实验三贷款问题.ppt

1、实验三 个人住房抵押贷款和其他金融问题,一、试验目的 本实验涉及微积分方程和线性代数，通过实验复习数列、函数方程求根和线性代数方程组有关的某些知识；主要是介绍与经济生活中某些常见重要问题有关的离散形式数学模型差分方程。 二、实际问题 随着经济的发展，金融正越来越多地进入普通人的生活：贷款、保险、养老金和信用卡等；个人住房抵押贷款是其中重要的一项。1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平，其中开款利率如下表所列： 表 6.1 贷款期限 半年 1 年 3 年 5 年 5年以上 利率 % 6. 12 6. 39 6. 66 7. 20 7. 56 （当贷款期处于表中所列相邻年限之间时

2、，利率为对应相邻两数中较大者。）其后，上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整。表6.2和表6.3分别列出了,报章公布的个人住房商业抵押贷款年利率和上海商业银行提供的个人住房商业抵押贷款（万元）还款额的部分数据（仅列出了五年） 表 6.2 贷款期限 1 年 2 年 3 年 4 年 5年 利率 % 6. 120 6. 255 6. 390 6. 525 6. 660 表 6.3 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60 月还款额 到期一次还本付息 444. 356 0 305. 989 6 237. 264 9 196. 411 8 本息总额 10 612. 00 10

3、664. 54 11 015. 63 11 388. 71 11 784.71 一个十分自然的问题是：表6.2和表6.3是如何依据中央银行（中国人民银行）公布的存、贷款利率水平而制定的？,贷款期限,三、数学模型 以商业性贷款10000元为例来考察，一年期贷款的年利率为6.12%，到期一次还本付息总计10612.00元，这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.225%，月还款数444.3560元为本息总额10664.54元的二十四分之一，这后两个数字究竟是怎样产生的呢？是根据本息总额算出月还款数还是恰好相反（从6.225%似乎不那么明显能得到10664.54）？让我们稍微仔细一些来进行分析。由

4、于贷款是逐月等额归还的，就有必要考察每个月欠款余额的情况。 设贷款后第 K 个月时欠款余额是 Ak 元，月还款为m元，则由 Ak 变化到 Ak+1，除了还款数外，还有什么因素参与？无疑就是利息。但时间仅过了一个月，当然应该用月利率，设其为 r，从而得到 或者 连同开始的贷款数 这就是问题的数学模型, 其中月利率采用将年利率 R=0.062 55 平均, 即 若 m 是已知的, 则由式 (6.1) 可以依次求出 Ak 中的每一项, 我们称 (6.1) 为差分方程,四、问题的解法和讨论 . 月还款额 二年期的贷款在第24个月时还清，即 为求 m 的值,令 利用式 (6.1) 易有 于是导出 Bk

5、的表达式 由式 (6.5) 和 (6.6), 可知,从而得到差分方程 (6.1) 的解 将 A24 、 A0 、r的值和 k=24 代入, 就有 m = 444.356 0 (元) 当然还款额表的制定依赖于年利率表，而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑，但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表 6.2 商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表 6.1 中数据相同，不过相应的贷款年限则放宽了一档：6.12%是一年期而在表6.1中是上一档半年期，6.66%是五年期而在表6.1 中是上一档三年期。其次再考察表 6.2 商业性贷款二、三、四年的利率，我们把这三个数字是如

6、何得到的问题留给读者，答案将是简单的。 依据这两个结论，请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表。 .还款周期 我们看到个人住房贷款是采取逐月归还的方法，虽然依据的最初利率是年利率。那么如果采取逐年归还的方法，情况将如何呢？仍以二年期贷款为例，显然，只要对公式（6.7）中的利率 r 代之以年利率 R=0.062 55,那么由 k=2，A2=0,A0=10 000,则可以求出年还款额应为,这样本息总额将为 远远超出逐月还款的本息总额10664.54元。考虑到人们的收入一般均以月薪方式获得，因此逐月归还法对于贷款者是合适的。缩短还款周期对于贷款本息总额的影响呢？显然是一个有意义的

