理解核心概念本质设计有价值学习活动图形与几何1.ppt

1、理解核心概念本质，设计有价值学习活动 对有效落实“2011版课标”的思考,刘加霞 LL北京教育学院,一、2011版课程标准的高标准要求,2011版“课程标准”的主要变化,双基 （基本知识、基本技能）,四基 （基本知识、基本技能 基本思想、基本活动经验,双能 （分析问题、解决问题）,四能 （发现问题、提出问题 分析问题、解决问题）,有教育价值的经验必须满足：,有“活动”、经历“探索过程”，有感悟、有体会才有经验的积累。 杜威：连续性、相互作用性是判断是否是有教育价值的经验的两条基本原则。 例如“数数”活动，具有连续性。有兴趣、有需求地“数数”，数数的主体与所数的客体相互

2、作用。,“数数”的本质与价值：数“标准”的个数,1. “计数单位”与计数单位的“个数” （自然数、小数、分数） 2. 数计量单位的“个数”（度量） 3. “倍”的认识、“比”的认识 4.四则计算的本质：相同计数“单位”的个数的运算 5.因数、倍数的认识 6.探索规律,2011版课程标准的“高标准要求”,目标变化，教学方式、评价方式才能真正转变。 教师的教学观念与行为才能逐步转变。（设计有价值的学习活动。）,什么是“有价值的学习活动”？,1. 能够揭示数学本质的 2. 有思维挑战性的，落在“最近发展区”的 3. 有助于合作探究与交流的 4. 有趣的、好玩的 ,具体内容名称的变化,数与代数 空间与

3、图形 统计与概率 实践与综合应用,数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践,核心概念,“图形与几何”领域内容的主要变化,第一、第二学段没有大变化：图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置。 新提出“几何直观”这个核心概念。 很多内容从知识上看降低了要求。但增强“直观操作活动”、“实践探索活动”，为学生积累活动经验。,图形与几何图形的认识,1. 在第二学段，去掉了“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”，放入了第三学段。 2. 进一步明确了“观察物体”的要求。第一学段“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度（前、后、左、右）观察到的简单物体”，第二学段“能辨认从不同方向（前面、侧

4、面、上面）看到的物体的形状图”（三视图。空间观念）。,观察下图： 请指出从前面、右面、上面看到的相应图形：,12,图形与几何测量,1. 考虑到学生的生活经验，将“平方千米、公顷”的学习由第一学段移入到第二学段，并且降低了要求。 2. 增加“了解圆的周长与直径的比为定值”，强调学生在探索周长与直径比的过程中认识圆周率。 3. 会用方格纸估计不规则图形的面积,估一估曲边图形面积大约有多大？,。,图二,“面积”背后蕴含的重要数学思想方法,分割、求和、取极限积分思想 密铺等积变形（守恒思想、等量代换思想） 无限、逼近、极限思想。 度量思想。 ,学生理解有困难,图形与几何图形的运动,第一学段，结合实例，

5、通过观察、操作，直观认识平移、旋转和轴对称。 第一学段去掉了在方格纸上作图的要求，而将其放入了第二学段，定量刻画运动，体会平移、旋转、轴对称的特征。体会图形的相似（放大与缩小）。,下图中哪些图形通过平移可以互相重合?,平移、旋转、对称,第一学段不要求,第一学段 有的版本教材要求,怎么走能吃到胡萝卜？,图形与几何图形与位置,1. 第一学段，去掉了“会看简单的路线图”的要求，只要求会描述物体所在的方向。 2. 第一学段，对于八个方向的学习，降低了对于东北、西北、东南、西南四个方向的要求，只要求“知道”。 3.第二学段，在用数对表示位置时，增加了“知道数对与方格纸上点的一一对应”。,平面直角坐标系

6、极坐标系,为中学学习的坐标系积累初步经验,图形与位置,上/下;前/后;左/右;位置 谁做“参照点”？ 看“人物图”中：小红在小明的（）边 “动物图”： 规定以“观察者”为参照点，判断我和其他物体之间的位置关系（左/右）。出示“人物图”时，都是“后脑勺”图,“位置”背后的思想,坐标系：参照点、方向（约定俗成：从左到右、从下到上）、距离。 有了坐标系，空间就“有序”、“结构化”了。 “有序”与“对称”是宇宙最根本的大法！ -爱因斯坦 解析几何：笛卡儿（17世纪 法国哲学家、数学家）,二、“图形与几何”领域的有价值活动,（一）设计有价值学习活动，促进概念理解与公式探究,关注学生思维的难点与策略：估一

