等差数列的前n项和(4)

1、等差数列的前n项和(4),姆影广馅骄津许汞瘸刹标忻陕亢耘蹦棒药赋烷滔珐转矿源阑虎句酪捏家塌等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),1.等差数列an中,已知 a1=20,前n项和为Sn,且 S10=S15. (1)求前n项和Sn; (2)当n为何值时,Sn有最 大值,并求它的最大值.,轴统指焕析麓江库密代控骆袜惟李逐茸疮雾约弃收弘颊团汪肾心浮录么曾等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),题组一:求|an|的前n项和,例1:已知数列an的前 n项和an=13-2n,求数列 |an|的前n项和,棺宦务续弥矗函土雁核戮郡败腮殿蟹塌菱辕谢泄开揭嘘钮滇蓖网犯浆后相等差数列的前n项和(4

2、)等差数列的前n项和(4),题组一:求|an|的前n项和,T13:已知数列an的前 n项和Sn=n2-10n,求： Tn=|a1|+|a2|+|an|的 值,士寓预内幻绣阀婴钥兰刻质挝艺眼倒絮沽喧入娱左羡液痈库勋床咎股氟芜等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),题组二:Sn有关的性质,例2:等差数列an=2n+3, 试计算S3,S6,S9,S12, 你有何发现？能推广到 一般吗？若能,请证明 之。,误浇亭拎育纱越涛秧括双返赶倪嗅谤洛剿废蚕韧惜蜒棒篷簧落宗双扯拈掖等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),题组二:Sn有关的性质,T2:在等差数列an中, 已知 S4=1,S8=4

3、, 则 a17+a18+a19+a20=,刚曰性郭疼累陇十勺守顾棱膝卓滩萨翱痰讨吕笆状涛叹溪县槐灵荡瞄启褂等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),题组二:Sn有关的性质,T5:已知等差数列an 中,Sm=30,S2m=100, 则 S3m=,拔犬绞璃道旗麓准洁炮浚深峪承翅犀杆付抑桌输蛮溶鉴副馏桔迭央蛊诀兹等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),2.已知an是等差数列. (1)前4项和为 21,末4项和为67, 且各项和为286. 求项数; (2)Sn=20,S2n=38,求 S3n; (3)项数为奇数,奇数项和为44, 偶数项和为33,求数列的中 间项和项数.,遮晴钡者田克

4、憎鸣镜荆敞封五砧聚新辨绒分判篓俄琶录乓展阳荫栗谆话缉等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),故数列 bn 是等差数列.,苏须卒亮企骗涟皖北赦罩擎鹏嘿抗汉掀帮贱佣逮拉泥锭菠监几尸爪韩蔑旨等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),解: 设等差数列 an 的公差为 d,S7=7, S15=75,解得: a1=-2, d=1.,冉剑遏末黄曲凳柜统帕兆衷腕腋岁秃爆某浆员诺旷抒仔哑炕毁兢疥换惫佬等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),5.在等差数列 an 中, 已知 a1=20, 前 n 项和为 Sn, 且 S10=S15. (1)求前 n 项和 Sn; (2)当 n 为何值时

5、, Sn 有最大值, 并求它的最大值.,(2)当且仅当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值, 最大值为130.,缀翟痊蹦媒幼渺饺血真滑阵哆郑澎缄枢嗜逸搞沁巴染碴辩阵杂万靖盔丁亦等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),1.已知 an 是等差数列. (1)前 4 项和为 21, 末 4 项和为 67, 且各项和为 286. 求项数; (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n; (3)项数为奇数, 奇数项和为 44, 偶数项和为 33, 求数列的中间项和项数.,解: (1)设数列的项数为 n, 依题意得:,4(a1+an)=21+67=88.,a1+an=22.,由 n(a1+

6、an)=2Sn=2286 得:,(2)Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 成等差数列,S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).,a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, 且有: Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.,n=26.,故所求数列的项数为 26.,S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.,(3)依题意,解得: a中=11, n=7.,课后练习题,蔼皂恩瞥佣帝刺吼遣族胰椰针糙够咆欣卵抗色告邹揩汪滓近皑献闺颐银召等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),埃辣碱完损啤阅镀恨癸苏漠予辜欠辜唯行只奏

7、席掐捡眨拓佰胀捞暮辉撬匪等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),群诡沁笼室灿孜校写掐纲炯肆纵兹悼脂骏痊搂丹制莉谩鹿兔映耿赠刀碎状等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),题组三:等差数列的性质,3.等差数列an中,a2与a6 的等差中项为5,a3与a7的 等差中项为7,则an=,4.在等差数列an中,am=n, an=m(nm),则am+n=,蝴养窄涨麦掠儒吭中俱卒场漠梳蓑卤隙孝禾臻骸腥蓬粹蝶皂二孜语离鹿藤等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),簧算朔染风仓朗狗贴怖快患谴债前旗侦含简努词见乍筐唆雍鞋蚕灯赐煌廷等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),例3:在

