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文档简介

1、3.4 线性方程组的解,我们知道 n未知数m个方程的线性方程组,可以写成 Axb 其中A(aij) x(x1 x2 xn)T b(b1 b2 bm)T 矩阵B(A b)称为线性方程组的增广矩阵 线性方程组如果有解 就称它是相容的 如果无解就称它不相容,上页,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,定理1 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b) (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n,说明 Axb无解R(A)R(A b)的等价叙述 Axb无解R(A)R(A b) R(A)R(A b)Axb无解 R(

2、A)R(A b)Axb有解 R(A)R(A b)Axb无解 要证明定理 只需证明 R(A)R(A b)Axb无解 R(A)R(A b)nAxb有唯一解 R(A)R(A b)nAxb有无限多解,下页,定理2 线性方程组Axb有解的充分必要条件是R(A)R(A b),定理3 n元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是R(A)n ,定理1 n元线性方程组Axb (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A b) (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n,当方程组Axb有无限多个解时 其解的形式为,线性方程组的通解,这是方程组的含有

3、参数的解 称为方程组的通解,令xr1c1 xncnr 可得,其中xr1 xn是自由未知数,下页,求解线性方程组Axb的步骤 (1)对于非齐次线性方程组 把它的增广矩阵B化成行阶梯形 从B的行阶梯形可同时看出R(A)和R(B) 若R(A)R(B) 则方程组无解 (2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行最简形 (3)设R(A)R(B)r 把行最简形中r个非零行的首非零元所对应的未知数取作非自由未知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B(或A)的行最简形 即可写出含nr个参数的通解,下页,对系数矩阵A施

4、行初等行变换 得,解,由此得,或,其中c1 c2为任意实数,例1 求解齐次线性方程组,下页,例2 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B施行初等行变换 得,可见R(A)2 R(B)3,故方程组无解,下页,所以有,例3 求解非齐次线性方程组,解,因为,即,下页,(c1 c2R),解,对增广矩阵B施行初等行变换 得,(1)当0且3时 R(A)R(B)3 方程组有唯一解 (2)当0时 R(A)1 R(B)2 方程组有无解 (3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解,下页,解,(3)当3时 R(A)R(B)2 方程组有无限多个解,这时,由此得,下页,定理4 矩阵方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(A B),定理5 设

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