高数(下)要点(含微分方程)——自己整理的

1、第六章微分方程一、一阶微分方程一阶线性方程式伯努利方程逮捕令二、可约高阶方程1.子积分2.显示渡边杏盒顺序，作为一阶方程式。3.不包含参数变成一阶方程。三、线性微分方程而且，齐国时，郑智薰称为统一。1.二阶线性齐次线性方程(1)函数和是方程式(1)的两个解决方案。(1)的解决方案。其中是任意常数。如果有与方程式(1)的两条定线无关的特殊解法，(任意常数)是(1)的一般解法。与路线无关的两个函数的先决条件如下(常数)二阶线性非齐次线性方程设置为二次线性非齐次线性方程特殊解之一是相应齐次方程(1)的一般解，是方程的一般解。设定和分离是二次线性非齐次方程哇两种特殊解决方案。是的，是的的特殊解决方案。

2、(嵌套原理)二阶线性常数系数齐次方程特征方程式，特征布线性质方程式的来源的一般解决方案两个不等的心室肌两个相等的实根一对共轭腹肌4.二阶线性常数系数郑智薰统一方程I)如果，二阶线性常数系数郑智薰统一方程有相似的特殊解。其中是二次多项式，系数是未定义的二次多项式。根据特征管线的重量获取值。I)如果，二阶线性常数系数郑智薰统一方程的特殊解可设置为其中是系数为未定的二次多项式。根据特征布线的转向值。四、欧拉方程二次欧拉方程。其中是常数。转换，是。原始方程式成为二次线性常数系数方程式。第七章空间分析几何首先，1，其中是与的角度。2、符合以下运算法则的向上产品：1)反交换法；2)接合定律，其中是量；3)

3、左分配法，右分配定律。3、4，如果为，则称为单位向量。这时其中方向馀弦。三、1、旋转曲面方程Yoz平面中围绕曲线c: z轴的旋转面表达式是：绕y轴线的回转面方程式为：类似于面方程式，在其他座标侧绕曲线旋转。2，圆柱方程式使用曲线c:(位于Xoy平面上)做为导引，母线平行于z轴线的圆柱方程式为.相同的方程式和母线分别表示平行于x轴和y轴的圆柱。3、将曲线投影到坐标面在空间曲线的方程式中，透过相同的解决方案变形分别移除变数，您可以取得投影至yoz、xoz、xoy平面的曲线，如下所示：四、一、平面方程1)点法国：过点，法线向量的平面方程式，2)正常：其中不是全部为零。3)节：4)两个平面之间的关系设

4、定两个平面 1和 2的法线向量是。 1和 2的角度由相应法线向量的角度(取锐角)指定。这时2222222121212121212121|Coscbacbaccbbaannnn2=2=rrrrq2，直线方程式1)一般：将直线表示为两个平面的交点.2)如果直线通过点且平行于方向向量，则的方程式为I)镜像：Ii)参数化：3)两条线之间的关系将两条直线L1和L2方向向量分别设定为，并指定L1和L2之间的角度为该方向向量的角度(锐角)3、直线与平面的关系直线l的方向矢量设置为，平面的法向矢量设置为。使用l和之间的角度指定将直线投影到l和上的角度(锐角)。这时.垂直于L 的充要条件是。与L 平行的充要条件

5、是xoy图3z第五，1，椭圆抛物线：其中(图3)。例如，等。yzxo图42，椭圆圆锥：其中(图4)。例如，圆锥。图5zyoabx3、单叶双曲面，其中(图5)。例如。xzoyc-c(图6)4，双叶双曲面，其中(图6)。是的。第八章多元函数的微分一、一。部分衍生产品对一个参数求部分导数是把剩下的参数视为常数，对这个变量求一元函数的导数。2.高阶部分导数二元函数的二阶偏微分、或；、或；称为二阶混合部分微分。3、全美点处二元函数的总微分三元函数的总微分4、微观、刘涛、连续关系在多元函数中，可微分、可刘涛、连续关系和一元函数的情况不同。在多元函数中1)一定能诱导，诱导不一定很小。2)微小、连续，连续不一

6、定很小。3)诱导不一定连续，连续不一定诱导5，复合函数的偏微分假设以下函数都很小，则有复合函数的刘涛公式(链定律):A.如果、复合函数的导数为=；B.如果、复合函数的部分导数=，=；6、隐式函数的部分导数1)方程确定的隐式函数的导数是。2)方程确定的隐式函数的部分导数为：，第二，1，获得极值的必要条件函数同时存在于点的两个部分微分中，并且从该点函数获取极值。可刘涛的极限点必须是主分，但极限点不一定是主分。获得极值的充分条件停车点的邻居有二次连续部分微分。命令，所以有1)，则点是函数的极值点。当时是极端的。当时是很小的价钱。2)那么，点不是函数的极值点。3)在这种情况下，函数无法确定点的承诺值，

