高等数学公式(极限与导数)

1、两个两个重要极限重要极限 第一个重要极限：1 sin lim 0 x x x 推论： 0 tan lim1 x x x ， 0 arcsin lim1 x x x ， 0 arctan lim1 x x x 第二个重要极限： 1 lim(1)x x e x 其他形式： 1 0 1 lim(1),lim 1 x x n n exe n 推论： 00 log (1)1 lim ln ln(1) lim1 x a x x a x xx 00 11 limlnlim1 x xx x a a e xx 等价无穷小等价无穷小 常用的等价无穷小（当0 x 时） sin xx arcsin xx tan xx

2、 arctan xx 2 1 cos 2 x x 1ln x axa 1 x ex log (1) ln a x x a ln(1) xx (1)1xx 11 n x x n 11 2 x x 当1x 时，ln1xx（这个等价无穷小很有用。 ） 证明：lnln1 (1)1xxx（10 x ） 一些更高阶的等价无穷小（当0 x 时）: 3 sin 6 x xx （ 35 sin. 3!5! xx xx） 3 tan 3 x xx （ 35 2 tan. 315 xx xx） 3 tansin 2 x xx （ 35 tansin. 28 xx xx） 2 1 2 x x ex （ 23 1. 2

3、!3! x xx ex ） 2 ln(1) 2 x xx （ 23 ln(1). 23 xx xx） 导导 数数 导数公式 常值函数： 0C 幂函数： 1 2 111 (),(),( ) 2 xxx xxx 指数函数：()ln xx aaa ， () xx ee 对数函数： 1 log ln a x xa ， 1 ln x x 三角函数： sincosxx cossinxx 2 2 1 tansec cos xx x 2 2 1 cotcsc sin xx x secsec tanxxx csccsc cotxxx 反三角函数： 2 1 arcsin 1 x x 2 1 arccos 1 x

4、x 2 1 arctan 1 x x 2 1 arccot 1 x x 2 1 (arcsec ) 1 x x x 2 1 (arccsc ) 1 x x x 双曲函数： sh ch xx ch sh xx 2 1 th ch x x 2 1 cth sh x x 反双曲函数： 2 1 arsh 1 x x 1 1 arch 2 x x 2 1 1 arth x x 高阶导数高阶导数 函数函数 f(x)在点在点 x0处的二阶导数的定义处的二阶导数的定义： 00 0 0 ()() ()lim h fxhfx fx h 注注 如果函数 f(x)在点 x0处的二阶可导，则函数 f(x)在点 x0的某

5、个邻域内必须有连续的导数 ( )fx。 一些常用的n阶导数公式 ( ) ! ()()(1)(2).(1) ! nnnn xxnxx n ()! nn xn ()(ln ) n xxn aaa ( ) () xnx ee ( ) ()() xnx xexn e ( ) 1 1! ()( 1) () n nn n a n axbaxb ( ) 1 1! ()( 1) 1(1) nn n n xx ( ) 1 1! ( )( 1) nn n n xx n nn x n x 1 !1 11ln 1 2 sinsin nxx n 2 coscos nxx n ( ) sin()sin() 2 nn ax

6、baaxbn ( ) cos()cos() 2 nn axbaaxbn 两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式） ： kkn n k k n n vuCuv 0 或 ( )()( ) 0 (1).(1) () ! n nn kk k n nnk uvuv k 求导法则求导法则和方法和方法 导数的四则运算法则 和差的导数：()uvuv 乘积的导数：()uvu vuv 特例：()CuCu 商的导数： 2 uu vuv vv 特例： 2 1v vv 复合函数的求导法则（链式法则） 设( )yf u和( )ux可导，则 dydy du dxdu dx 或 ( )( ) dy f ux dx 或 ( )

7、( )( )fxfxx 复合函数的二阶导数 设( )yf u和( )ux二阶可导，则复合函数( ( )yfx也二阶可导，且 222 2 222 () d yd ydudy d u dxdudxdx dx 或 2 ( ( )( )( ( )( )yfxxfxx 反函数的求导法则 设( )yf x是单调的可导函数，则其反函数 1( ) xfy 也可导，且 1dx dy dy dx 或 1 1 () ( ) ( ) fy fx （其中( )yf x） 参数方程求导公式 参数方程 xx t yy t 确定的函数( )yy x的导数： y tdy dxx t 二阶导数： 2 23 () ( ) ( )( )( ) ( )( ) t dy d yy t x ty t x t dx dxx txt 三阶导数： 2 3 2 3 () ( ) t d y d y dx dxx t