群论课件第二章.ppt

1、第2章 群论基础 第1节 群,1.1 群的概念 一种集合-不同元素 一种运算-二元运算群中的“乘法” 四个条件封闭性。 结合律。 单位元。 逆元。 称B为A的逆元，或者是A为B的逆元。,称E为单位元。,把这种集合称为群，用G表示，集合中的元素称为群元,1,说明：1. 一个群中的单位元是唯一的。,2. 一个元素的逆元是唯一的。,若,则,所以,2,1.2 群的分类 1.群阶：群元的数目。记作g。 - 有限群：g有限。 例：,循环群：群中所有的群元是按某个元的幂来产生。运算为乘法,-无限群：g无限 例：所有整数的集合，运算为加法,按个数分：有限群和无限群,3,2.群乘： 将集合中的任意两个元构成唯一

2、的 另一个元的一种运算。群乘不一定 是通常代数中的乘法。,不一定成立,-交换群或者阿贝尔群：满足交换律 （循环群都是阿贝尔群）,-非交换群：不满足交换律,按运算方法分：交换群和非交换群,不一定满足交换律。,4,1.3 群元的基本性质 1. 单位元 E-1 = E , E 的逆元仍为E 2. 逆元 (A-1)-1 = A, 逆元之逆元为元素本身 3. 乘积的逆元 (AB)-1 = B-1 A-1 请证明！,5,1.4 具体群的举例 1. 数群 （取数学对象为普通的数） 以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群 例(1)：全部正负整数 ( 包括 0 ) 的集合，群乘为加法 E = 0， A = n,

3、 A -1= -n 这是无限群、可交换群（阿贝尔群） 例(2)：全部正负整数 ( 不包括 0 ) 的集合，群乘为乘法 E = 1， A = n, A-1 = 1/n 提问：这是不是群？为什么？ 答案：不是，因为 A-1 = 1/n 不是整数，A 没有逆元。,6,2.矩阵群 例：矩阵群d3=e,a,b,c,d,f 1 0 0 0 1 0 1 0 0 e = 0 1 0 a = 1 0 0 b = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 c = 0 1 0 d = 1 0 0 f = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 ,满足封闭性，单位元，

4、逆元都存在，并且满足结合律 （同学自证）,7,1.5群表和群表定理 1.群表:（群的乘法表） 群中所有元素两两乘积的结果,群表一定，群元之间的关系就完全确定了,左因子（第一因子）,右因子(第二因子),8,2.群表定理（重排定理） 一个群的全部元，在群表中的每一行或每一列都要出现，而且只出现一次，只是次序不同。数学表述如下： G ： E， A2， A3，A4 - Ag AkG : Ak， AkA2，AkA3，AkA4 - AkAg 中 或GAk : Ak， A2AK，A3Ak，A4Ak - AgAk 中 每个元素必然出现并只出现一次 ( 只是重排 )，即群 G 被其中的元素左乘或右乘仍为该群 G

5、. Ak G = G Ak = G,9,重排定理： Ak G = G Ak = G 求证: GAk = G 证明: 第一步：证明每个元素必出现在 GAk 中 （即证明若元素 X G，则必 X GAk） 令 Ar = X Ak-1 X，Ak-1 G, Ar G ( 封闭性 ) 则 X = ArAk G Ak 第二步：证明每个元素只出现一次 （即证明若又有一元素As G 使 AsAk = X, 则必有As =Ar ） AsAk = X, 又由前面可知 X = ArAk， ArAk = AsAk 则 Ar = Ar（AkAk-1）=（ArAk）Ak-1 =（AsAk）Ak-1 = As（AkAk-1

6、）= As,10,1.6 几种对称群 1.晶体平移群 格矢：空间点阵之间的矢量（平移矢量）。 平移群：所有平移操作的集合构成一个群。,2. 分子转动群 以对称操作为群元，以相继操作为群乘，构成对称群,11,例 D3 群 E 不动 C 绕C轴转180o A 绕A轴转180o D 逆时针转120o B 绕B轴转180o F 逆时针转240o,12,两个相继操作：先操作右（第二）因子，后操作左（第一）因子,例如：AB=D,B,A,D,BC=D,C,B,D,作业：D2=？ D3=？DA=？AD=？,13,D3群的乘法表,14,3. 置换群 以变换位置的操作为群元，以相继操作为 群乘，构成置换群 （1）

