自动控制原理 第11章.ppt

1、第十一章 李亚普诺夫稳定性分析,11.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义 11.2 李亚普诺夫第一方法 11.3 李亚普诺夫第二方法 11.4 线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析 小 结 习题,定义10-3 对所有的状态(状态空间的所有点),如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性,则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。即如果状态方程(11.1)在任意初始条件下的解, 当t时都收敛于xe,则系统的平衡状态xe称为大范围渐近稳定(见图11-1(c)中的轨迹曲线(1)。 大范围稳定是全局性的稳定, 其必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。对于线性系统如果平衡状态是渐近稳定的,则必为大范围渐近稳定的

2、。对于非线性系统, 一般能使平衡状态为渐近稳定的球域S()是不大的, 称为小范围渐近稳定。,定义10-4 如果从球域S()出发的轨迹, 无论球域S()取得多么小, 只要其中有一条轨迹脱离S()球域, 则称平衡状态xe为不稳定的(见图11-1(c)中的轨迹曲线(2)。,图 11-1 系统的稳定性,11.2 李亚普诺夫第一方法,李亚普诺夫第一方法又称为间接法。它适用于线性定常系统和非线性不很严重的实际系统。对于非线性系统, 首先要进行线性化,得到一个线性化模型, 然后按线性系统稳定的条件分析稳定性。李亚普诺夫第一方法的主要结论如下: (1) 线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是,系统矩阵A的所有特

3、征值均具有负实部。 (2) 若线性化系统的系统矩阵A的所有特征值均具有负实部,则实际系统就是渐近稳定的。线性化过程中忽略的高阶导数项对系统的稳定性没有影响。,(3) 在系统矩阵A的特征值中,只要有一个实部为正的特征值,则实际系统就是不稳定的,并且与被忽略的高阶导数项无关。 (4) 在系统矩阵A的特征值中,即使只有一个实部为零, 其余的都具有负实部,那么实际系统的稳定性就不能由线性化模型的稳定性判定。这时系统的稳定性将与线性化过程中被忽略的高阶导数项有关。为了判定原系统的稳定性,必须分析原始的非线性模型。 可见,李亚普诺夫第一方法是通过判定系统矩阵的特征值实部的符号来判定系统的稳定性的, 因此又

4、称为特征值判据。,11.3 李亚普诺夫第二方法,李亚普诺夫第二方法是基于若系统的内部能量随时间推移而衰减,则系统最终将达到静止状态这个思想而建立起来的稳定判据。即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态, 则当系统向平衡状态附近运动时,系统储存的能量随时间的推移应逐渐衰减, 到达系统平衡状态处时, 能量衰减到最小值。因此,如能找到系统的能量函数,只要能量函数对时间的导数是负的, 则系统的平衡状态就是渐近稳定的。由于系统的形式是多种多样的, 难以找到一种定义“能量函数”的统一形式和简单方法。为克服这一困难, 李亚普诺夫引入一个虚构的能量函数,称为李雅普诺夫函数,简称李氏函数。此函数量纲不一定是能量量纲,

5、 但反映能量关系。李氏函数是标量函数, 用V(x)表示, 必须是正定的, 通常选用状态变量的二次型函数作为李亚普诺夫函数。,1. 标量函数的正定性和负定性 李亚普诺夫稳定性定理是以标量函数的正定和负定为基础的。设V(x)是向量x的标量函数,是状态空间中包含原点的封闭有限区域(x)。 1) 正定性 如果对于所有域中非零的x,有V(x)0, 且在x=0处有V(x)=0,则称标量函数V(x)在域内是正定的。 例如, 。只有x1=x2=0时,V(x)=0; 其他情况V(x)0, 所以V(x)是正定的。,2) 半正定性 如果在域内,标量函数V(x)除在状态空间原点和某些状态处V(x)=0外,对于其他所有

