电动力学(数学基础)

1、电动力学习题课（一） Feb 20th, 2009 1特特特殊殊殊函函函数数数与与与爱爱爱因因因斯斯斯坦坦坦求求求和和和约约约定定定 1)Kronecker delta函数ij: ij= 1i = j 0i 6= j (1.1) 2)Levi-civita张量ijk: ijk= 1ijk是偶置换，即ijk = 123,231,312 1ijk是奇置换，即ijk = 213,132,321 0otherwise (1.2) 3)爱因斯坦求和约定：公式中重复指标自动求和，略去求和号。 3 X i=1 AiBi AiBi(1.3) 注注注意意意：以上的定义只适用于平直空间，而不适用于弯曲空间（广义相

2、对论考虑的空间）。 Levi-civita张量的性质： Levi-civita张量对于下标反称：ijk= jik 下标重复，Levi-civita张量为0：iik= 0 单重求和：ijkmnk= imjn injm fl fl fl fl imin jmjn fl fl fl fl 两重求和：ijkmjk= imjj ijjm= 3im im= 2im 三重求和：ijkijk= 2ii= 6 2标标标量量量，矢矢矢量量量和和和张张张量量量的的的引引引入入入 2.1定定定义义义 讨论物理量是标量还是矢量的大前提是物理规律的协协协变变变性性性，即描述物理规律的方程在惯性系变 换下形式不变。 由于运

3、动总是在四维时空中进行，所以不妨设四维空间惯性系的变换为： x0= ax(2.1) 那么物理量可按如下分类： 1 标量C：不同惯性系变换下的不变量。 矢量A：由四个分量组成，且不同惯性系变换下按如下方式变换的量：A0= aA 二阶张量 T：由十六个分量组成，不同惯性系变换下按如下方式变换的量：T0 = aaT 类似可以知道n阶张量的定义。 注注注意意意：这里所提到的惯性系之间的变换并没有特指某种坐标变换，比如说伽利略变换或者洛伦 兹变换。 2.2从从从伽伽伽利利利略略略变变变换换换到到到洛洛洛伦伦伦兹兹兹变变变换换换 在19世纪末，很多人都认为经典力学是完美的，这是因为经典力学的基本方程Lag

4、ranges Equa- tion在伽利略变换下是协变的。 我们首先来验证这一点。为了简单，我们考虑下面的变换： x0=x + vt t0=t (2.2) 从Eq.(2.2)可以得到： x0 = x (2.3) t0 =v x + t (2.4) 进一步，可得： x0 t0 = x t (2.5) 注注注意意意：Eq.(2.5)并不表示不同参考系下的速度相等，因为速度是位移对时间的全微分。 又经典力学的时间观是绝对的，其数学表示为： d dt0 = d dt (2.6) 综合Eq.(2.3,2.5,2.6)可知： d dt0 (L 0 x0 ) L0 x0 = d dt( L x ) L x

5、= 0(2.7) Eq.(2.7)说明Lagranges Equation在变换Eq.(2.2)下是协变的。 然而由麦克斯韦方程组推出的达朗贝尔方程： 2 00 2 t2 = 0 (2.8) 显然在伽利略变换下是不协变的，那么现在的问题就是如果承认伽利略变换，麦克斯韦方程组 就是错误的；如果承认麦克斯韦方程组，伽利略变换就是不正确的。Einstein选择了后者，用洛 伦兹变换取代伽利略变换作为惯性系之间变换，进而建立了狭义相对论。 也许你会问：四维时空除了上面两类变换，还有别的变换么？ 幸运的是数学上可以严格证明R4只有两种微分结构。 2 3正正正交交交曲曲曲线线线坐坐坐标标标系系系 3.1基

6、基基本本本概概概念念念 定定定义义义：三维空间R3，如果p R3，一组独立、连续、单值函数： u1= f1(x,y,z),u2= f2(x,y,z),u3= f3(x,y,z)(3.1) 并且其反函数 x = 1(u1,u2,u3), y = 2(u1,u2,u3), z = 3(u1,u2,u3)(3.2) 也独立连续单值，则称(u1,u2,u3)为p点的曲曲曲线线线坐坐坐标标标(Curvilinear Coordinates)，(u1,u2,u3)为 一一一般般般曲曲曲线线线坐坐坐标标标系系系。 在曲线坐标系中，位置矢量为 r(u1,u2,u3)，那么微分线元为： d d r = a1du

7、1+ a2du2+ a3du3(3.3) 如果 r， a1, a2, a3两两垂直，则称此曲线坐标系为正正正交交交曲曲曲线线线坐坐坐标标标系系系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)。 下面考虑正交曲线坐标系的微分线元和基矢： d exdx + eydy + ezdz(3.4) = ex(1 1 d1+ 1 2 d2+ 1 3 d3) + ey(2 1 d1+ 2 2 d2 +2 3 d3) + ez(3 1 d1+ 3 2 d2+ 3 3 d3)(3.5) =( ex 1 i + ey 2 i + ez 3 i )di gi eidi(3.6) 其中 度量因

8、子gigi= (1 i )2+ (2 i )2+ (3 i )2 1 2 (3.7) 基矢 ei ei= 1 gi ( ex 1 i + ey 2 i + ez 3 i )(3.8) 3.2基基基矢矢矢 ei ej=ij(3.9) ei ej=ijk ek(3.10) 有了基矢的运算公式，便可以考虑矢量A = Ai ei的运算： 1)点乘(dot product): A B = AiBj ei ej= AiBi(3.11) 2)叉乘(cross product): A B = AiBj ei ej= ijkAiBj ek(3.12) 3)三重标积(scalar triple product)：

9、 A (B C) = Am em ijkBiCj ek= ijmAmBiCj(3.13) 3 用Eq.(3.13)不难证明： A (B C) = B (C A) = C (A B)(3.14) 4)三重矢积(vector triple product): A (B C) =Am em ijkBiCj ek =AmBiCjijkmkn en =AmBiCj(injm imjn) en =AmBiCm ei AmBmCj ej =(A C)B (A B)C(3.15) 利用Eq.(3.15)不难证明： A (B C) + B (C A) + C (A B) = 0(3.16) 5)并积(dyadi

10、c product): T AB = AiBj ei ej(3.17) 我们一般称AB为并并并矢矢矢(dyad)，一共9个分量，其中6个独立。 两个或两个以上的并矢之和称为并并并矢矢矢式式式(dyadic)，有9个独立分量，也称二阶张量。 并并并矢矢矢相相相关关关运运运算算算: a)点乘： ei ej ek=ij ek(3.18) em ei ej ek=ij em ek(3.19) b)叉乘： ei ej ek=ijn en ek(3.20) em ei ej ek=ij em e ek(3.21) 事实上，在张量代数中只要知道了基矢的运算公式就可以计算任何矢量的运算结果了。 作为练习，大家

11、可以验证下面的公式： a (b c)=( a b) c(3.22) (b c) a= b( c a)(3.23) a (b c)=( a b) c(3.24) (b c) a= b( c a)(3.25) c)双点积(double dot product)： ( ei ej) : ( ek e) ( ej ek)( ei e)(3.26) 那么 A : B = (Aij ei ej) : (Bk ek e) = AijBji(3.27) 很明显，双点积的作用相当于矩阵相乘再求迹(trace)。 4 3.3梯梯梯度度度 根据我们已知的直角坐标下的运算可得： dT= T i di (T) (d)(

12、3.28) T= 1 gi T i ei(3.29) = ei 1 gi i (3.30) 虽然这里的推导是对于标量T而言的，但是实际上Eq.(3.30)确是恒成立的。 综合Eq.(3.9,3.10,3.29)可得到下面一些有用的公式： ej=gjj(3.31) em= 1 2ijmgigj(i) (j) (3.32) (i) (j)= ijk gigj ek(3.33) 细细细论论论：原则上来说，有了Eq.(3.30)以及前面张量分析的基矢运算法则，便可以计算正交曲线坐 标系下任何形式的微分运算，但是这个过程中会涉及到联络的概念，比较难以计算，所以下面 来介绍一种较为简单的算法。 = ei