7、估,大约有（ ）个 长,大约有（ ）个 长,大约有（ ）个 长,大约有（ ）个 长,关于“一维空间”的度量,长度：线段或曲线（化曲为直、以直代曲） 周长：平面图形边线的长度（只有平面图形有周长） 重要思想：化曲为直、以直代曲、度量思想,体积公式：“长宽”到底表示什么？张殿军（海淀区七一小学）,在学生用小单位正方体拼摆出长方体的长、宽、高之后，教师尝试让学生说明只摆长、宽、高，就能确定长方体中体积单位的总个数。 学生拼摆操作后，汇报交流时却出现了一下的情景：,“长宽”到底表示什么,生1：长和宽决定了长方体的底面积，再乘高就是长方体体积单位的个数。 生2：我不同意她的观点，长和宽决定的是第一层的体

8、积，应该是立方厘米，不是“面积”。 生1: 长乘宽就是面积，两个长度相乘是面积，不是体积。 生5：长乘宽是面积，再乘3（高），3个面积，哪来的体积？,体积公式修正为：长宽1高,生3：要想“长乘宽”决定一层的体积，你必须乘1，再乘高，否则就不是体积。长方体体积公式必须是：长宽1高 生1：不乘1也可以，直接用底面积乘高就可以表示体积。 生3：不乘“1”不行，底面的厚度是“0”，多少个“0”（相加）都是“0”。 生4：（下课后）不用乘“1”，“高”里不就包含了几个“1”吗？,迁移猜想“平行四边形的面积公式”,平行四边形的面积=57=35个,本质是“单位”、“单位个数”,谁是“单位”？,一名学生的推导

9、过程：,（5+3） 2=16 16-1=15,“度量”结构（度量意识）,1.单位（非标准单位标准单位） 2.度量的结果就是“单位的个数”（自然数、有限小数。理论上用分数表示） 共同属性 （拼接、密铺、堆积） 运动不变性 叠合性 有限可加（减）性 （守恒）（等积变形）,（二）设计有价值学习活动，培养学生空间观念,空间观念,空间观念：以下三者之间建立联系,1.课堂教学中的案例,案例1：“体积单位的换算”的案例 常秀杰（海淀区七一小学）,教学体积单位的换算：一个1立方分米的容器和一个1立方厘米的小正方体，并提出问题：用1立方厘米的小正方体来填充这个1立方分米的容器，需要多少个能恰好填满？ （作为事实

10、性知识：1立方分米=1000立方厘米）,“体积单位的换算”的案例,“常老师，通过刚才的交流我们知道了下面这一层正好摆了100个，如果前面、后面、左面、右面、上面都这样摆，用不了1000个，6个面只需要600个1立方厘米的小正方体就可以了！”学生1急切的表达了自己的想法。（体积、表面积混淆？）,“体积单位的换算”,“咱们需要摆满这个容器，而你却只摆了最外层，里面还是空的！” “没错，你这样摆得不到1立方分米与1立方厘米的关系，因为你里面没摆，当然没有用完1000个1立方厘米的小正方体。”,“体积单位的换算”,就在这时，一个很小的声音钻进了我的耳朵：“最外一层是600个吗？肯定不到600个，有重复

11、使用的小正方体！”平时很少说话的学生2坐在第一桌，她紧皱眉头。,“体积单位的换算”,教师的“两难” ：怎么办？ 这个问题还探究吗？后面还有很多教学内容呢？怎么办？但学生的”问题“已经暴漏，怎能不解决？ 教师走到生2面前，俯下身子，拉着她的手说：“我与你有同样的质疑，把你的想法大胆的说出来！”,“体积单位的换算”,她鼓足勇气、红着小脸表达了自己的想法。 “也就500多个吧”，许多学生这样认为。于是同学们在本上写着、画着、算着，还有的同学紧皱眉头思考着。不一会，540个，520个，480个，488个，同学们开始交流了。,学生4阐述不同的结果：先看正面，铺满需要100个小正方体，棱上的10个是公用的

12、，在正面已经数过了，所以右侧只需要90个小正方体，就这样后面也需要90个，此时左面只需要80个。关键是上面，4条棱上的小正方体都已经数过了，还剩下88=64,64个小正方体。这样共100+90+90+80+64+64=488个小正方体。,学生5：我也认为是488个，把上下两个面的200个先拿走，再把左右两个面的1082=160个拿走，此时还剩下前后分别剩下88=64个，这样共200+802+642=488个。,此时下课铃响了，这时学生6大喊：“老师先别下课，我还有更好的方法。”同学们用期待的目光看着他。此时我怎忍心宣布下课！“老师，用1000-888=488个，1立方分米需要用1000个1立方

