电路第七章 正弦稳态分析2.ppt

1、7正弦稳态分析，71正弦量，72正弦相量表示，73正弦稳态电路相量模型，74阻抗和导纳，75正弦稳态电路相量分析，76正弦稳态电路功率，77三相电路，78正弦周期电路稳态分析，本章研究由正弦电源激励的线性动态电路的响应。在正弦电压源和角频率电流源的激励下，线性时不变动态电路在瞬态响应消失，只剩下正弦稳态响应时，被称为正弦稳态，电路中的所有电压和电流都是角频率的正弦波。满足这些条件的动态电路(渐近稳定电路)通常被称为正弦电路或正弦稳态电路。正弦稳态分析的重要性在于：(1)正弦信号是最基本的信号，易于产生、处理和传输；(2)许多实际电路工作在正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。(3)用相量法分析正

2、弦稳态非常有效。(4)了解电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。分析正弦稳态的有效方法是相量法。根据正弦定律随时间变化的物理量。7-1-1，正弦量的三个元素，函数表达式是：Fm振幅；角频率；Rad/s，t阶段；弧度(rad)或度数()；初始阶段。| |，波形图如下(以电流为例):f频率；赫兹(赫兹)=2f，T周期；秒(s) T=1/f，(a) 0 (b)=0 (c) 0，因为振幅Fm、角频率和初始相位是已知的，所以可以完全确定一个正弦量，这称为正弦量的三个元素。例1已知正弦电压的幅度为10伏，周期为100毫秒，初始相位为/6。试着写出正弦电压的函数表达式，并画出波形图。解：角频

3、率，函数表达式为，波形如右图所示。在例2中，试着找出正弦量的振幅Fm、初始相位和频率F。解决方案：正弦量表达式变为基本形式：因此，Fm=10，=/3rad，=100rad/s，f=/2=50Hz。在正弦稳态电路中，每个电压和电流都是具有相同频率的正弦量，因此经常需要比较这些正弦量的相位。两个正弦电压和电流之间的相位差称为相位差。例如，对于两个频率相同的正弦电流，电流i1(t)和i2(t)之间的相位差为7-1-2，反映了电流i1(t)和i2(t)在时间上的超前和滞后关系：当=1-20时，表示i1(t)超前i2(t)一个角度。当=1-20时，表示i1(t)滞后i2(t)一个角度| |。上述公式表明

4、，在任何时间，两个频率相同的正弦量之间的相位差等于它们的初始相位之间的差，这与时间t(a)无关。(b)电流i1滞后于电流I2；当=1-2=0时，i1(t)与I2(b t)同相。当=1-2=，i1(t)和i2(t)异相。当=1-2=/2时，i1(t)和i2(t)正交，(c)同相，(d)正交，(e)异相。请注意，具有不同角频率的两个正弦波之间的相位差是时间t的函数，时间t不再等于初始相位差。在示例3中，已知正弦电压u(t)和电流i1(t)和i2(t)的表达式是：试图找到： u(t)和I1 (t)和I2 (t)之间的相位差。u(t)和i2(t)之间的相位差为0，解决方案是u(t)和i1(t)之间的相

5、位差为0。习惯上控制-180和180之间的相位差范围。例如，我们没有说电压u(t)和电流i2(t)之间的相位差是-240，而是说电压u(t)和电流i2(t)之间的相位差是(360-240)=120，即u(t)领先i2(t) 120。比较DC电流I和正弦电流i(t)通过电阻R时的功率和能量，得出正弦电压和电流的有效值。当电阻器R通过DC电流I时，吸收功率P=I2R，在时间T中获得的能量为W=PT=I2RT，有效值为7-1-3正弦量。当周期电流信号i(t)通过时，吸收功率p(t)=i2(t)R是时间的函数，并且在周期T中获得的能量是，当也就是说，正弦电压和电流的有效值是幅值的0.707倍，或者正弦

6、电压和电流的幅值是其有效值的倍，正弦电压u(t)=Umcos(t)的有效值是幅值的0.5倍。可以看出：(1)正弦量的有效值只与幅值有关，与角频率和初始相位无关；(2)非正弦周期量的有效值不存在上述关系，需要单独计算。当然，还有平均值的定义。也就是说，取一个周期的平均值。正弦量的7-2相量表示，复数，直角坐标形式：A=a1 ja2，三角形式：A=a (cos jsin)，指数形式：A=a e j，极坐标形式：A=a，a1=acos a2=asin，分析正弦稳态的有效方法是相量法和相量法注：其频率不变。它被称为：f (t)的幅度相量，正弦量的相量表示，正弦量f (t)的有效值相量，正弦量的有效值与

