利用级数计算定积分毕业论文

1、第 卷第期 年月 高 等 数 学 研 究 ， ， 利用级数计算定积分 孟凡友， 王 冰 （ 牡丹江师范学院 数学系，黑龙江 牡丹江 ） 收稿日期： ； 修改日期： 基金项目： 黑龙江省普通高等学校精品课程（ 黑教高 号） ； 年黑龙江省高等教育教学改革工程立项项目 作者简介： 孟凡友（ ） ， 男， 河南永城人， 教授， 主要从事格上拓 扑学的研究 ： 王冰（ ） ， 男， 黑龙江双城人， 副教授， 从事模糊优化 和智能计算的研究 ： 摘要根据被积函数和积分区间特殊情形， 给出利用数项级数和函数项幂级数展开式计算定积分的方法， 并借助实例加以说明 关键词定积分； 级数； 计算方法 中图分类号

2、文献标识码文章编号 （ ） 计算定积分的常用方法有三种： 牛顿 莱布尼 兹公式（ 包括广义的） 、 换元积分法、 分部积分法 如 果仅局限于这些基本方法， 对于一些比较复杂的积 分， 常常不易或不能解出因被积函数、 积分区间的 原因， 除常用的方法之外， 还有许多特殊方法， 利用 级数计算定积分便是一种特殊方法实际上， 我们可 以综合运用数学分析中的各部分内容解决一些运用 局部知识不易解决的问题这样可以开拓我们的视 野， 加深理解各部分知识的内在联系， 提高解题能 力 本文仅从利用级数来计算定积分方面作以探讨 用数项级数计算定积分 例 证明函数 （） ， ， 烅 烄 烆 在 ，上可积， 并计算

3、 （） 解先证可积性 方法 易知函数的不连续点为 ， ， ， ， 它们构成一个可数集， 由实变函数的知识可知其测 度为零， 从而有界函数（）在，上可积 方法 易知对任意 （ ） ， 存在， 当时， 有 ， 由于有界函数（）在 ， 上只有有限个间断 点， 所以可积， 从而于对任意的 （ ） ， 存 在 ， 的分割， 使得 而在 ， 上， 有 不妨令 ， 成为 ，的一个分割， 则有 由可积准则充分性知， 函数（）在，上可积 再计算积分值 因为（）在，上可积， 所以变限函数 （） （） 在 ，上连续， 从而有 （） （ ） （） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 其中是调和级数前项

4、的和，为欧拉常数 例 证明函数 （） ， ， ， ， 烅 烄 烆 ， 在 ，上可积， 并计算 （） 解函数的不连续点为 ， ， ， 可积性证明同例， 从略 因为（）在，上可积， 所以变限函数 （） （） 在 ，上连续， 从而有 （） （） （ ） （ ） 又因为 ， 于是 （） （ ） （） 例 设函数 （） ， ， ， ， （ ， ） 烅 烄 烆 证明（）在，上可积， 并计算 （） 解函数的不连续点为 ， ， ， ， 可积性证明同例， 从略 因为（）在，上可积， 所以变限函数 （） （） 在 ，上连续， 取点列 （ ， ） ， 则有 （） （） （） （） （ （ ） （ （ ） （ （）

5、例 （ 年美国 数学竞赛题） 计 算极限 （ ） 解此题本质上就是证明函数 （） ， ， ，（ ， 烅 烄 烆 在 ，上可积 ， 并计算 （）所求极限恰好 是函数（） 在， 上（ 作等分分割且 取区间右 端点时）一黎曼和的极限， 也就是此定积分 先证可积性以表示的小数部分，由于 当 时， 有 （） （ ） ， 可知函数（）在，上有界又函数（）有不 连续点 ， ， ， （ ， ） ， 因此， 可积性的证明同例， 此处从略 现计算积分值 由于函数又可表示为 （） ， ， （ ， ） ， ， 烅 烄 烆 因为（）在，上可积， 所以变限函数 （） （） 在 ，上连续， 于是 （） （） （） 当充分大

6、时， 有 （） （ ） （） （） （） 第 卷第期孟凡友， 王冰： 利用级数计算定积分 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （） （ ） ， 因此 （） （ ） （ ） （ ） ， 其中 （ ） 例证明函数 （） ， （ ） ，（ ， 烅 烄 烆 在 ，上可积， 并计算 （） 解函数的不连续点为 ， ， ， ， 可积性的证明同例， 从略 因为（）在，上可积， 所以变限函数 （） （） 在 ，上连续， 于是 （） （） （） （ ） （） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 例 证明函数 （） ， （ ） ，（， 在 ，上可积， 并计算 （） 解函数（）的不连续点为 ， （ ， ） ，

7、 可积性的证明同例， 从略 因为（）在，上可积， 所以变限函数 （） （） 在 ，上连续， 于是 （） （） （） （ ） （ ） （ ） （ （ ） （ ） （ ） 通过上述个例题的解答， 可得个结论 结论如果（）在，上有界， 不连续的 点构成一可数集（ 零测度皆可） ， 则（）在，上 可积 结论 如果（） 在， 上可积， 在（，） 上 只有可数个第一类不连续点 ， 且 ， ， 那么有 （） （） （） （） （） ， 其中 （） （） 在 ，上连续， 而 （）（）（ ） 是易计算的 用函数幂级数展式计算定积分 前面各例题中的被积函数在 ，上有第一类 间断点， 因而没有原函数 下面几个积分的

8、被积函数 虽有原函数， 但无法用初等函数表示或难以表示， 它 们仍可用函数幂级数展式来计算 例 求积分 ， ， ， （） 高 等 数 学 研 究 年月 解由函数幂级数展开式， 易知 （ ） ！ （ ） ， （ ） （ ） ！（ ） ， （ ） （ ） ， （） （ ） （ ） 再由幂级数逐项积分定理， 可知 （ ） ！ （） ， （ ） （ ） ！ （） ， （ ） （ ） ， （ ） 通过辛普森公式或交错级数的莱布尼兹判别法的余 项估值公式 ， 可近似计算 ， ， 例 计算积分 （ ） （ ） 解应用函数的幂级数展开式、 函数项级数一 致收敛性可算得 通过两大部分例子的介绍和研究， 的确有许

9、多 函数的定积分利用级数来计算是必然的选择 参考文献 孙本旺， 汪浩数学分析中的典型例题和解题方法 长沙： 湖南科学技术出版社， ： 邹承祖， 齐东旭， 孙玉柏数学分析习题课讲义长 春： 吉林大学出版社， ： 白玉兰， 彭树森， 陆子采数学分析题解： 三哈尔 滨： 黑龙江科学技术出版社， ： 常庚哲， 史济怀数学分析教程： 上册北京： 高等 教育出版社， ： 华东师范大学数学系数学分析： 下册 版北京： 高等教育出版社， ： 菲赫金哥尔兹微积分学教程： 第二卷第二分册 北 京： 人民教育出版社， ： ， （ ， ， ， ） ： ， ： ， ， 欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 简 讯 荣获 年度阿贝尔奖 匈牙利数学家 由于“ 在离散数学和理论计算机科学方面的根本性贡献， 以及这些贡献对堆垒数论和遍历 理论方面产生的深刻而持久的影响”而荣获 年度阿贝尔奖他最重要的成果之一是 定理， 该定理表明， 对于任 何具有正密度的整数集合， 存在任意长的算术级数 是匈牙利科学院阿尔弗雷德莱利数学研究所终身研究员、 新 泽西州罗