7、问题。读者可以进行进一步的讨论。 . 平衡点 回到差分方程（6.1），若令 ，可解出 称之为差分方程（6.1）的平衡点或不动点。显然，当初始值 时，将恒有 在住房贷款的例子中，这意味着如果贷款月利率 r 和月还款额 m 是固定的，则当初始端款额为 时，每月还款额恰好抵上利息，因此所欠款始终保持不变。而当初始贷款额稍大于或小于 时，从方程（6.1）的解表达式（6.7）容易看出：欠款额 Ak 随着 k 的增大越来越远离 ，这种情况下的平衡点称为不稳定的。 对一般的差分方程 当初始值稍大于或小于差分方程的平衡点 A 时，若 则称 A 为稳定的，否则，称 A 为不稳定的。判别平衡点 A 是否稳定的一个

8、方法是考察导数,当 是稳定的；当 是不稳定的。（请读者证明这一点） 平衡点和它的稳定性是在差分方程及其应用中十分重要的概念，我们在下文和试验任务中都会涉及它们。 五、其他问题 在金融乃至经济等其他领域中，许多问题的数学模型都可以用差分方程来表达。这里再介绍两个典型例子。 养老保险 养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择，在计划中详细列出保险费和养老金的数额。例如某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056；若45岁起投保，月养老金4

9、20元。我们来考虑这三种情况所交保险费获得的利率。 设投保人在投保后第 k 个月所交保险费及利息的累计总额为 Fk，那么很容易得到数学模型,其中p,q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目（单位：元），r是所交保险金获得的利率，N,M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间（单位：月）。显然 M 依赖于投保人的寿命，我们取为该保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值75岁。以25岁起投保为例，则有 而初始值 F0=0。如同推出差分方程（6.1）的解那样，不难得到 在式 (6.13) 中取 k=N 而在式 (6.14)中取 k=M 并注意到 FM=0,这样只要消去 FN

10、 ,就可以到出关于 r 的方程： 记 , 且将已知数据代入,则只需求解方程 利用Newton法借助计算机编程或用数学软件能很方便求出方程的实根，请注意，我们要求的根显然略大于1，高次方程（6.16）可能有另一些根在其附近，因此求解的初始值应作选择，并对所得的根是否合理进行分析，可以得出,对于35岁起和45岁起投保的情况，得保险金所获得的月利率分别为0.00461和0.00413。 由于银行利率和投保人群寿命等随机因素，保险费的计算是比较复杂的。但通过分析，我们对其总体的利率还是可以得到大致的估计。 六、实验任务 1确定表6.2中二、三、四年期贷款的利率是如何产生的（可以用图像来帮助分析），然后

11、推导出相应的一至五年万元贷款的还款额表与表6.3比较验证. 2试制定一张完整的个人住房商业贷款（万元）利率和还款表，贷款期从一年至二十年，表中应包含以下各项：贷款期（年、月），年利率，月利率，月还款额和本息总额.注意个人住房十年期贷款的年利率为7.2%，十年以上贷款年利率不变，仍为7.2%. 3小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清.此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元，22年还清，不过由于中介费、手续费等原因，贷款时要预付4000元.小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近1万6千元，而每月多跑一趟，那不算什么，这机构的条件似乎还是蛮优惠的.试分析情况是否这样？ 4从还款周期的比较看出，逐月还款比逐年还款付出较少的本息总额，那么逐周还款情况又将如何？考虑是否有必要采取尽可能短的周期（比如每日一次）还款? 5某保险公司推出一种与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为：如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁，则在它生存时期，45岁时（投保满5年）可获返还补贴4000元，50岁时（投保满10年）可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；另外，在投保人去世或残废时，其受益人