高等数学下册期中考试题(答案)

1、华侨大学华侨大学 高等数学高等数学 A（下册）期中考试试题期中考试试题 考试日期：2010年5月15日上午上午 8：3010：30 院别 班级 学号 姓名 成绩 大题 一 二 三 四 五 六 七 小题 1 2 3 4 5 得分 一填空题：填空题： （本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分，把答案直接填在题中横线上若填在分，把答案直接填在题中横线上若填在 答题纸上，不给分！答题纸上，不给分！） 1、已知19b = ? 13a = ? ，24ab+= ? ? ，则ab= ? ? 2、设，则 2 21 z xxyyze+= (0,1) dz= . 3、设( , )

2、f x y为连续函数，交换积分次序： ln 10 ( , ) ex dxf x y dy = . 4、函数( , , ) y z f x y zx=的梯度为( , , )f x y zgrad= . 5、微分方程 1dy dxxy = + 的通解为 . 以下各题在答题纸上作答以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号，并在每张答题纸写上：班级、姓名、学号 二 试解下列各题：二 试解下列各题： （本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 7 分，满分分，满分 35 分分） 1、【7 分7 分】 求直线 在平面 234

3、7 : 410 xyz L xyz += += 0 0 0:25xyz+= 上的投影直线方程 2、 【7 分7 分】设uf，其中 22 (, xy) xye=f具有二阶连续偏导数，求 2u x y 3、 【7 分7 分】求微分方程 满足初始条件 4 x yyxe = 00 0,1 xx yy = = 的特解 4、 【7 分7 分】设:1, 02Dxy, 求 2 D yxdxdy 5、 【7 分7 分】求极限 ( , )(0,0) lim 21 xyx y xy e 三【满分 9 分满分 9 分】求曲线在点 222 6 0 xyz xyz += += (12 1 )M， ，处的切线及法平面方程

4、20092010 学年第二学期华侨大学 09 级高等数学 A 下册期中考试试题 1 四【满分 9 分满分 9 分】计算 ，其中zdxdydz 是由锥面 2 h zx R 2 y=+与平面 所围成的闭区域 (0,0zh Rh=) 2 五【满分 12 分满分 12 分】求函数 2 ( , )4f x yxxyy=+ 在闭圆域 22 1xy+ 上的最大值与最小值 六【满分 9 分满分 9 分】 求锥面 2 zxy=+ 2 被柱面 22 2xy+=y 所割下部分的曲面面积 七【满分 6 分满分 6 分】 设具有连续偏导数且偏导数不同时为零，均为常数， ( , )F u v, ,a b c 证明：曲面

5、(,) xa yb F zczc = 0 的所有切平面恒过一定点 20092010 学年第二学期华侨大学 09 级高等数学 A 下册期中考试试题 2 华侨大学 09 级高等数学(下册)期中考试试题 参考解答与评分标准 2010 年 5 月 一、填空题【每小题【每小题 4 分，共分，共 20 分】分】 1、 22； 2、； 3、； 4、2dxdy 1 0 ( , ) y e e dyf x y dx 1 2 1 (,ln ,ln yyy zzz yy )xxxxx zzz ； 5、1 y xCey= 二、试解下列各题【每小题每小题 7 分，共分，共 35 分分】 1、解： 过的平面束方程为L23

6、47(410)0 xyzxyz+=.【2】 取 1 (24 ,3,4),(1,2,1)nn2=+= ? 由 12 0n n= ? ? i，得4= 于是过的投影平面方程为. 【5】 L147330 xy+= 故所求投影直线方程为 147330 25 xy xyz = 0+= 【7】 、解：由 1 2 xy u 2 xfyef x =+ 【2】 得 2 1112222122 2 ( 2)( 2) xyxyxyxyxy u xyfxefefxyefyeyfxef x y =+ 【6】 222 1112222 42()(1) xyxyxy xyfxyefxyefxy ef= +【7】 、解：对应的特征