13、1 gi i (3.34) 很明显，既是矢量又是线性算符，所以计算时可以分为两步： 1)忽略的矢量特征，仅把其当做算符作用于函数或矢量，但要保持等式的运算顺序； 2)再考虑是矢量，运用矢量公式进行计算，但要保证求导顺序的正确。 下面来看两个例子： (A B)=A(A B) + B(A B)(3.35) = B (A A) + (B A)A + A (B B) + (A B)B(3.36) = B ( A) + (B )A + A ( B) + (A )B(3.37) Eq.(3.35)利用了的算符特征，Eq.(3.36)利用了的矢量特性。 ( A)= ( A) + A ( A)(3.38) =

14、(A A) ( A)A(3.39) =( A) ( )A ( A) 2A(3.40) Eq.(3.38)利用了的算符特征，Eq.(3.39)利用了的矢量特性。 一般我们用Eq.(3.40)来定义矢量的Laplacian。 因为电动力学经常碰到这类运算，所以应该熟悉这种计算方法，作为练习，大家可以尝试推导 书后附录一中的公式。 3.4散散散度度度和和和旋旋旋度度度 散度： A= (Am em) = 1 g1g2g3 (g2g3A1) 1 + (g3g1A2) 2 + (g1g2A3) 3 (3.41) 5 旋度： A= (Am em) = 1 g1g2g3 fl fl fl fl fl fl f

15、l fl fl fl g1 e1g2 e2g3 e3 1 2 3 g1A1g2A2g3A3 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl (3.42) Eq.(3.41,3.42)的证明留给大家。 (提示：需要用到Eq.(3.35,3.36,3.37)。) 3.5积积积分分分 曲线积分： Z b aP (T) d = T(b) T(a)(3.43) 高斯定理： Z V ( v)d = I S v d a(3.44) 斯托克斯定理： Z S ( v) d a = I P v d(3.45) 3.6举举举例例例：球球球坐坐坐标标标系系系 坐标变换： x=rsincos y=rsins

16、in z=rcos (3.46) 易求得： g1=1 g2=r g3=rsin (3.47) 将Eq.(3.47)代入Eq.(3.29,3.41,3.42)可得： T = T r er+ 1 r T e+ 1 rsin T e(3.48) A = 1 r2sin h sin (r2Ar) r + r (sinA) + r A i (3.49) A= 1 rsin h(A sin) A i er+ 1 r h 1 sin Ar (rA) r i e +1 r h(rA) r Ar i e(3.50) 下面我们来计算 v = 1 4 r r3的散度： a)当 r 6= 0时， v= 1 4 ( 1

17、 r3 ) r + 1 r3 ( r)(3.51) = 1 4 ( 3 r3 + 3 r3 ) = 0(3.52) 6 b)当 r = 0时，取球心为原点，半径为的球形邻域V，则 v 1 4 lim VO H S n vd V (3.53) = 1 4 lim 0+ R 2 0 d R 0 sind(r2 r r3 er) 4 3 3 = 1 4 lim 0+ 3 3 = +(3.54) 若考虑球形邻域V内的积分： Z V vd= I S v nd = I S 1 4 r r3 erd =1(3.55) 因此我们定义： ( r) v = 1 4 r r3 (3.56) 称之为Dirac Del

18、ta函函函数数数。满足： ( r) = 0 r 6= 0 + r = 0 (3.57) Z ( r)d = 1(3.58) 类似我们可以求出柱坐标系下的算符的Eq.(3.48,3.49,3.50)。 4势势势定定定理理理 4.1标标标量量量势势势存存存在在在定定定理理理 对于无无无旋旋旋场场场 F(Curl-less or irrotational fi elds)，下面说法等价： (a) 场的旋度处处为零，即 F = 0； (b) R b aP F d的值与积分路径P无关； (c) 对任意闭合路径H b aP F d = 0; (d) F可以表示为某标量函数的梯度，即F = V ，其中V称为标（量）势。 注注注意意意：标