量 2222 ,A B Cn，若 1与2垂直，则 【C】 A 121212 1A AB BCC B 111 222 ABC ABC C 121212 0A AB BCC D 111 222 1 ABC ABC 18若无穷级数 1 n n u收敛，而 1 n n u发散，则称称无穷级数 1 n n u【C】 A发散 B收敛C条件收敛 D绝对收敛 19下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A】

9、A 2 xay B 22 xay C 22 22 1 xy ab D 22 22 1 xy ab 20设D是矩形：0,0 xayb，则 D dxdy【 A 】 A. ab B. 2ab C. ()k ab D. kab 解：关于单位 1 对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。 由题意知：0,0 xayb，则：00 D dxdyabab 21设 1fxx ，则1ffx【D 】 Ax B 1x C 2x D 3x 解：由于1)(xxf，得)1)(xff1)1)(xf2)(xf 将 1)(xxf 代入，得 )1)(xff = 32) 1(xx 22 利用变量替换 x y vxu, ，

10、一定可以把方程 z y z y x z x 化为新的方程【A】 A z u z u B z v z v C z v z u D z u z v 解：z 是 x，y 的函数，从 ux， y v x 可得 xu，yuv，故 z 是 u，v 的函数， 又因为 ux ， y v x 。 所以 z 是 x,y 的复合函数，故 2 1 zzzy xuvx ， 1 0 zzz yuvx ，从而 左边= zzzyzyzzz xyxxu xyuxvxvuu 因此方程变为： z uz u 23曲线 2 x ye 在点(0,1)处的切线斜率是 【A】 A 1 2 B 1 2 e C 2 D 1 2 e 解： 22

11、1 2 xx yee 。 所以，在点 (0,1) 处，切线的斜率是： 2 0 11 22 x x e 24 2 lim 3 n n n 【 A 】 A0 B 1 4 C 1 3 D 1 2 解：因为 2 01 3 22 limlim 33 n n n nn ， 所以 2 lim0 3 n n n 25 sin lim x x x 【 C 】 Acos x B tan xC0 D 1 解：因为 1sin1x 有界， 所以 sin lim0 x x x 26已知向量3,5,8m，2, 4, 7n，5,1,4p，求向量43ampn在 y轴上的投影及在 z轴上的分量 【A】 A27，51 B25，27

12、 C25，51 D27，25 解：A 4 3,5,85,1,42, 4, 7 433 52,453 14 ,483 47 25,27,51 a 因此Prj27 ya ，51 z a kk 27向量 a 与 x 轴与y轴构成等角，与 z轴夹角是前者的2 倍，下面哪一个代表 的是 a 的方向 【C】 A 2 ， 2 ， 4 B 4 ， 4 ， 8 C 4 ， 4 ， 2 D， 2 ， 2 解：C 设 a 的方向角为、，按题意有 =，=2 由于 222 coscoscos1 即 222 coscoscos 21 化简得到 22 cos2cos10 解得 cos0 或 2 cos 2 因为、都在 0

13、到的范围里，因此可以通过解反三角函数得到： 4 ， 4 ， 2 或者 2 ， 2 ， 28已知向量 a 垂直于向量23bijk和23cijk，且满足于 2710aijk，求 a = 【B】 A75ijkB75i +j + k C53ijk D5i + 3j + k 解：B 因为 a 垂直于向量b和c，故而 a必定与bc平行，因此 23175 123 ijk abcijk 又因为2710aijk 即：752710ijkijk 解得1，所以75ai +j + k 29若无穷级数 1 n n u收敛，且 1 n n u收敛，则称称无穷级数 1 n n u【D】 A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛

14、 30设 D是方形域：01,01xy， D xyd【 D 】 A. 1 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 解：D 1,1 11 22 00 0,0 11 44 D xyddxxydyx y 31若 1 x ea fx x x ，0 x为无穷间断点，1x为可去间断点，则 a【 C 】 A1 B0C e D 1 e 解：由于 0 x 为无穷间断点，所以 0)( 0 x x ae ，故 1a 。若 0a ，则 1x 也是无穷间断点。由 1x 为可去间断点得ea，故选 C。 32设函数)(),(xgxf是大于零的可导函数，且0)()()()(xgxfxgxf， 则当 bxa 时，有 【 A 】

15、 A)()()()(xgbfbgxf B)()()()(xgafagxf C)()()()(bgbfxgxf D)()()()(agafxgxf 解：考虑辅助函数 ,0 )( )()()()( )(, )( )( )( 2 xg xgxfxgxf xF xg xf xF则 .)(严格单调减少函数则xF , )( )( )( )( , bg bf xg xf bx时当 ).().()()()(Abfxgbgxf应选即有 33函数函数 2 3 5yx 可能存在极值的点是 【 B 】 A 5x B 0 x C 1x D不存在 解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。 当 x=0时

16、，函数取得最小值y=5。 34tan3secyxxx，则y【 D 】 Atan3sectanxxx B 2 tansecxxx C 2 sec3sectanxxxxD 2 tansec3sectanxxxxx 解： 2 tan3sectan3sectansec3sectanyxxxxxxxxxxx 35设 1 sinyx x ，则dy【 C 】 A 111 (sincos)dx xxx B 111 (cossin)dx xxx C 111 (sincos)dx xxx D 111 (cossin)dx xxx 解：对 y 关于 x 求一阶导有： 1111 sin(sincos ) dy yx

17、xxxxdx 所以， 111 (sincos)dydx xxx 36设直线 34 xyy k 与平面2 93100 xyz平行，则k等于【 A 】 A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 解：直线的方向向量为 3, ,4k ，平面的法向量为 2, 9,3 。 因为直线和平面平行，所以两个向量的内积为 0。 即：3 29340k 得到： 2k 37若 2 ( , )2f x yxy ，则 (1,0) x f【 A 】 A. 4 B. 0 C. 2 D. 1 解：因为 2 ,24 x x fx yxyx 所以 1,04 14 x f 38 ( , ) xfx y 和 ( , )yfx y 在点0

18、0(,)xy 连续是( ,)f x y在点 00(,)x y 可微分的 【A 】 A. 充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件 解：由定理直接得到：如果函数 ,zfx y 的偏导数 , zz xy 在点 , x y 连续，则 函数在该点的全微分存在。 39在xoy面上求一个垂直于向量5, 3,4a，且与 a 等长的向量b =【D 】 A 2717 ,0 1515 B 2515 ,0 1717 C 1727 ,0 1515 D 1525 ,0 1717 解：由题意设向量 , ,0 x yb ，因为 a 垂直于b且a b，所以有： 2 22222 0 0534xy b a ，即： 22

19、 530 50 xy xy 由以上方程解得 15 17 x ， 25 17 y ， x ， y 同号 故而所求向量 1525 ,0 1717 b 或者 1525 ,0 1717 b 40微分方程 3dy xyx dx 的通解是 【 B 】 A. 3 4 xc x B. 3 2 x cx C. 3 2 x c D. 3 4 x cx 解： 32dyy xyxyx dxx 令 1 p x x ， 2 q xx 由一阶线性非齐次微分方程的公式有： 2 3 1 2 p x dxp x dxp x dx yCeeq x edx Cxx xdx x x Cx 二、判断题 1 21, y y 是齐次线性方程

20、的解，则 1122 C yC y 也是。 （） 2 ,yfy y （不显含有x） ，令yp，则yp。 （） 解：根据微分方程解的性质得到 dp yp dy 。 3对于无穷积分，有lim bb tt fx dxfx dx。 （） 4f x 在 0 x的邻域内可导， 且0 0fx ，若：当0 xx 时，0fx； 当 0 xx 时， 0fx 。则 0 x为极小值点。（） 解：根据极值判定定理第一充分条件， 0 x为极大值点。 5 f x 在,a b 上连续，在 ,a b 上有一阶导数、二阶导数，若对于 ,0 xa bfx , 则f x 在 ,a b 上的图形是凸的。（） 6二元函数 22 2zxy