7、复值的关系：正弦量f(t)是以投射在实轴上的角速度逆时针旋转的旋转相量。也就是说，正弦与其相量之间的对应关系可以看出，根据正弦定律变化的电压和电流可以用相量(复常数)来表示。知道正弦量的时间表达式，就可以得到相应的相量。相反，知道电压和电流的相量意味着知道正弦电压和电流的幅值和初始相位，加上角频率，我们可以写出正弦电压和电流的时间表达式(它们之间有一一对应关系)。也就是说，或：显然，一般来说：振幅相量或有效值相量可以任意选择来表示相同的正弦量；然而，更常见的是选择有效值相量。除非另有说明，它指的是有效值相量。相量：正弦量的振幅、有效值和初始相位用复平面(二维空间)中的复常数表示。以正弦电压为例

8、：相量图：为了形象地描述各相量(代表正弦量)之间的相位关系，在同一复平面上画出一些相量。参考相量：上图中假设相量为零。例4，已知电流i1 (t)=5cos (314t60) a，I2 (t)=-10sin (314t60) a.写出它们的相量，画一个相量图，找出i(t)=i1(t) i2(t)。解：相量图如图所示。相量图的另一个优点是，它可以用矢量和复数运算来求正弦电压或电流的和。平行四边形法则。从相量图中，很容易看出每个正弦电压和电流的相位关系：i2(t)导联i1(t) 90。电流的表达式可以得到：正弦稳态电路的73相量模型，如果电路中的所有电流具有相同的频率，它可以表示为振幅相量或有效值相

9、量：基尔霍夫定律的7-3-1相量形式，KCL:代入KCL得到3360，KCL相量形式的定律：对于正弦电路中任何一个节点具有相同的频率，流出该节点的所有支路电流相量的代数和。1流出节点的电流为“”，流入节点的电流为“-”。2流出任何节点的所有支路电流幅度(或有效值)的代数和不一定等于零。一般是：注意：如例5中所知，尝试找出电流i(t)及其有效值相量。解决方案：根据图(a)中电路的时域模型，图(b)中所示的相量模型用相应的相量符号表示时域模型中的每个电流符号。柱形图(b)相量模型中节点1的KCL方程，从中可以得到，那么，相量图如右图所示，用于检查复数计算的结果是否基本正确。相量形式的KVL定律：对

10、于具有相同频率的正弦电流电路中的任何回路，沿回路所有支路的电压相量的代数和等于零。相量形式为：1。与电路运行方向相同的电压是，相反的电压是-。2沿任何回路的所有支路的电压幅值(或有效值)的代数和不一定等于零，也就是说，一般来说，注意，例6找到了uS(t)和相应的相量，并画出了相量图。已知，解决方法：根据电路的时域模型，画出相量模型图(b)中，顺时针方向为迂回方向，所列的相量形成KVL方程，时间表达式是从相量中获得的，而每个相量的关系如右图1、j、1所示。当电流I (t)=imcos (t)时，电阻器上的电压-电流关系为：电压和电流是具有相同频率的正弦时间函数。其幅值或有效值符合欧姆定律，相位差

11、为零(同相)，即7-3-2，电路元件伏安关系的相量形式，时域：电阻元件的时域模型和反映电压-电流关系的波形如下图所示。可以看出，在任何时刻，电压的瞬时值都是电流的R倍，电压和电流是同相的。根据以上推导，相关参考方向的电阻电压和电流的相量形式为，这是一个复杂的方程，提供了幅值和相位之间的两种关系，即：(1) v=ri (2) u=i。相量模型如图(a)所示，反映电压和电流相量关系的相量图如图(b)所示，表明电阻电压和电流的相位相同。2。电容器元件伏安关系的相量形式。当u(t)=Umcos(t u)时，电容器的电压和电流处于同一频率。幅值或有效值与相位的关系如下：电容电压电流关系，电容元件的时域模