7、方程为0yy = 2 10r =，得 1,2 1r= ， 于是的通解为. 【2】 0yy = 12 x YC eC e=+ x 设原方程特解为代入原方程，得 * () x yx axb e=+1,1ab= 于是. 【4】 * (1) x yx xe= 从而原方程通解为. 【5】 12 (1) xx yC eC ex xe =+ x 将 00 0,1 xx yy = = x 代入得 12 1,1CC= 所求特解为. 【7】 (1) xx yeex xe =+ 、解： 2 2 112 22 101 ()() x D x yx dxdydxxy dydxyxdy =+ 2 【4】 1111 4244

8、2 1100 11 (22)2 (22) 22 4 1 2 x dxxxdxx dxxxdx =+=+ 121 2(2) 531015 =+= 46 .【7】 20092010 学年第二学期华侨大学 09 级高等数学 A(下册)期中考试试题参考解答与评分标准 2 2 、解： ( , )(0,0)( , )(0,0) ( 21) limlim 1 21 xy xy xyx yx y xyxye e e + = . 【3】 ( , )(0,0) 2lim2 x y xy xy = = 【7】 三、【9 分】 解： 方程两边对 x 求导， 得 1 dydz yz dxdx dydz dxdx x+=

9、 += 从而, dyzxdzxy dxyzdxyz = . 【3】 将点代入得切向量(1, 2,1)M(1,)|(1,0, 1) M dy dz T dx dx = ? . 【5】 故所求切线方程为 12 10 1 1 xyz+ = 法平面方程为 即.【9】 1 (1)0 xz =0 xz= 四、【9 分】解： 02 :0R h zh R ，【3】 则zdxdydzz d d dz = 2 00 Rh h R ddz = dz. 【6】 22 0 () 2 2 R h h R d = 22 2( ) 244 RR h = 22 R h 0 .【9】 五、五、【12 分】解：由得 2 40 22

10、 x y fy fxyy =+= =+= ( , )f x y在圆域 22 1xy+ = 其它 计算二重积分 ( , ) D f x y dxdy ， 其中 22 ( , )1Dx y xy=+ 2 五【满分 12 分满分 12 分】求由圆柱面 22 xyR+=与 222 xzR+=)(0R 所围成的立体的体积和表面积 六【满分 9 分满分 9 分】 求函数在由直线 2 ( , )(4)zf x yx yxy=6xy+=,x轴与轴所围成的闭 区域 D 上的最大值与最小值 y 七【满分 6 分满分 6 分】设函数在闭区间0上连续，证明： )(xf, a 2 00 1 ( )( )( ) 2 aa

11、a x f x dxf y dyf x dx = 20082009 学年第二学期华侨大学 08 级高等数学 A 下册期中考试试题 2 华侨大学 08 级高等数学(下册)期中考试试题 参考解答与评分标准 2009 年 5 月 一、填空题【每小题【每小题 4 分，共分，共 20 分】分】 1、 40 17 . 2、C. 3、 2 0111 1000 ( , )( , ) xx dxf x y dydxf x y dy + + . 4、1. 5、 10 3 . 二、试解下列各题【每小题每小题 7 分，共分，共 35 分分】 1、 解：直线的方向向量为 1 L 1 121(6, 3,0) 122 ij

12、k s = ? ? .2 平面的法向量，因为直线的方向向量(3, 4,1)n = ? Ls ? 同时与向量 1 s ? 、n ? 垂直，故可取 1 630( 3, 6, 15)3(1,2,5 341 ijk ssn= = ? ? ) .6 故所求的直线方程为 104 : 125 xyz L + = .7 、解：由于 22 8(4 z )xfxy x = ， 22 2(4 z yfxy y = ) .4 所以 (1,2) (1,2) (1,2) 8(0)4(0)42 zz dzdxdyfdxfdydxdy xy =+= .7 、解：方程两边分别对x求导，得 22230 2350 dydz xyz