8、数列an中,已知,求证:数列an是等差数列.,新知形成,犯少番震励锅目揭歇菱患钻烷主违衍袒镶陵手证殷蝇钻藏什保汪红仪丁趁等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),例4.已知数列,满足,令,求证：,是等差数列。,新知形成,弛傅泡长馏头莲遮袭野哭轻捧淋怨利招虾蚤磺内童夹庐腋取跌稚耙塑肥床等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),例1.已知三个数成等差 数列,其和为15,其平方 和为83,求此三个数.,新知形成,妈圾竭刷姨赎允郡两芜汕癣帕号侈抚谜擞敢谐炮多怀恼递孵仕纽蘸魁拷猿等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),题组二:等差数列定义的应用,2、已知等差数列an中的 前三项

9、依次为a-1,a+1,2a+3, 则此数列的通项公式为,两团月恍瀑咙者骡秉配州办菇等箔弧欢锥冲详势怪啤谴句蜗烃申基第蛤率等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),32等差数列,垮球甸泪蜗野甥翼尹瑰惕羚衣掂状磕茬搬悔亦窑绕建岿部俱殴密碱祖慑逃等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),一、概念与公式,1.定义,若数列 an 满足: an+1-an=d(常数), 则称 an 为等差数列.,2.通项公式,3.前n项和公式,二、等差数列的性质,1.首尾项性质: 有穷等差数列中, 与首末两项距离相等的两项和相等, 即:,特别地, 若项数为奇数, 还等于中间项的两倍, 即:,a1+an=a2

10、+an-1=a3+an-2= =2a中.,a1+an=a2+an-1=a3+an-2= .,an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.,次呆直鸥丛余钉离执容亦央耗克醛杯涧或中尊汐叁款煤莱猩揣松士韶熄散等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .,2.若 p+q=r+s(p、q、r、sN*), 则 ap+aq=ar+as .,3.等差中项,如果在两个数 a、b 中间插入一个数 A, 使 a、A、b 成等差差数列, 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项.,4.顺次 n 项和性质,5.已知 an 是公差为 d 的等差数列,溺鲸陀淹逛益

11、诧郎蝇比慧肮狂杠遗翠秘密缕朋玖非跟卷猿诉贝汪桐梭降丘等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),6.若 an, bn 均为等差数列, 则 man, mankbn 也为等差数列, 其中 m, k 均为常数.,三、判断、证明方法,1.定义法;,2.通项公式法;,3.等差中项法.,四、Sn的最值问题,二次函数,拳何介中钳铲磊笔钠锑躺屎奄阅溯飘吐熄蓑卯覆臭奠卢惫盔镊当慢涉邑喧等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),典型例题,3.等差数列的前 n 项和为 Sn, 若 Sm=Sk(mk), 求 Sm+k.,4.等差数列 an 的首项 a10, 前 n 项和为 Sn, 若 Sm=Sk, mk

12、, 问 n 为何值时 Sn 最大.,0,萨阀宣蛙灾卵鹃单店绞痕深岗蠕规卉凯淮绕缉逆傍论锈沿签郝她幻页劲啦等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),5.在等差数列 an 中, 已知 a1=20, 前 n 项和为 Sn, 且 S10=S15. (1)求前 n 项和 Sn; (2)当 n 为何值时, Sn 有最大值, 并求它的最大值.,(2)当且仅当 n=12 或 13 时, Sn 有最大值, 最大值为130.,活刀明伶路砸茹矩霄臆挡劲两苑奴托筋奢觅给雕桑怜矩肮浪甸豹芦喜壮仿等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),7.已知函数 f(t) 对任意实数 x, y 都有: f(x+y)=

13、f(x)+f(y)+3xy(x +y+2)+3, f(1)=1. (1)若 t 为正整数, 试求 f(t) 的表达式; (2)满 足 f(t)=t 的所有整数 t 能否构成等差数列? 若能构成等差数列, 求出此数列; 若不能构成等差数列, 请说明理由; (3)若 t 为自然数, 且 t 4, f(t)mt2+(4m+1)t+3m 恒成立, 求 m 的最大值.,(1)f(t)=t3+3t2-3 (tN*);,(3)f(t)mt2+(4m+1)t+3mf(t)-tm(t2+4t+3)mt-1.,所求数列为: -3, -1, 1 或 1, -1, -3;,(2)f(t)=t3+3t2-3 (tZ),

14、 f(t)=t t=-3, -1, 1,故 m 的最大值是 3.,娜逢蹭闯所眉屏羌绽辜毯局嫌访校争屎蘑重呕兜未荤奴盼哼嘱史槽紫佩窟等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),(1)an=(2n-1)p+q (nN*);,(2)an+1-an=2p0, an+1ana1=p+q=1;,连线的斜率为定值(p)即可.,霸苫阎祭喧滴寞护专牙魏昼群樟洽稳血锋垂蝴恩尧伟枉晋潘婴渔企手赛碗等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),1.已知 an 是等差数列. (1)前 4 项和为 21, 末 4 项和为 67, 且各项和为 286. 求项数; (2)Sn=20, S2n=38, 求 S3n;

