概率论与数理统计 第2章 随机变量及其分布.ppt

1、Probability Theory and Mathematical Statistics,概率论与数理统计,第 2 章,随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,3,本章主要内容 1 随机变量 2 离散型随机变量及其分布律 3 随机变量的分布函数 4 连续型随机变量及其概率密度 5 随机变量的函数的分布,第二章 随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,4,上一章，我们引入了概率论的两个基本概念随机事件与概率，而且主要是以“事件及其发生的概率”作为讨论对象由于随机现象的多样性和复杂性，为了更好地利用近代数学工具来研究随机现象的统计规律性，将随机事件数量化显得尤为重要本章将引入一个新的概

2、念随机变量，它对概率论的研究有着十分重要的作用,第二章 随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,5,随机试验的结果因试验内容的不同而各异很大一部分问题可以用数量来描述试验的各种可能结果，如，产品抽样中的次品数，掷骰子出现的点数，某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，测量中出现的误差等等而有些随机现象，表面上看其试验结果与数量没有直接关系，如掷硬币的结果“正面、反面”和抽查产品的结果“合格、不合格”等，但这些试验结果也常常能联系数量加以描述比如掷一枚硬币，可能的结果为“正面”、“反面”，则可以这样处理，当出现“正面”时对应数1，而出现反面时对应数0,更一般地，对于事件A，则一定可以通过下面

3、的示性函数使它与数量联系起来:,2.1 随机变量,2020年7月9日星期四,6,再看一个具体的例子,2.1 随机变量,2020年7月9日星期四,7,定义1.1,2.1 随机变量,2020年7月9日星期四,8,图2-1,2.1 随机变量,2020年7月9日星期四,9,注意,2.1 随机变量,2020年7月9日星期四,10,2.1 随机变量,2020年7月9日星期四,11,2.1 随机变量,注意,2020年7月9日星期四,12,2.1 随机变量,2020年7月9日星期四,13,由于随机试验结果的多样性，随机变量的取值情形也不尽相同有的随机变量只可能取有限或可列个值，如产品抽样中的次品数，电话交换台

4、在某时间段内接到的呼叫次数，这一类随机变量称为离散型随机变量而另一类随机变量的可能取值可为某一区间中的任意一个值(不可列)，比如测量的误差，灯泡的寿命等，称这一类随机变量为非离散型随机变量，其中最重要的一种是连续型随机变量今后我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量,2.1 随机变量,返回,2020年7月9日星期四,14,若随机变量的可能取值仅有有限个或可列无限多个，则称此随机变量为离散型随机变量,定义2.1,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,15,定义2.2,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,16,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7

5、月9日星期四,17,分布律也可以用类似于矩阵的形式来表示，如:,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,18,可以认为，分布律能够完全刻画出离散型随机变量的统计规律性只要给出随机变量的分布律，利用概率的性质可列可加性，则任一事件发生的概率便可方便地得到,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,19,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,20,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,21,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,22,常见的离散型随机变量的分布律,1. (0-1)分布(两点分布),2.2

6、离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,23,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,24,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,25,2.2 离散型随机变量及其分布,本例中抽取结果只有两种可能：合格品、次品， 非此即彼 。,注意,2020年7月9日星期四,26,2. 二项分布,前面在讨论概率的统计定义时，曾经举例说明，在相同条件下进行大量的重复观察或试验，随机现象的统计规律就可以呈现出来因而对某一个试验独立地重复进行n次，这是在概率论的研究中有着广泛应用的一种概率模型,n次独立重复试验，是具有下列特点的n次重复试验： (1)每次试验条件都相同；

7、 (2)各次结果互不影响(每次试验的结果出现的概率都不依赖其他各次试验的结果)各试验相互独立,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,27,例如：(有放回抽样试验)从有一定次品率的一批产品中逐件地抽取n件产品，如果每次取出后都立即放回这批产品中再抽下一件，则可以把每取一件产品作为一次试验,由于每次取出后立即放回这批产品中去再抽下一件，所以,(1)每次抽取面对的产品的次品率是相同的，且试验可能结果只有取到次品与取到正品；,因此，这是每次试验结果只有两个的n次重复独立试验n重贝努利试验,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,28,2.2 离散型随机变量及其分布

8、,2020年7月9日星期四,29,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,30,2.2 离散型随机变量及其分布,二项分布是需要重点掌握的一个离散型分布，请看下面的定义。,注意,2020年7月9日星期四,31,定义2.4,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,32,二项分布的图像变化,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,33,例2-4 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,34,例2-5 一份考卷中有10道选择题，每

9、题有4个可能答案，其中只有一个答案是正确的,(1)某学生随机猜测，问他至少能答对2题的概率及答对题数的分布律 (2)若一人答对6题，则推测他是猜对的还是有答题能力的,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,35,单靠猜测答对6道题的可能性是0.016，概率非常小，由实际推断原理，可推测此学生是有答题能力的,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,36,例2-6 某一交通道口每天有大量汽车通过，设每辆汽车在每天某段时间内发生事故的概率是0.0001，今在该段路口的某个时间段内有若干辆汽车通过，求(1)若有1500辆汽车通过，不发生事故及发生事故次数小于2的概率