13、 dxdx dydz dxdx += += 2232 352 dydz yzx dxdx dydz dxdx += = 3 从而 1041596491 , 1061610616 MM MM dyxzdzxy dxyzdxyz + = = ， .5 于是曲线在M处的切向量为 911 (1, , )(16,9, 1) 161616 T = ? .6 故所求的法平面方程为 16(， 即 1)9(1)(1)0 xyz+=169240 xyz+= .7 、解： 1 u 2 fyzf x =+ ， 2 2 1112221221112222 ()()() u fxyfyfyz fxyffy xz fxy z

14、fyf x z =+=+ .7 华侨大学 08 级高等数学 A(下册)期中考试试题参考解答与评分标准 2 2 、 解： 由 22 2xyz+=及2z=消去得z 22 4xy+=， 从而知在xOy面的投影区域为 22 :4 xy Dxy+， 从而可表示为 2 1 2, 02, 02 2 z 故 2 2 2 2 223 0 0 /2 ()xydvdddz += 2 32 0 1 2(2) 2 d= 2 46 0 21 2 412 = 6 16 3 = .7 三、【9 分】解：对应的齐次方程的特征方程为 2 230rr+=，解得 1 1r=， 2 2 3r= 故对应的齐次方程的通解为 3 12 x

15、YC eC e x =+ 4 设原方程的特解为，代入原方程得24 * () x yx axb e=+(2)2aaxbx1+=+，解得 11 , 48 ab=， 所以 *2 11 ( 48 x yxx=+)e， .7 从而所求的通解为 32 12 11 ( 48 xx yC eC exx e =+) x , . .9 四、【9 分】解：|将划分为四部分，其中上、下、左、右部分分别记为则 |yx=D 1234 ,D D D D 1234 22 () DDDD Ixy dxyd + =+ 3 由奇偶对称性得 7 1 22 2()0 D Ixy d=+ + 3 1 3 4 0 4 1 22 2 44

16、dd = = 9 五、五、【12 分】 解：（1） 该立体位于第一卦限部分 1 在xOy面上的投影区域为 22 0, : 0 xR D yRx .2 从而的体积为 1 22 222222 1 000 2 () 3 RRxR D VRx ddxRx dyRxdxR = 3, .5 由对称性得所求的体积为 3 1 16 8 3 VVR= .6 (2) 记在第一卦限内位于圆柱面 222 xzR+=上的那部分表面积为，则 1 A 2 1 2222 1 () DD xR Adxdydxdy RxRx =+= 22 2 22000 1 RRxR RdxdyRdxR Rx = .11 由对称性，所求立体的表

17、面积为 .12 2 1 1616AAR= 华侨大学 08 级高等数学 A(下册)期中考试试题参考解答与评分标准 3 3 六、【9 分】解：由 ，.3 2 222 ( , )2(4)(832 )0 ( , )(4)(42 )0 x y fx yxyxyx yxyxy fx yxxyx yxxy = = 求得( , )f x y在内的驻点为，此时D(2,1)(2,1)4f= .5 又在边界和 1: 0(06lxy=) 2: 0(06lyx=上，( , )0f x y .6 而在边界上， 3: 6(0lxyx+=6) 32 212(06zxxx=，由 ， 2 ( )6240z xxx= 得驻点（舍去

18、） ，此时，0 x=4x=2y =(4,2)64f= 8 经比较，得为最大值，(2,1)4f=(4,2)64f= 为最小值 .9 七、 【6 分】证： 由于 0 0 0 ( )( )( ) ( ) aaay x f x dxf y dydyf x f y dx= 2 0 0 0 0 ( )( )( )( ) ayax f y dyf x dxf x dxf y dy= 3 所以 0 0 0 0 2( )( )( )( )( )( ) aaaaax xx f x dxf y dyf x dxf y dyf x dxf y dy=+ 0 0 ( )( )( ) aax x f xf y dyf y

19、 dy d=+ x 2 0 0 0 ( )( )( ) aaa f xf y dy dxf x d = x 由此可得所证. . . 6 华侨大学华侨大学 高等数学高等数学（下册）期中考试试题期中考试试题 考试日期：20082008年5 5月1010日上午 9：0011：00 上午 9：0011：00 专业 班级 学号 姓名 成绩 大题 一 二 三 四 五 六 七 小题 1 2 3 得分 一填空题：填空题： （本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分，分，把答案直接填在题中横线上把答案直接填在题中横线上） 1、函数在点处沿从点到点Q y xez 2 =(1 0)

20、P ，(1 0)P ，(2 1 )，的方向的方向导数 为 . 2 、 经 过 原 点 及 点， 且 与 平 面(6 3 2)A，824=+zyx垂 直 的 平 面 方 程 为 . 3、将下述三重积分化为先对、次对、最后对zyx的三次积分，其中是由三个坐标 面及平面 21xyz+=所围成的闭区域. =dvzyxf),(. 4、曲线积分 222 (22)(24 ) L xyy dxxyx dy+ ? = ，其中L为正向 圆周. 9 22 =+ yx 5、二次积分 = x x dy y y dx 1 0 sin . 以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程以下各题在答题纸上作答，答题时必

21、须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：班 级、姓名、学号 ，并在每张答题纸写上：班 级、姓名、学号. 二 试解下列各题：二 试解下列各题： （本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 32 分分） 1、 【8 分8 分】求球面 4 9 222 =+zyx与椭球面 4 17 ) 1(3 222 =+zyx的交线在点 )1 2 1 1( 0 ，M处的切线与法平面方程 2、 【8 分8 分】设)( 2 1 ,),( 22 yxxyfyxg=，其中具有二阶连续偏导数，且满 ),(vuf 足1 2 2 2 2 = + v f u f ，求 2 2 2 2 y g x g +

22、20072008 学年第二学期华侨大学 07 级高等数学下册期中考试试题 1 3、 【8 分8 分】设),(zxfu =具有连续偏导数，而),(yxzz =是由方程)(zyxz+=所确 定的具有连续偏导数的函数，求 du 4、 【8 分8 分】 计算，其中dvyxI +=)( 22 是由平面上的曲线绕轴 yOzzy2 2 =z 旋转而成的曲面与平面所围成的空间闭区域 5=z 三【满分 12 分满分 12 分】 设是由曲面 22 1 2:yxaz+=与曲面 所围成的空间闭区域 azyx=+ 22 2: )0(a （1）求的体积； （2）求的表面积 四【满分 10 分满分 10 分】设 22 22

23、 22 3 2 22 ,0 ( , )() 0,0. x y xy f x yxy xy ,+ =+ += 证明：在点处连续且偏导数存在 ),(yxf)0 , 0( 五【满分 12 分满分 12 分】在第一卦限内作椭球面1 2 2 2 2 2 2 =+ c z b y a x 的切平面，使该切平面与三坐 标面所围成的四面体的体积最小求该切平面的切点，并求此最小体积 六【满分 8 分满分 8 分】 计算曲线积分 ? ( )cos 2 ( )sin2 AMB If yxy dxfyxdy=+ ，其中 具有连续导数，)(yf ? AMB为连接点与点)0 , 0(A)2 ,(B 的直线段AB之右下方的

24、任意一条分段光滑、无重点的有向 曲线弧（如图所示） ，且?AMB与AB所围成的平面图形面积 为 x y 0 A B M 七【满分 6 分满分 6 分】设为在闭区间上单调减少且恒取正值的连续函数，证明： )(xf 1 , 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 )( )( )( )( dxxf dxxf dxxxf dxxxf 20072008 学年第二学期华侨大学 07 级高等数学下册期中考试试题 2 华侨大学 07 级高等数学(下册)期中考试试题 参考解答与评分标准 2008 年 5 月 一、填空题【每小题【每小题 4 分，共分，共 20 分】分】 1、 2 2 . 2、22. 3、3x

25、yz+= 0 1 112 2 000 ( , , ) x xy dxdyf x y z dz . 4、36. 5、1 sin1. 二、试解下列各题【每小题每小题 8 分，共分，共 32 分分】 1、 方程两边分别对x求导得 2220 62(1)20 dydz xyz dxdx dydz xyz dxdx += += (1)3 dydz yzx dxdx dydz yzx dxdx += += .3 解得 (12 ) 2 , dydzxy x dxdxz + =，故交线在 1 (1, , 1) 2 处的切向量为.6 (1, 2, 2) 从而所求的切线方程为 12 11 122 xyz = .7

26、法平面方程为 12 (1)2()2(1)0 xyz+=，即22xyz0+=.8 2、令 22 1 ,( 2 uxy vxy=)，则, g xuvyu gyfxfxfyf=+= v，3 从而 22 ()()2 xxuuuvvvuvvuuuvvvv gy yfxffx yfxfy fxyfx ff=+=+ 22 ()()2 yyuuuvvvuvvuuuvvvv gx xfyffy xfyfx fxyfy ff=+.7 故 2222 222222 2222 ()()( ggff )xyxyx xyuv +=+=+ y.8 3、方程( )zxyz=+两边取微分，得( )( )dzdxz dyyz dz

27、=+ ( ) 1( ) dxz dy dz yz + = 5 又由，得6 ( , )uf x z= xz duf dxf dz=+ 所以 ( )( ) 1( )1( )1( ) z xzx fz fdxz dy duf dxffdxdy yzyzyz . z + =+=+ 8 4、旋转曲面的方程为 22 2xy+=z，1 在xOy面的投影区域为，从而 22 :1D xy+ 0可表示为 2 1 5, 010, 02 2 z 所以 2 2 10 5 3 0 0 /2 Idd = dz4 华侨大学 07 级高等数学(下册)期中考试试题参考解答与评分标准 2 10 32 0 1 2(5) 2 d= 1

28、0 46 0 51 2 412 = .7 250 3 =.8 三、【12 分】 （1）联立 22 2zaxy=+与 22 xyaz+=，消去，得，z 222 xya+= 故在xOy面的投影区域为：D 222 xya+.2 所以的体积为.4 2 22 00/ aa a Vdvd d dzdd = dz 2 0 22 a ad a = 43 23 0 15 2 346 a a a a = .6 (2) 依题意知的表面被柱面 222 xya+=分为上、下两部分 1 和 2 ，记其面积分别为和，则 1 A 2 A 22 1 2222 1 ()() D xy Adxdy xyxy =+ + 2 22 D

29、 dxdya= ，.9 22 2 22 1()() D xy Adxdy aa =+ 2 2 2 0 0 4 1 a dd a =+ 223/2 2 0 (14/) 2 12/ a a a + = 2 (5 51) 6 a =. 所以的表面积为 2 12 5 51 (2 6 )AAAa =+=+.12 四、 【10 分】证：当时， 22 0 xy+ 2222 22 3 2 0( , ) ()4 xyx y f x y xy + = + ， 而 22 ( , )(0,0) lim0 4 x y xy + =，故由夹逼准则，得 ( , )(0,0) lim( , )0 x y f x y =.3

30、又，.4 从而(0,0)0f= ( , )(0,0) lim( , )(0,0) x y f x yf =，.5 故( , )f x y在点处连续. .6 (0, 0) 又因为 00 (0,0)(0,0)00 limlim0 0 xx fxf xx + = ， 00 (0,0)(0,0)00 limlim0 yy fyf yy + = ， 故( , )f x y在点处两个偏导数均存在，且(0, 0)(0,0)(0,0)0 xy ff=.10 五、 【12 分】解：设切点为 000 (, , )M xyz，则在M处的切平面方程为 2 华侨大学 07 级高等数学(下册)期中考试试题参考解答与评分标

31、准 3 000 00 222 ()()() xyz xxyyzz abc += 0 0，即 000 222 1 xyz xyz abc +=.4 故该切平面在坐标轴上的截距分别为： 22 00 , abc2 0 xyz ，从而该四面体的体积为 222 000 6 a b c V x y z =，.6 问题转化为求函数( , , )f x y zxyz=在条件 222 222 1(0,0,0) xyz xyz abc +=下的最大值.7 令 222 222 ( , , )(1) xyz L x y zxyz abc =+，由 2 2 2 222 222 2 0, 2 0, 2 0, 1. x y z x Lyz a