世纪金榜二轮专题辅导与练习选修 4-4

1、选修4-4 坐标系与参数方程,1.直角坐标与极坐标的互化： 把直角坐标系的原点O作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在 两种坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意 一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则 x=cos , 2=_, y=sin ； tan = x0.,x2+y2,2.常见的极坐标方程： (1)四类直线的极坐标方程： 直线过极点且倾斜角为：_. 直线过点M(a,0)且垂直于极轴：_. 直线过M(b, )且平行于极轴：_.,cos =a,sin =b,(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程： 圆心位于极点，半径为r：_. 圆心位于M(r,0)，半径为r：_. 圆心

2、位于M(r, )，半径为r：_. 圆心为M(0,0)，半径为r的圆的方程为: _.,=r,=2rcos ,=2rsin ,2-20cos(-0) +02-r2=0,3.常见曲线的参数方程： (1)直线的参数方程：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为( ) x=x0+tcos ， y=y0+tsin (t为参数)， (2)圆、椭圆的参数方程： x=a+rcos ， y=b+rsin (为参数). 椭圆 (ab0)的参数方程为 x=acos , y=bsin (为参数).,的直线的参数方程为,圆(xa)2+(yb)2=r2的参数方程为,1(2012江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点 圆心为直线

3、与极轴的交点，求圆C的极坐标 方程 【解析】将=0代入直线方程得 得=1， 从而圆心坐标为C(1,0)， 半径r=PC= 故圆C的极坐标方程 是=2cos .,2.(2012辽宁高考) 在直角坐标系xOy中，圆C1:x2+y2=4，圆C2:(x2)2+y2=4. (1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示). (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.,【解析】(1)圆C1的极坐标方程为=2，圆C2的极坐标方程为 =4cos ， =2， =4cos ，得交点坐标为 (2)由(1)可知，交点的直角坐标为 从而公共弦

4、所在 直线方程为x=1， x=1， y=t， 或写成( ).,由方程组,故参数方程为,3.(2013新课标全国卷)已知动点P，Q都在曲线 (t为参数)上，对应参数分别为 t=与t=2(02),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程. (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹 是否过坐标原点.,【解析】(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2, 2sin 2),因此,M(cos +cos 2,sin +sin 2). x=cos +cos 2, y=sin +sin 2 (为参数，02). (2)M点到坐标原点的距离 当=时，d=0，故M的轨迹过坐标原点

5、.,M的轨迹的参数方程为,热点考向 1 曲线的极坐标方程 【典例1】(2013南京模拟)已知圆C的极坐标方程为 点M的极坐标为 直线l过点M,且与 圆C相切,求l的极坐标方程.,【解题探究】 (1)由条件可知，圆C的直角坐标方程是_, 点M的直角坐标是_. (2)对直线分斜率存在与不存在讨论求解，主要利用当直线与 圆相切时圆心到直线的距离等于_求解. 【解析】以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标 系,则圆C的直角坐标方程为(x- )2+(y-1)2=4,点M的直角坐 标为(3 ,3) ， 当直线l的斜率不存在时,不合题意.,半径,当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-3=k(x-

6、3 ),由圆心 C( ,1)到直线l的距离等于半径2， 得 解得k=0或 从而所求的直线l的直角坐标 方程为y=3或 x-y-6=0，故直线l的极坐标方程为sin = 3或,【互动探究】若将条件“点M的极坐标为 ”改为“点M的 极坐标为 ”，其余条件同原题，则直线l的极坐标 方程是什么？ 【解析】因点M的直角坐标为 故当直线l的斜率不存 在时，直线 与圆C相切；当直线l的斜率存在时，设直 线l的方程为y1=k(x2 )，则由 无解，故所求 直线l的方程为x=2+ 极坐标方程为cos =2+ 事实上，因点M 的坐标满足曲线C的方程，故点M在圆 C上，从而切线只有一条，即cos =2+,【方法总结