13、厘米小正方体，扒开最外面这层，还剩888=512个小正方体，扒掉的这一层正好是我们要求的，所以1000-512=488个。”,实践活动1：堆积成大正方体，还需要 多少块小正方体？,有价值学习活动,单位立方块的堆积 单位正方形的密铺 单位线段的拼接,案例3：四年级拓展训练课 有用的三角板,有价值的学习活动,“角”的拼接 图形的剪切产生新的图形,综合与实践,实践活动1： 试着画出正方体展开图，并进行验证,发现了规律？是什么？,实践活动2：涂色问题 将棱长为3和4的两个正方体的表面刷上红色的漆，再将它分割成边长为1的小正方体。探求满足下面条件的小正方体的数量规律。,（1）棱长为3的正方体，三面、两面

14、、一面有红颜色的小正方体各有多少个？ （2）棱长为4的正方体？ （3）将正方体的棱长为5或6 （4）分析上面三个问题的求解过程，你能发现什么规律？,（三）几何直观的内涵与作用,几何直观,几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 几何直观可以帮助学生直观地（看得见）理解数学，在各领域数学学习中都起重要作用。,几何直观既是过程又是结果,几何直观是一种思维方式和方法（借助于“图”发现、分析与解决问题。又是一种能力（结果）不同学生的几何直观水平有高低（有几何直觉的成分） 学生的几何直观能够培养，在探究合作解决问题中培养

15、。（很难单一地培养） 不是看见一个“图形”、“实物模型”等就建立了“几何直观”。（陈洪杰）,几何直观在小学数学的具体表现,1，学生具有丰富的几何直觉。 2. 几何直观主要体现在“直观模型”的运用上 3.几何直观主要体现在“数形结合”方法上,二年级的小学生数学日记中写到：,“我发现家里的饭碗口都是圆的，这是为什么呢？因为好看？好像不完全是。是因为清洗方便？ 对，圆形的东西没有死角，清洗起来当然方便了。还有什么原因吗？也许还因为吃饭时不会扎嘴巴。”,与数学有关系的事。 记录生活中发现的,“原来我看见拐杖是1个腿着地的，现在我看到的拐杖是3个腿着地的。因为1个腿着地的拐杖自己站不住，而3个腿着地的拐

16、杖自己能站住，不容易摔倒。” “我发现六边形比四边形更像圆，八边形比六边形更像圆。”,三年级学生的认识,笔者：下面这幅图中哪条线段是直径？ 女儿：妈妈，什么叫“直径”啊？ 笔者：你自己看，自己决定吧。 女儿：3号是直径。 笔者：为什么啊？ 女儿：因为它是“直直”的，“直径”、“直径”嘛！ 笔者：其他的线段就不是“直直”的？ 女儿：是斜的，哦，也是“直直”的，因为3号最长。,1.直观模型的应用,几何直观培养1： “方格图”的有效运用,方格图在“大乘法口诀”中的应用（加法表、减法表、百数表等等） 方格图在理解乘法的算理方面的应用 方格图在“比赛场次”的应用 方格图在度量“面积”时的应用 ,借助模型

17、辨析错例,错误1412=108,利用“矩形模型”将乘法运算可视化,乘法分配律：矩形面积模型,图14,（a+b)c=ac+bc,1+3+5+（2n-1）=n2 n2=(n-1)2+2n-1 或(n+1)2= n2+2n+1,正方形分数表,“比赛场次”问题,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,A,B,C,在方格图（钉子板）画图形,几何直观培养2：用好“直观模型”,有余数除法： 134=31 直观模型作为理解的表象支撑。与图形的形状、大小没有关系。（本题与“个数”有关） 在“数轴”上理解有余数除法。是数形结合。,2. 数形结合思想的应用,数学家华罗庚先生1964说：“数与形，本是相倚依，

18、焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”,“数”主要指数、数量关系式、运算式、函数关系式、方程等，其核心是抽象的代数式、函数解析式、方程 “形”则主要指几何图形与直角坐标系下的函数图象。 对于“几何图形”，我们考虑的是几何图形的形状与大小，边的长度与所围图形的面积等度量特征。对于函数图象，我们考虑的是图象的发展趋势、增长（下跌）的快慢、弯曲程度等。,1.用好“数尺”、“数线”或数轴（原点、单位、方向），感知“数与形”的结合,2. “数轴”与计算,“加法”就是在数轴上继续向右“数”，或者看做是向右平移若干个单位。 “减法”就是在数轴上先找到“被减数”，然后再向左“数”，或者看做是向左平移若干个单位。 “乘法”就是在数轴上从0开始，几个几个地向右“数”，或者把一“线段”拉长几倍。 “除法”就是在数轴上先找到“被除数”，然后向左几个几个地“数”，如果恰好数到“0”，则就是“除尽”，数了几次，商就是几。当不能恰好数到“0”，就产生了“