空间解析几何-第3章-常见的曲面2.ppt

1、2020/7/8,空间解析几何,第3章 常见的曲面2,本章主要内容,柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图,五种典型的 二次曲面,3.5 五种典型的二次曲面,椭球面 双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的

2、二次曲面,1.对称性： 主平面:三坐标平面 主轴:三坐标轴 中心:坐标原点 2.顶点:(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:a, b, c,3.5.1 椭球面,3.范围：,4.主截线：,椭球面 与三个坐标面的交线,截口是曲面与平面的交线,椭球面,椭球面的主截线（主椭圆）,椭球面 与三个坐标面的交线,5.平截线：,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.,用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的

3、方程为：,，(5)无图形；,由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平面与坐标面xoy平行.,，(5)表示两个点 ；,(5)表示一个椭圆，两半轴长分别为,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为,球面,截面上圆的方程,方程可写为,旋转椭球面与椭球面的区别：,与平面 的交线为圆.,三、椭球面的参数方程,上海科技城椭球体玻璃幕墙,应用实例：,3.5.2 双曲面,单叶双曲面 双叶双曲面,单叶双曲面,一、单叶双曲面,1 对称性（symmetric）,关于三坐标平面对称；,关于三坐标轴对称；,关于坐标原点对称， （0

4、，0，0）为其对称中心.,2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept),（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（a，0，0）， （0，b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.,3 图形的范围 由方程 知，即曲面存在于椭圆柱面 之外，从而曲面与z轴无交点， 并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.,2020/7/8,4 主截线 与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线,x

5、oy面上的椭圆叫做腰椭圆,(1)用z = h 截曲面,结论：单叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两定双曲线上滑动.,用平行于坐标面的平面截割,5 平截线,(2)用y = h 截曲面,用平行于坐标面的平面截割,当 时,截线为双曲线,y,x,z,o,用平行于坐标面的平面截割,(2)用y = h 截曲面,当 时,截线为双曲线,y,x,z,o,当 时,截线为直线,(0 , b , 0),当 时,当 时,当 时,单叶双曲面：,用y = h 截曲面,b,此时的单叶双曲面是双曲线,当 时,方程,绕虚轴（即 z 轴）旋转形成的

6、.,变为,b,单叶旋转双曲面,单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形.,分析：,这一族的椭圆方程为,即,从而椭圆焦点坐标为,消去参数 h 得,二、双叶双曲面,双叶双曲面,特别的a=b时 为旋转双曲面,双叶双曲面的性质,1 对称性（symmetric）,2 与坐标轴的交点及截距 (vertex and intercept),双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫做主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心,（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与z轴交于（0，0，c），此为其实顶点. （2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的截距，而在x,y轴上无截距.,3 图形范围,，易知 ，即 或

7、 所以曲面分成两叶，一叶在 的上方，另一叶在 平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。,用y = 0 截曲面,用x = 0 截曲面,用z = 0 截曲面,4 主截线,无交点,5 平截线,当 时,当 时,交点坐标,截线为椭圆,（1）用 截曲面,结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两轴的端点分别在两定双曲线上滑动.,（2）用 截曲面,截线为双曲线,截线为双曲线,（3）用 截曲面,五 单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：,1两种双曲面的方程的左边都是x，y，z的平方项，有正有负，右边是1或1. 把方程的右边都化成1

8、，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面. 把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是1的，就表示双叶双曲面. 2绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.,分析：,单叶：,双叶：,.,.,.,在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。,渐进锥面：,双曲面及其渐进锥面,2020/7/8,3.5.3 抛物面,椭圆抛物面 双曲抛物面,1

9、、椭圆抛物面,方程：,设p、q0,则,图形在xoy平面上方,与xoy面的交线,为点（0，0，0）,与平面,交线,1、椭圆抛物面,o,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,o,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,y,.,o,x,z,例 将抛物线 绕它的对称轴旋转,旋转抛物面,二、椭圆抛物面的性质,1 对称性（symmetric）,椭圆抛物面关于z轴对称，z轴为主轴； 关于yOz平面，zOx平面对称，这两个平面为主平面； 而关于xoy面，x轴，y轴及原点都不对称，且无对称中心.,2 有界性(bounded),椭圆抛物面位于xy平面的上方，且在z轴的正向无界.,3 顶点及截距(vertex and inter

10、cept),与三坐标轴均交于原点，此为其顶点； ， ， 代后，易知，椭圆抛物面在x轴，y轴,，z轴上的截距都是零。,2用y = 0 截曲面,3用x = 0 截曲面,1用z = 0 截曲面,4.主截线,Cx0,Cy0,两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向,其为点（0，0，0）,xoz面上的抛物线,yoz面上的抛物线,1用z = k (k0)截曲面,结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy 面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动,5. 平截线, 当 时，为原点；, 当 时， 为椭圆，其顶点为（0， ，k），（ ，0，k）. 两半

11、轴长为： , . 椭圆抛物面是由xoy平面上方的一系列“平行”的椭圆构成的， 这些椭圆的顶点（ ，0，k）,（0， ，k） 分别在抛物线（2）和（3）上变化.,用y = k截曲面,结论：取这样两个抛物线，它们所在的平面互相垂直，它们的顶点和轴都重合，且两抛物线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面.,用z = 0 截曲面,用y = 0 截曲面,用x = 0 截曲面,用z = h 截曲面,用y = k 截曲面,用x = t 截曲面,平行截割法,主截口,辅助截口,例 已知椭圆抛物面S的顶点在

12、原点，对称面为xOz面与yOz面，且过点 和 ，求这个椭圆抛物面的方程。,分析：,对称面为xOz 面与yOz 面,且,2、双曲抛物面（马鞍面）,方程,四、双曲抛物面的几何特性与形状,1 对称性 （symmetric）,2 有界性 (bounded),双曲抛物面关于yoz平面，xoz平面对称，这两个平面称为主平面；关于z轴对称，z轴称为主轴；而关于xoy平面，x轴,y轴及坐标原点均不对称，且无对称中心.,双曲抛物面是无界曲线.,3 截距（intercept）,曲面在x轴,y轴及z轴上的截距为零，过坐标原点，坐标原点叫做顶点.,2用坐标面y = 0 截割曲面，得,3用坐标面x = 0 截割曲面，得,1用坐标面z = 0 截割曲面，得,4 主截线,Cy0,Cx0,两条主抛物线具有相同的顶点和对称轴,但开口方向相反.,两相交直线,抛物线,抛物线,1用平面z = h截割曲面，得,5 平截面,当h0 时，,当h0 时，,Czh,Czh,双曲线,实轴平行于x轴,实轴平行于y轴,2用平面y= t 截曲面，得,Cyt,抛物线,结论：如果取两个这样的抛物线，它们的所在平面相互垂直，有公共的顶点与轴，而两抛物线的开口方向相反，让其中的一个抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行