6、状态均有V(x)0,则称V(x)是半正定的。 例如,V(x)=(x1+x2)2, x=x1 x2T, 当x1=x2=0或x1+x2=0时,V(x)=0,其余情况都有V(x)0, 因此V(x)是半正定的。,3) 负定性 如果V(x)是正定的,则称-V(x)为负定的。 4) 半负定性 如果V(x)是半正定的, 则称-V(x)为半负定的。,5) 不定性 如果无论域取多么小,标量函数V(x)可正可负, 则称这类标量函数为不定的。例如, 为不定的。 因为对于x=a -bT一类状态, 在ab0和ba0时, V(x)分别为负数和正数。 设V(x)为一个二次型函数, 则其可表示为,李亚普诺夫函数最简单的形式为

7、二次型,但也不一定都是二次型。任何一个标量函数,只要满足李亚普诺夫稳定性判据所假设的条件, 都可以作为李亚普诺夫函数。 对于给定的系统,V(x)不是唯一的。所以,正确地确定李亚普诺夫函数是利用李亚普诺夫直接法的主要问题。 李亚普诺夫直接法分析系统稳定性的判据可以叙述如下:,另外,根据系统矩阵的特征值 ,由李亚普诺夫第一方法可知系统是渐近稳定的。上述例子表明, 应用李亚普诺夫第二方法确定系统的稳定性,关键在于如何找到李亚普诺夫函数。但是李亚普诺夫稳定性理论并没有提供构造李亚普诺夫函数的方法。上面的例子还说明, 对于给定系统, 如果存在李亚普诺夫函数, 它不是唯一的。,根据上面的推导可知,判断线性

8、定常连续系统稳定性的步骤应该是先假定一个正定的实对称矩阵P, 然后利用式(11.5)计算Q,如果Q是正定的,则表明系统是渐近稳定的。但是上述的计算步骤在实际使用中是比较麻烦的,所以在实际应用时,通常是取一个正定的实对称矩阵Q,而且为了简便,常取QI,然后根据式(11.5)求出矩阵P(求解时可设P为对称矩阵),然后判断P是否为正定来确定系统的稳定性。因此有如下定理:,【例 11-7 】 试用MATLAB分析例11-5系统的稳定性。 解 取QI,求取对称矩阵P的程序为 %ex-11-7 A=0 1; 0.5 0; A=A; Q=1 0; 0 1; P=dlyap(A, Q) 运行结果为 P = 1

9、.6667 0.0000 0.0000 2.6667 由于P是正定的, 所以系统是渐近稳定的。,小 结,本章进一步讨论了系统的稳定性问题, 采用李亚普诺夫方法分析了系统的稳定性。李亚普诺夫将判断系统稳定性的方法分为两类: 第一方法(间接法)和第二方法(直接法)。本章就系统的稳定性问题研究了以下主要内容: (1) 李亚普诺夫意义下稳定和渐近稳定的含义。研究系统的稳定性,实质上是研究系统平衡状态的稳定性。在李亚普诺夫意义下,系统稳定和渐近稳定指的是系统在平衡点受到一定程度的扰动以后,恢复到平衡点的能力大小。 工程上的稳定都指的是渐近稳定。 ,(2) 李亚普诺夫稳定性判据。李亚普诺夫第一方法是通过系

10、统的特征根实部的符号来判断系统的稳定性的, 所以又称为特征值判据,而李亚普诺夫第二方法从系统状态运动过程中能量变化的角度分析系统的稳定性。在第二方法中选取合适的李亚普诺夫函数是很重要的,但该函数的选取没有通用的方法, 并且李亚普诺夫稳定性定理只给出了系统稳定的充分条件。,(3) 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析。线性定常连续和离散系统的李亚普诺夫稳定性分析,可以通过求解李亚普诺夫方程的矩阵解来实现。如果求出的矩阵满足正定的条件,则系统是渐近稳定的, 并且这是一个线性定常系统稳定的充要条件。,习 题 11-1 确定下列二次型函数或矩阵是否正定。 (1) (2) (3) (4),11-2 已知线性定常系统的状态方程为 试用李亚普诺夫第二方法判断系统平衡状态的稳定性。 11-3 线性定常系统的状态方程为 试用李亚普诺夫第二方法判断系统平衡状态的稳定性。 ,11-4 已知控制系统的状态方程为 试用李亚普诺夫第二方法分析原点的稳定性。 11-5 给定系统 其中a0。 试确定系