7、因此必须用其他方法确定。3.条件极值1)要在约束=0中查找二进制函数的极值，请执行以下步骤：I)拉格朗日函数的构建；Ii)解方程。方程的解法是其条件极值问题的可疑极值点。三、多元微分几何的几何应用1.空间曲线的切线和法线平面具有连续微分，且所有微分都指定为非零(平滑曲线)的空间曲线。与点的点相对应的参数是。点处曲线的切向矢量为：在此情况下，相切方程式为.点处曲线的法向平面方程式为2.曲面的相切平面和法线如果存在连续偏微分，并且给出了所有三个偏微分都不是0(光滑曲面)的曲面的方程，那么点就是上面的点。点的曲面法线向量为而且，此时，切平面方程如下而且，点处曲面的法线方程式为.四。方向导数和斜率1.

8、如果函数是点的微小方向馀弦，则函数会将点的方向导数计算为。函数可以在空间区域中区分，点的函数阶梯为向量grad=。渐变方向是函数变化率的最大方向。在渐变方向上，函数的方向导数得到最大值。第九章重积分一、二重积分计算1.笛卡尔坐标下的二重积分计算1)积分区域可以表示为：时2)积分区域可以表示为：极坐标下的二重积分计算笛卡尔坐标和极坐标的关系，此时，面积图元可以是或。极坐标可以用表示积分区域二、三重积分计算，显示的卷。1.笛卡尔坐标中三重积分的计算1)“一、二”法积分区域可以表示为:是其中投影到xoy坐标面上。2)“第一第二”方法在z轴上，积分区域的投影部分。平面(常数)切割，剖面。设定为其中是投

9、影在xoy坐标曲面上的二重积分。圆柱坐标中三重积分的计算笛卡尔坐标与柱坐标的关系，体积块元素是或。如果积分区域位于柱坐标中，则可以表示为，是3.用球面坐标计算三重积分直角座标与球形座标的关系，体积块元素是或。如果积分区域位于球坐标中，则可以表示为:下一个简单计算：对称奇偶校验，重心公式。三、重积分的应用1.歌曲顶柱的体积歌曲顶部圆柱的体积。2.质量密度为时，平板的质量。密度等于物体的质量。3.曲面面积曲面的方程式为。其中是边界闭合区域，如果上面有连续的部分微分，则曲面的面积为.面积未满第11章无限系列一个，1，a .收敛=收敛，收敛发散=发散，发散=收敛发散。B.收敛级数任意括号中得到的级数收

10、敛，其和保持不变。2，两个重要系列，收敛和发散1)几何系列.当时级数的收敛，其和；当时那个系列发散出来了。2-系列.当时，该系列收敛了；当时那个系列发散出来了。当时的系列叫做谐波系列，那是发散系列。二、正级数的收敛方法(，)1)(交叉检查)总和是正序列。钻圈原理强序列收敛时，弱序列收敛。弱系列发散时，强系列发散。打破记录原理2)(比较收敛方法的极限形式)设置和都是积极的系列。如果系列和系列同时收敛或同时发散。(或如何？)，以获取详细信息3)(比率收敛法)如果你满足正系列，那时，级数的收敛；系列发散；系列可以收敛，也可以发散。4)(近值收敛法)如果你满足正系列，那时，级数的收敛；系列发散；系列可

11、以收敛，也可以发散。5.交错级数的莱布尼茨收敛方法设置，系列称为交错系列。定理(莱布尼茨收敛法)设置为交错系列。如果满意：1)关于所有自然数；2)收敛，然后求和。级数的绝对收敛和条件收敛系列收敛的话，称为系列的绝对收敛。收敛和发散称为级数条件的收敛。对任意系列绝对收敛的话，就要收敛。三、幂级数(，)1.阿贝尔定理2.幂级数收敛半径；收敛区间。“收敛”字段：收敛间隔可以添加收敛的端点收敛半径方法1)幂级数的情况；2)幂级数的情况幂级数特性性质1。(和函数连续性)幂级数的和在收敛域内是连续的。性质2 .(逐项积分)在收敛区间上，可以逐项整合幂级数和函数。逐项积分后的幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径。性格3。(逐项介绍)幂级数和函数在收敛区间有逐项刘涛公式。而且，逐项刘涛后，幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径。3.幂级数计算1)幂级数的加法和减法对于收敛域，收敛域为。2)幂级数乘法幂级数和收敛半径各一个。设定为时，两个幂级数乘积的收敛半径自下而上增加4.函数的幂级数展开点附近有任意阶导数的话，幂级数就叫做点上的泰勒级数。