7、置换操作 1 2 3 f = 位置1上的粒子换到位置3上了 3 1 2 （2）循环表示法 1 2 3 f = 3 1 2 1 2 3 a = 2 1 3 ,（1 3 2）,（1 2）没有置换的不写,15,置换群S3 S3群由以下六元素构成： 1 2 3 1 2 3 1 2 3 e = a = b = 1 2 3 2 1 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c = d = f = 3 2 1 2 3 1 3 1 2 a=(1 2) b=(2 3) c=(1 3) d=(1 2 3) f=(1 3 2) 构成群S3=E,(1,2)(2,3)(1,3)(1,2,3)(1,3,2) 写

8、出乘法表,16,设有、 、 三个物体，分别置于1，2，3三个位置,b,a,ab=d,1 2 3,2 3 1,ddd=e,d,d,d,17,S3群的乘法表,18,第二节 子群和陪集 2.1子群 (1)定义：群G中的一些元的集合S，若在相同的群乘定义下又构成群，则S称作群G的子群。 例：D3群 E A，E D F是子群 A B，A B E不是子群 无单位元 无封闭性 名词： 平凡子群：任何群都存在两个平凡子群， 一个是仅有单位元E构成的子群，另一个是G本身。即E，G 真子群：S不是平凡子群，是真子群,19,(2)子群的基本性质 子群中的单位元就是大群中的单位元 证明：设E是S中的单位元，则对任意A

9、S E A=A, 又EA=A 所以E A=EA，因此E =E 子群中的任一元素的逆元，就是该元素在大群中的逆元 证明：设AiAj S，且AiAj=E，所以Ai Aj在大群中也互逆 两个子群的交集仍然是子群,20,(3)子群的判别定理 群G中有一个非空集合S是G的一个子群的充分必要条件是： 若S中包含元素Ai 和Aj，它也应该包含Ai 和Aj的乘积AiAj 若S中包含元素Ai，它也应该包括Ai的逆元Ai-1 注：说明群元的组合规则在G中成立， 则在H中也成立。 说明单位元和逆元的存在。,21,2.2 陪集 (1)定义：设S是群G中的子群，其群元是E,S2,Ss,取群G中不属于子群S的一个元X右乘

10、子群的所有元，所得的集合SX为 SX=EX,S2X,SsX 称作子群关于X的右陪集； 同样可以定义左陪集，XS称为关于X的左陪集。 注：若XS，则根据重排定理，有 SX=XS=S 这仍是子群本身，不称为陪集,22,(2)有关陪集的定理 陪集中的元素各不相同 证明：若XAi=XAj ，则有Ai=Aj 陪集定理 陪集 SX 和 SY 要么完全相同，要么完全不同 （即若有一共同元，则全同） 证明： 若 有一共同元，Sm X = Sn Y ( Sm, Sn S ) 则 Sm-1 SmX Y-1 = Sm-1 SnYY-1 ( 左乘Sm-1，右乘Y-1 ) 因此 X Y-1 = Sm-1 Sn S (

11、封闭性 ) 则 S X Y-1 = S 群表定理 ( 只是重排, 元素结合不变 ) 故 SX = SY 推论：有限群G可被子群及其陪集完全划分,23,若X不是S的一个元，那么SX不是一个群。 证明：若SX是一个群，则ESX，则存在 SmS， 且SmX=E.则有X=Sm-1，因为Sm-1 S,所以XS， 与假设矛盾。 G中的每一个元必落在子群或某一个右陪集中。 证明：XG，且XSX。XS时，X就落在子群S中。 若Y是SX的元，那么SY与SX是相同的。 证明：Y=EY=S1Y, YSY.根据陪集定理，若YSX， 则有：SYSX,24,(3)子群的阶定理（lagrange定理） 若子群 S 群 G，

12、则有限群 G的 阶g,子群S的阶是h，则g 是h的整数倍。即 g =hl 式中，l是整数，称为子群S在G下的指数。 证明： 1. 群 S 及其陪集必然包括大群 G 中所有的元 答案： S 中有 E （群 G 中任何一个 S 以外的元素 X 必然在陪集 SX 中） 2. SX 和 SY 要么全同，要么全不同（陪集定理） 3. 子群 S 与陪集 SX 没有共同元 （X 应不属于 S） 若 有 Sm = Sn X 则 X = Sn-1 Sm S，与前提矛盾 4. 子群与其陪集的阶相同（元素的数目相同）, 皆为 h 5. 由以上四点可知，g 是 h 的正整因子 G = S + SX + SY + +

13、SW （g） （h） （h） （h） （h）,25,作 业,1.根据D3群，请计算出D2=？ D3=？DA=？AD=？ 从上述计算中可以得到什么样的结论？ 2.请写出D3群的子群及其与子群对应的左（右）陪集,26,第3节 共轭元素和共轭类 3.1共轭元素 (1) 定义：如果群G中存在元素A,B,X, 使得下面 的关系成立 B=X-1AX 或者B=XAX-1 则称群元B与群元A互相共轭 (2) 性质 对称性： 由 B=X-1AX，左乘X，右乘X-1，得 XBX-1=XX-1AXX-1=A 即若A是B的共轭，B也是A的共轭。,27,传递性： 若B=XAX-1， C=YBY-1， 则C=Y(XAX-