7、】解决曲线的极坐标方程问题的两种思路 (1)将极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系中研究题中提出的问题，再将其化为极坐标. (2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标要注意题目所给的限制条件及隐含条件.,【变式备选】(2013常州模拟)已知C1的极坐标方程为 C2的极坐标方程为 判断C1,C2的位置关系. 【解析】将C1,C2化为直角坐标方程得，C1:x+ y+2=0, C2:x2+y22x2y=0， 即C2:(x1)2+(y1)2=2, 所以C1是直线，C2是圆. 圆心到直线的距离 所以直线与圆相离.,热点考向 2 参数方程 【典例2】(2013苏州模拟)在平面直角坐标系xOy

8、中,椭圆 的右顶点为A,上顶点为B,点P是第一象限内在椭圆 上的一个动点,求PAB面积S的最大值. 【解题探究】 因三角形面积公式是S=_，故将边AB作为PAB的底，则 点P到直线AB的距离为高，因点A，B坐标分别为_， 故直线AB方程为_，因点P在椭圆上，故设点P坐标为 _，从而求点P到直线AB之间距离的最大值， 可得PAB面积S的最大值.,(4，0)，(0，2),x+2y-4=0,(4cos ,2sin ),【解析】由条件可得点A，B坐标分别为(4，0)和(0，2)，故 直线AB方程为x+2y4=0，设点P坐标为 (4cos ,2sin )，其中(0, )，则点P到直线AB的距离 为 因(

9、0, )，故取= 得 此时PAB面积 S的最大值为,【互动探究】在本题中，当PAB面积S最大时，点P的坐标是 什么？过点P且平行于AB的直线与椭圆的位置关系如何？ 【解析】由原题得点P坐标是 设过点P且平行于AB的 直线为x+2y+c=0， 则 从而直线方程为 此方程与椭圆方程 联立，得 化简得 因=0， 故直线与椭圆只有一个公共点，即直线与椭圆相切.,【方法总结】 1.利用参数方程求最值的思路 有关圆锥曲线的参数方程，其实质是“三角换元”，化归为三 角函数的恒等变换，由三角函数的有界性求其值域. 2.利用参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系及弦长 利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置

10、关系以及弦 长计算，有时比较方便.方法是把l： x=x0+tcos ， y=y0+tsin ,代入圆锥曲线C：F(x，y)=0，即可消去x，y；,而得到关于t的一元二次方程：at2+bt+c=0(a0)，则 (1)当0时，l与C有两个公共点.此时方程at2+bt+c=0有两个 不同的实根t1，t2，把参数t1，t2代入l的参数方程，即可求得l 与C的两个交点M1，M2的坐标.另外，由参数t的几何意义可知 弦长M1M2=,【变式备选】 过点 作倾斜角为的直线与曲线 x2+2y2=1交于不同两点M,N，求PMPN的取值范围. 【解析】设直线为 (t为参数)，代入曲线方程 并整理得 (1+sin2)

11、t2+ =10cos24 (1+sin2)0, 得:0sin2 则PMPN=|t1t2|= 所以PMPN,热点考向 3 极坐标方程与参数方程的综合应用 【典例3】(2013徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参 数方程为 (为参数,r0),以O为极点,x轴正 半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 若圆C上的点到直线l的最大距离为3,求r的值.,【解题探究】 当动点在圆周上时，它到与圆相离的直线l的最大距离可转化 为圆心到直线的距离d与半径r之和，即_，故先将圆C的参 数方程转化为普通方程_，直线l的 极坐标方程转化为直角坐标方程_，再根据条件列 方程求解.,d+r,【解析】因为圆

12、C的参数方程为 (为参数,r0),消去参数得, 所以圆心 半径为r. 因为直线l的极坐标方程为 化为普通方程为 圆心C到直线 的距离为 又因为圆C上的点到直线l的最大距离为3,即d+r=3,所以r=32=1.,【方法总结】极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间相互转化的一般思路 (1)参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.,(2)普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)(或y=(t)，再代入普通方程F(x，y)=0，求得另一关系y=(t)(或x=f(t).一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标(或纵坐标).,【变式训练】(2013辽宁高考)在直角坐标系xOy中，以O为极 点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方 程分别为=4sin , (1)求C1与C2交点的极坐标. (2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的 参数方程为,(tR为参数),求a,b的值.,【解析】(1)由= cos =x,sin =y