21、的极大值点是0,0 。 （） 解：原式中 2 0 x，当且仅当 x=0 时，取到极小值 0 ； 同样， 2 0y，当且仅当 y=0时，取到极小值0 。 所以，函数的极小值点位于（0，0） 7设arctanzxy ，其中 x ye ，则 dz dx 1。 （） 解：直接求微计算： 2 2 2 arctan 1 1 1 1 1 x x dxy dzdxy dxdxydx dy yx dx xy yxe xy yxe xy 8设 V 由 01x，0 1y， 01z所确定，则 v dv1。 （） 解：由题意得到积分区域V 为各向尺度为 1 的立方体，其体积即为1。 9函数lnlnzxy的定义域是,|0

22、,0 x yxy。 （） 解：由对数定义得到,|0,0 x yxy。 10设 xy zxe，则 z x 1 xy xy e 。 （） 11 21, y y是齐次线性方程的线性无关的特解，则 1122 C yC y 是方程的通解。 () 12齐次型微分方程 dxx dyy ，设 x v y ，则 dxdv vy dydy 。() 13对于瑕积分，有lim bb at ta fx dxfx dx ，其中a为瑕点。 () 14f x 在 0 x的邻域内可导，且0 0fx ， 若： 当0 xx 时，0fx， 当 0 xx 时， 0fx 。则 0 x为极大值点。 () 解：根据极值判定定理第一充分条件，

23、 0 x为极小值点。 15设)(xfy在区间 I 上连续， 0 x是 fx 的内点，如果曲线)(xfy经过 点 00 ,xfx 时，曲线的凹凸性改变了，则称点00 ,xfx 为曲线的拐点。 () 16设D是矩形区域,|01,03x yxy，则 D dxdy1 （） 解：显然该积分表示长为3，宽为 1 的矩形面积，值应为3。 17若积分区域D是 22 14xy，则 D dxdy3。 （） 解： 22 14xy是一个外环半径为2，内环半径为 1 的圆环，积分式 D dxdy是 在圆环上单位 1 的二重积分，所以求的是圆环的面积。 原式= 22 413 18设V是由 22 zxy ，14z所确定，函

24、数 fz 在 1,4 上连续，那么 v fz dxdydz1 4 e。 （） 解： v fz dxdydz 21 2 00 1 4 r dtre dre。 19设不全为 0 的实数 1，2，3使123 0abc vv vv ，则三个向量, ,a b c v vv 共面。 （） 20二元函数 22 64zxxyy的极大值点是极大值3,236f。 （） 21若 * 1122 yC yC yy为非齐次方程的通解，其中 21, y y为对应齐次方程的 解， * y 为非齐次方程的特解。 () 解：根据齐次线性方程解的性质， 1 y 与 2 y 必须是线性无关的解， * y 是其特解。 22 若函数 f

25、x 在区间 ,a b 上连续，则 ,a b ， 使得 b a fx dxfba 。 () 23函数 fx 在 0 x 点可导00 fxfx 。() 24f x 在 0 x处二阶可导，且0 0fx ，0 0fx 。若0 0fx ，则 0 x为 极大值点。 () 25若lim xa fx ，则ax为一条水平渐近线。 () 解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，ax为一条铅直渐近线。 26设表示域： 222 1xyz，则zdv1。 （） 解：由定义得知表示以原点为中心， 半径为 1的正球体， 故而 z 轴方向关于球 体的积分值为 0。 27微分方程 x yye 的通解为y 1 2 xx ece。