14、1)Y-1=(YX)A(X-1Y-1)= (YX)A(YX)-1=ZAZ-1, (X,Y,Z,A,B,CG) 即若A与B共轭，B与C共轭，则A与C共轭 反身性： Abel群中每个元自共轭 X-1AX= X-1XA=A 单位元自共轭,28,3.2 共轭类 (1)定义：群G中所有互相共轭的元素形成的完全集合-群中的共轭类，常用C表示 即 XCX-1=C XG 式中：C=C1,C2,Cn, XCiX-1=Cj (i,j=1,2,n) (2)性质 单位元自成一类 不同的类中没有共同元 除单位元这一类外，其余各类都不是子群，因为这些类中不包含单位元 Abel群的每个元自成一类（请证明）,29,矩阵群中，

15、同一类的元各互为相似矩阵，因而有相同的矩阵迹 因为B=XAX-1 所以Tr(B)=Tr(XAX-1 )= Tr(XX-1A )=Tr(A) 同一类的元素具有相同的阶数 即：如群中有一元A，其阶为a，则Aa=E，那么与A同类的任意元XAX-1亦具有相同的阶a 证明 (XAX-1)a= (XAX-1) (XAX-1)(XAX-1) =XAaX-1=XEX-1=E,30,（3）怎样求一个群中的共轭类 例 D3=E，A，B，C，D，F C1=E A所在的类？ D所在的类 E-1AE=A . A-1AA=A . B-1AB=C . C-1AC=B D-1AD=C F-1AF=B C2=A，B，C C3=

16、D，F,31,第4节 商群 4.1共轭子群 定义：设S是群G的一个s阶子群 S=S1=E, S2,Ss X是群G中某个确定的元素，则集合： XSX-1 =XS1X-1, XS2X-1, XSsX-1 构成群，称作群G的共轭子群 证明：封闭性，结合律，单位元，逆元,32,4.2 正规子群(不变子群，自共轭子群) (1)定义：对于群G中的每一个元X，当G的子群S满足 XSX-1=S 时，就称S为正规子群，记作N 注：正规子群的定义并不是指子群S中的每一 个元Sm以及群G中的每一个元X都使等式 XSmX-1=Sm 成立。 而仅仅是说两个集合XSX-1及S包含有相同的元,33,(2)性质 N与G中的任

17、何群元都对易 XN=NX 一个正规子群的自乘积仍是正规子群 NN=N N与其陪集的内积仍为该陪集本身 NXN=XN2=XN 对于一切AG，正规子群S对于A的左陪集AS以及右陪集SA是一样的。既有AS=SA。 请证明！,34,正规子群的陪集定理：一个正规子群的两个陪集的乘积必定是一个陪集或一个正规子群 证明：设正规子群的两个陪集是NK和NL，K， LG，使群中任意两个元。则有： NKNL=NKN(K-1K)L=N(KNK-1)KL=NNKL=N(KL) 若KL=F不属于N，则N(KL)就是一个陪集。 若KL属于N，则N(KL)就是一个正规子群。 一个正规子群，包含一个或几个完全类。反之，包含一个

18、或几个完全类的子群都是正规子群（自证）,35,3. 商群 定义：设有一个阶数为g的群G，有阶数为h的正规子群N，则按陪集定理，群G可按N的左（或右）陪集分解（包括正规子群）。于是N和N的所有不同陪集形成一个集合，将这个集合的乘法叫做群乘，则此集合构成一个群，叫商群或者因子群。记为：G/N.有 G/N=N,NX2,NX3,NXh 请证明：封闭性，结合律，单位元，逆元,36,求出D3群的商群 先求出D3群的正规子群 子群：EE,AE,BE,CE,D,FE,A,B,C,D,F 共轭类：EA,B,CD,F N1=E N2=E,D,F N3=E,A,B,C,D,F 商群：G/N1=(E),(A),(B),(C),(D),(F) G/N2=(E,D,F),(A,B,C) G/N3=(E, A, B, C, D, F),37,第五节 同构与同态,同构（isomorphism） 定义：有两个群G=E,A,B,C,和G=E,A,B,C, ，它们中的元素存在一一对应的关系，即 A A, B B, C C, 在各自群乘的定义下，若AB=C时，有AB=C 对一切群元成立，则这两个群称为同构群。 注：互相同构的两个有限群，阶相同，且有相同 的群乘表。 同构关系