10、；(2)若有20000辆汽车通过，则至少发生一次事故的概率,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,37,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,38,上例中每辆车发生事故的概率非常小，当某段时间通过汽车为1500辆时，发生事故的可能性还是很小，但是当汽车量达到20000辆时，则发生事故的可能性达到0.8647，已经非常可能，可以计算如果流量达到30000辆则至少发生一次事故的可能性就达到0.95，几乎总有发生了此例也告诉大家小概率事件不可忽视,例2-7 设每颗子弹打中飞机的概率为0.01，问在500发子弹中打中飞机的最大可能次数是多少？并求其相应的概率,2

11、.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,39,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,40,例2-8 保险事业是最早使用概率论的部门之一保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率，下面是典型的问题之一 设在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而在死亡时其家属可到保险公司领取2000元赔偿金求：(1)一年内保险公司亏本的概率是多少？(2)一年内保险公司获利不少于10000元的概率是多少？,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,4

12、1,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,42,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,43,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,44,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,45,可见，一年内保险公司亏本的概率只有0.000069，而一年内获利不少于10000元的概率是0.986,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,46,例2-9 一本300页的书，每页出现错别字的概率等可能地为0.001，求在给定的一页上至少有两个错别字的概率,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,47,

13、3. 泊松分布,定义2.5,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,48,泊松分的图像变化,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,49,二项分布逼近泊松分布,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,50,泊松分布可以作为描述大量试验中稀有事件发生频数的概率分布情况的一个数学模型例如，飞机被击中的子弹数；一本书一页中的印刷错误数；某地区在一天内邮递遗失的信件数；某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数；一年内暴雨出现在夏季的次数；一天中拨错号的电话呼叫次数；数字通讯中传输数字时发生误码的个数等等，这类随机变量都近似服从泊松分布,2.2 离散

14、型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,51,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,52,2.2 离散型随机变量及其分布,2020年7月9日星期四,53,2.2 离散型随机变量及其分布,返回,2020年7月9日星期四,54,对离散型随机变量，分布律便能完全刻画其统计规律性但对于非离散型随机变量，由于其可能取的值不能一一列举，因而就不能采用分布律来描述另外，非离散型随机变量通常取任一指定值的概率都等于0(下一节将给出论证)，类似分布律的做法将没有任何意义在实际中，对于非离散型随机变量，如测量的误差、元件的寿命，我们并不会对它们取某值的概率感兴趣，而是考虑误差落在某个区间

15、内的概率或寿命大于某数的概率,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,55,定义3.1,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,56,分布函数的性质：,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,57,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,58,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,59,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,60,图2-3,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,61,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,62,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期

16、四,63,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,64,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,65,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,66,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,67,图2-4,2.3 随机变量的分布函数,2020年7月9日星期四,68,2.3 随机变量的分布函数,返回,2020年7月9日星期四,69,一、连续型随机变量及其概率密度,定义4.1,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,70,图2-5,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,71,图2-6,2.4 连续型

17、随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,72,图2-7,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,73,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,74,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,75,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,76,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,77,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,78,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,79,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四

18、,80,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,81,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,82,二、几个常见的连续型随机变量的分布,1. 均匀分布,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,83,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,84,图2-8,图2-9,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,85,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,86,2. 指数分布,定义4.3,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,87,图2-10,指数

19、分布是一种常见的分布，它在可靠性理论和排队论中起着重要的作用在实际中，诸如保险丝、电子元件及动物等的寿命就是服从指数分布另外，如事故发生之间的时间，汽车行驶的里程数，随机服务系统中的服务时间及每一次打电话的时间等都服从指数分布,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,88,指数分布概率密度关于参数的变化,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,89,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,90,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,91,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,92,

20、3. 正态分布,定义4.4,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,93,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,94,正态分布是概率论中最重要的一种分布一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布，例如，测量的误差；炮弹落弹点的分布；人的生理特征的尺寸：身高、体重；农作物的产量；工厂产品的尺寸等等，都服从或近似服从正态分布一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标服从正态分布，这一点可以利用概率论的极限定理来加以证明(第四章)另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布可用正态分布来近似，另外一些分布又可以通过

21、正态分布来导出，因此在理论研究中，正态分布十分重要,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,95,正态分布的图形特征：,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,96,图2-11,图2-12,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,97,图2-13,图2-14,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,98,正态分布曲线关于方差的变化,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,99,几个正态分布曲线,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,100,图2-15,2.4 连

22、续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,101,图2-16,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,102,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,103,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,104,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,105,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,106,图2-17,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,107,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,108,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,109,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,110,定义,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,111,图2-18,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,112,图2-19,2.4 连续型随机变量及其概率密度,2020年7月9日星期四,113,2.4 连续型随