26、（） 解： x yye 对应的线性一阶齐次方程是： 0 x dydy ydxyCe dxy 结合原方程，等式右边项含x，所以通项公式为： x yC x e 将通项公式带入原式，得到： xx dy Cx eCx e dx 代入 xdy ye dx ，得到： 2 1 2 xxx xx xx x Cx eC x eye Cx ee C xee dxC C xeC 最后得到： 2 11 22 xxxx yeCeeCe 28 设3a v ， 5b v ，4c v ， 且满足0abc vv vv ， 则 a b b c c a vv vvvv 6。（） 解：经计算向量积得到模值为36。 29ln 2 y

27、zx x , 则 z x 2 41 2 x xyx 。 （） 30设D为0,0O，1,0A与0,1B为顶点三角形区域，, D fx y dxdy 1 00 , x dxfx y dy。 （） 31若 * 1122 yC yC yy 为非齐次方程的通解，其中 21, y y 为对应齐次方程的 解，* y 为非齐次方程的解。（） 解：根据齐次线性方程解的性质， 1 y 与 2 y 必须是线性无关的解， * y 是其特解。 32若F x为f x 的一个原函数，则 b a fx dxF bF a 。 （） 33函数可微可导，且00dyfxxfxdx。 （） 34f x 在 0 x 处二阶可导，且 0

28、0fx ， 0 0fx 。若 0 0fx ，则 0 x 为 极小值点。（） 解：根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。 35若 lim x fxb ，则 by 为一条铅直渐近线。（） 解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，by为一条水平渐近线。 36二元函数 22 3zxy的最小值点是0,0 。 （） 解：因为原式中 2 0 x，当且仅当 x=0时，取到极小值 0 ； 同样， 2 0y，当且仅当 y=0时，取到极小值0 。 所以，函数的极小值点位于（0，0） 37微分方程2sinyyx的一个特解应具有的形式是 sincosaxbxcxdx。 （） 解：原微分方程的特征函数是： 2 10，

29、 1w 。 得到两个无理根： i。 即 iw 是特征根。 因此，特解的形式为： * ()sin()cosyaxbxcxdx 38设lnzxxy ，则 2 z x y 2 x xy （） 解：经计算得到微分表达式2 x xy 。 39微分方程22 x yyye 的通解为y 2xx abx ecx e 。 （） 解：由微分方程通解求解准则直接得到。 40设V由xyzk，0 1x ，01y， 0z 所确定，且 7 4 v xdxdydz， 则k 14 3 。 （） 解：变换积分方程即可求得。 三、填空题 1若 201 02sin 2 xx xx y ，则 ) 2 (y 。 解： 2 1 4 1.57

30、 2 x ，因此 2 2 11 224 y。 2求arcsinyx的导数y。 解： 2 1 1x 此函数的反函数为，故则： 3设 1 arctany x ，则dy。 解： 2 1 1 dydx x 2 22 1111 arctan 1 1 1 dy y xxxdx x 所以， 2 1 1 dydx x 4设,23,aik bijk求 ab。 解： 333ijk 由101333 . 231 ijk abijk 5将函数 2 () 2 x fx xx 展开成x的幂级数是。 解： 0 11 ( 1),11 32 nn n n xx 2111111 ( )() (2)(1)3 23131 1 2 n

31、f x x x xxxx 因为： 0 11 ,22 2 1 2 n n n xx x 而且： 0 1 ( 1),11 1 nn n xx x 所以， 000 1111 ( )( 1)( 1),11 3232 nnnnn nn nnn f xxxxx 6极限。 解：0 lim sin sin x x x x 0 2 1 010 sin lim 1 sinlim) sin 1 sin(lim sin 1 sin lim 000 2 0 x x x x x x x x x x x xxxx 7求 32 32 342 lim 753 x xx xx 。 解： 3 7 8 2 2 32sin lim 2

32、cos x xxx xxx 。 解：1 原式： 2 2 32sin lim 2cos x xxx xxx 原式分子 sin x有界，分母 cosx有界，其余项均随着x趋于无穷而趋于无穷。 这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。 9 设ABC的顶点为(3,0, 2)A,(5,3,1)B,(0,1,3)C， 求三角形的面积是。 解： 2 6 3 由向量的模的几何意义知ABC的面积 1 | 2 SABAC. 因为2,3,1, 3, 1,1ABAC 得2 3 127 3 1 2 ijk ABACijk ，所以 222 |217543 6ABAC 。于是 2 6 3 S 10无穷级数的和

33、是。 解： 22 27 先将级数分解： 第二个级数是几何级数，它的和已知 求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察 2 3 0 111124 ( 1)(1)( ) 1 222427 (1) 2 n n n n nS 因此原级数的和 4222 27327 A 11已知2 2 lim 2 2 2 xx baxx x ，则a_，b_。 解： 2a ， 8b 由所给极限存在知 , 024ba, 得42ab, 又由2 3 4 1 2 lim 2 lim 2 2 2 2 a x ax xx baxx xx , 知8, 2 ba。 12已知 12 34 xx y xx ，求y。 2 0 1 (1)(1) 2

34、n n n nn 2 000 111 (1)(1)(1)(1)() . 222 nnn nn nnn Annn n 0 112 (). 1 23 1() 2 n n 0 1 ( 1) 1 nn n x x (1)x 2 3 00 12 ()( 1)(1)(1)() 1(1) nnnn nn S xn nxx xx 解： 12 11111 2341234 xx xxxxxx 先两边取对数 再两边求导 因为 所以 13 2 (2coscsc)xx dx 。 解：2sincotxxC 直接积分就可以得到： 22 (2coscsc)2coscsc2sincotxx dxxdxxdxxxC 14求平行于

35、 z 轴，且过点 1 1,0,1M和 2 2, 1,1M的平面方程是。 解：10 xy 由于平面平行于 z 轴，因此可设这平面的方程为： 0A xB yD 因为平面过 1 M 、 2 M 两点，所以有 0 20 AD ABD 解得A D，BD，以此代入所设方程并约去 0D D，便得到所求的平面 方程：10 xy 15无穷级数 1 1 (1)! n n n n 的收敛发散性是。 解：收敛 因为： 1 1 22 (2)!(2)11 1() 1 (1)(1)!(1) (1) n n n n n unnn n n unnne n 所以：无穷级数 1 1 (1)! n n n n 收敛 16 3 0 t

36、ansin lim tan 3 x xx x 。 解： 1 54 17计算广义积分 2 1 1 dx x 。 解： 18设 3 (cot )cosyx xxx，则 y 。 解： 14211 2 33333 41 cossincotcoscsccoscos 33 yxxxxxxxxxxxx 3 (cot)cosyx xxx 333 2 2333 14211 2 33333 (cot )cos(cot) cos(cot )cos 1 (cot)cos(1csc)cos(cot)sin 3 41 cossincotcoscsccoscos 33 xxxxx xxxx xxx xxxxxxxx xxx

37、 xxxxxxxxxxxx 19幂级数 12 1 1 ( 1)(1) ( 21) nn n x nn 的收敛区间是。 解：( 1,1) 此级数是缺项的幂级数 令 112 1( 21)1 ()( 1)(1),1,2, ( 21)( 21) nnn n nn uxxxn nnnn 因为 221( ) (1)(21) 1(21) limlim ( )(1)(21)(21) 1 n nn n uxnnnn xx uxnnnn 当 2 1x，即 1x 时，级数绝对收敛；当 2 1x，即 1x 时，级数发散。 所以幂级数的收敛区间为 (1,1) 20幂级数 121 1 ( 1) ( 21) nn n x nn 的收敛域是。 解：( 1,1) 由于该幂级数缺项幂级数，则直接用比值判别法求之。 设 23 2 1 21 ()( 21) limlim ()(1)( 21) n n n xx n xux nn x uxnn x 当，即时，原级数绝对收敛； 当