12、型如图(a)所示，电压电流波形图如图(b)所示。可以看出，电容器电流领先于电容器电压90。根据上述推导，得到了电容元件在相关参考方向上的电压和电流相量之间的关系，这个复杂的方程包含了幅值和角度之间的关系。容性元件的相量模型如图(a)所示，其相量关系如图(b)所示。或、3电感元件伏安关系的相量形式。当i(t)=Imcos(t i)时，电感上的电压-电流关系波形如图(b)所示。可以看出，电感器电压在电流90之前，并且当电感器电流从负值增加到零点时，其电压达到正的最大值。电感元件的时域模型如图(a)所示。通过以上推导，得到了电感元件的电压和电流相量之间的关系。电感元件的相量模型如图(a)所示，伏安相

13、量关系的相量图如图(b)所示。KCL，KVL和VCR的时域和相量形式：例7说明了电路，已知，求：u1(t)，u2(t)，u(t)的相量和有效值。解决方案：相量模型如图(b)所示，电流相量根据相量形式的KCL、相量形式的VCR和相量形式的KVL计算。时域表达式和相量图如图(c)所示。(串联电路选择电流作为参考相量)。例8的电路如图(a)所示。已知的是计算i1(t)、i2(t)、i (t)的相量及其有效值。求解如图(b)所示的：相量模型，并根据RLC分量相量形式的VCR方程计算电流。KCL的形式相量，以及时域表达式：相量图如图(c)所示。(并联电路选择电压作为参考相量)，R、L、C元件的电压无功比

14、的相量关系如下：让电流和电压的参考方向相关，阻抗和导纳、容抗(反比)和感抗(正比)，R、L、C元件的电压和电流相量的关系类似于欧姆定律。 电压与电流的相量之比为1，欧姆定律的相量形式可以得到如下：一般无源双端网络N0，导纳：显然，G、C、L元件的导纳低于，G、C、L元件的导纳是一个与时间无关的量，是一个复数。 阻抗是一个复数，实部r叫做电阻分量，虚部x叫做电抗分量，Z=v-i叫做阻抗角，而阻抗模|Z|=U/I，一般来说，阻抗三角形：当X0，Z0，端口电压领先电流，网络是感性的，而电抗元件可以等效为电感；当X 0，Z0时，端口电流领先于电压，网络是电容性的，并且电抗元件可以等效于电容器；当X=0

15、，Z=0时，端口vo无源网络相量模型有两个等效电路，一个是根据阻抗Z=R jX得到的电阻R和电抗jX的串联电路，如图(c)所示；另一个是电导G和电纳jB的并联，根据导纳Y=G jB获得，如图(e)所示。通常是的功能；阻抗角或导纳角在象限一和象限四。一般而言，应注意：n个阻抗串联，等效阻抗为：电流和端口电压相量之间的关系相当于串联和并联阻抗。1.阻抗串联，当n个阻抗串联时，第k个阻抗上的电压与端口电压相量之间的关系称为分压公式。2.导纳并联，由N个并联导纳组成的单端口网络在端口特性上等效为一个导纳，其等效导纳值等于所有并联导纳之和，即电压与其端口电流相量的关系为，第k个导纳中的电流与其端口电流相

16、量的关系为，这是并联导纳时的分流公式。例9:在图(a)中找出网络在=1拉德/秒和=2拉德/秒时的等效阻抗和等效电路。解决方案：图(b)中显示了在=1拉德/秒时的相量模型，图(c)中显示了等效阻抗，图(b)中显示了在=2拉德/秒时的等效电路。获得等效阻抗，等效电路如图(e)所示，对应的时域等效电路是0.5电阻和1/3F电容的串联。试着找出等效阻抗和相应的等效电路。解决方案：相量模型如图(b)所示。端口增加一个电流源，电压相量由KVL方程以相量形式计算。等效阻抗为，其等效电路如图(c)所示。3、分析RLC串联电路，相量模型如图(b)所示。等效阻抗，其中：当X=XL-XC0，Z0，电压领先电流时，电路为电感，相当于r串联电感；当X=X1-XC 0，Z0时，电流领先电压，电路为容性，相当于R系列电容；当X=XL-XC=0，Z=0时，电压和电流同相，并且电路是电阻性的，这相当于r，示例11 u(t)=10cos2tV。试着去找I (t)，ur (t)，ul (t)和UC (t)。解决方案：相量模型如图(b)所示。等效阻抗、相量电流、RLC元件上的电压相量、每个电压和电流的时间表达式和相量图如图(c)所示。端口电压u(t)的相位在端口电流相位i(t)45之前，并且RLC串联网络的端口特性等效于电阻器和电感器的串联连接，即，它是电感性的。4、分析GCL