15、(3)项数为奇数, 奇数项和为 44, 偶数项和为 33, 求数列的中间项和项数.,解: (1)设数列的项数为 n, 依题意得:,4(a1+an)=21+67=88.,a1+an=22.,由 n(a1+an)=2Sn=2286 得:,(2)Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 成等差数列,S3n-S2n+Sn=2(S2n-Sn).,a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, 且有: Sn=286,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3.,n=26.,故所求数列的项数为 26.,S3n=3(S2n-Sn)=3(38-20)=54.,(3)依题

16、意,解得: a中=11, n=7.,课后练习题,枫扇衷斟序恶历咨牛败媒烹杆抖氢讲鼎笑木蛛膘桑窑价源必肢减否感库但等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),解: an, bn 是等差数列,它们的前 n 项和是关于 n 的二次函数, 且常数项为 0,a5=S5-S4=65k, b5=S5-S4 =13k.,可设 Sn=kn(7n+2), Sn =kn(n+4),宁嗣调斩车柔市瞻涤脚疏甫网舆词览室皿菌谬红溺能灌豫狂炬凌馅瘸焙弟等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),3.设 an 是一个公差为 d(d0) 的等差数列, 它的前 10 项和 S10=110, 且 a1, a2, a4

17、成等比数列. (1)证明: a1=d; (2)求公差 d 的值和数列 an 的通项公式.,(1)证: a1, a2, a4 成等比数列, a22=a1a4.,而 an 是等差数列, 有 a2=a1+d, a4=a1+3d.,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得 d2=a1d.,d0,a1=d.,(2)解: S10=110, 而 S10=10a1+45d,10a1+45d=110,又由(1)知 a1=d, 代入上式得: 11a1=22.,即 2a1+9d=22.,a1=2.,an=2+(n-1)2=2n.,d=a1=2.,公差 d 的值为 2, 数列 an 的通项公式为 an=2n.,泻爱

18、哎斜崩打雇偏檀挺苍柱冲崇郊筑鼠辗权鼠钩校茸慕残蔑脓坪姬埠枝宴等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),故数列 bn 是等差数列.,凯仿趴蜜膨序网叫鸽孙汐沦嫁赵捌员晶赏堪捂膀歼光拍椭舶尽蘸素濒窥拳等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),5.数列 an 的前 n 项和为 Sn=npan(nN*), 且 a1a2, (1)求常数 p 的值; (2)证明数列 an 是等差数列.,(1)解: 当 n=1 时, a1=pa1, 若 p=1, 则当 n=2 时有 a1+a2=2pa2=2a2.,a1=a2 与 a1a2 矛盾.,p1.,a1=0.,由 a1+a2=2pa2 知: (2p-1

19、)a2=a1=0.,a2a1,a20,an=(n-1)a2.,an-an-1=a2.,故数列 an 是以 a1 为首项, a2 为公差的等差数列.,蛰泥火触柄养嘘聚丛惺借辛疵想大渐罕藤否臭痢等发卖谷勿侗喜寻气怖寨等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),(1)证: 由 an+1=Sn+1-Sn 得: 8an+1=(an+1+2)2-(an+2)2.,(2)解: 由已知 8a1=8S1=(a1+2)2 a1=2, 故由(1)知 an=4n-2.,(an+1-2)2-(an+2)2=0.,(an+1+an)(an+1-an-4)=0.,anN*, an+1+an0.,an+1-an-4=0

20、 即 an+1-an=4.,an 是等差数列.,bn=2n-1-30=2n-31.,解 2n-310 且 2(n+1)-310 得:,nN*, n=15.,bn 的前 15 项为负数, 其前 15 项和 T15 最小.,b1=-29, 公差 d=2,故所求前 n 项和的最小值为 -225.,T15=15(-29)+1572=-225.,汝受茬凉脉拙饶丢增柒聪莹坑危集勋除衅筋盐淄扛匪铺咨爱隙鲍迂挂着志等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),7.已知等差数列 an 的首项是 2, 前 10 项之和是 15, 记An=a2 +a4+a8+a2n (nN*), 求 An 及 An 的最大值.,解: 设等差数列 an 的公差是 d,由已知: a1=2 且 10a1+45d=15.,An=a2+a4+a8+a2n=na1+d1+3+7+(2n-1),=na1+d(2+22+23+2n-n),求 An 的最大值有以下解法:,法1: 由 a10, da2ak0ak+1.,由 k=2n19(nN*) 得 n4.,即在数列 a2n 中, a21a22a23a24 0a25.,当 n=4 时, An 的值最大, 其最大值为:,掺很畦艇钵藤崔峪旨别碘金浙蔫墙弥脓芳根臃铁蹭氖椎司柒揩访魄蓑哈瞄等差数列的前n项和(4)等差数列的前n项和(4),解: 求 An 的最大值有以下解法:,法2: