弹性力学第八章空间问题的基本理论

1、第八章 空间问题的基本理论,要点：,（1）空间问题的基本方程, 平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件等。,（3）空间应力状态与应变状态分析,（2）轴对称与球对称问题的基本方程,8.1 空间问题的基本方程,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,依然从静力学、几何学、物理学三方面考虑，建立基本方程。,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,(1)直角坐标系下的基本方程,平衡微分方程,依然由微小平行六面体的平衡方程推导：,（8-1）,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,即：,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,几何方程,

2、利用与平面问题相似的推导方法，可得几何方程如下：,（8-9）,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,刚体位移,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,体积应变, 单位体积的体积改变，即为体积应变，用e表示。,反映了体积的改变和位移分量之间的关系。,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,略去二次以上的高阶微小量，得：,将几何方程代入，得：,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,物理方程,根据虎克定律，物理方程如下：,（8-17）, 空间问题物理方程的基本形式, 体积应力, 体积应变, 体积弹性模量,第八章 空间问题的基本理论,

3、8.1 空间问题的基本方程,物理方程,将应力分量用应变分量表示：,（8-19）, 空间问题物理方程的第二种形式,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,物理方程,（8-20）, 空间问题物理方程的第三种形式,引入记号（拉密系数）：,则（8-19）可改写为：,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,边界条件,同样，根据边界上的平衡条件，可推出应力边界条件：,（8-5）, 空间问题的应力边界条件,应力边界条件,位移边界条件,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,(2)空间轴对称问题的基本方程,即： 当弹性体的几何形状、约束条件以及所受的载荷、温度等

4、外部因素都对称于某轴（通过这一轴的任意平面都是对称面），则体内的应力、应变和位移也就对称于此轴这种问题称为空间轴对称问题。,对空间轴对称问题，采用柱坐标系分析比较方便。, 采用柱坐标系计算,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,平衡微分方程,以对称轴为z轴，则所有的应力、应变和位移分量都只是r,z的函数，与无关；并且,因此，各截面的应力分量如图（b）所示。另体力分量也只存在r,z方向的体力：kr,z,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,（8-22

5、）,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,几何方程,（8-23）,通过与2.4和4.2节相同的分析,得到几何方程:,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,物理方程,（8-24）, 体积应力, 体积应变,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,（8-28）,同样，（8-24）可写出如下形式：,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,即： 当弹性体的几何形状、约束条件以及所受的载荷、温度等外部因素都对称于某点（通过这一点的任意平面都是对称面），则体内的应力、应变和位移也就对称于该点这种问题称为球对称问题。,对球对称问题，采用球坐标

6、系分析比较方便。,球对称问题是石油、化工、燃料等工程部门中常遇到的问题。,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,平衡微分方程,对于球对称问题，所有的应力、应变和位移分量都只是径向坐标r的函数，与角坐标无关。由于对称性，该六面体各面上皆不存在剪应力，并且不存在切向体力。,用相距dr的两个圆球面和两两互成d角的两对径向平面，从球体中切取一个微小的六面体如图所示。,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,由该六面体在径向的平衡条件，得：,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,几何方程,由于对称性，只可能有径向位移ur ，不可能发生切向位移；只可能有

7、径向正应变及切向正应变。不可能发生沿坐标轴方向的剪应变。参照轴对称问题的几何方程(8-23)，可得出球对称问题的几何方程，即：,第八章 空间问题的基本理论,8.1 空间问题的基本方程,物理方程,可直接根据虎克定律得到：,（8-31）,求解应力分量，可得物理方程的第二种形式：,（8-32）,8.2 物体内任一点的应力状态,第八章 空间问题的基本理论,8.2 物体内任一点的应力状态,若已知物体内任一点p的六个应力分量为： 试求经过p点的任一斜截面上的应力。,思路：在p点附近取一个平面abc，使其平行于这个斜面，并与经过p点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体pabc，如图所示。当四面体pa

8、bc趋于p点时，平面abc上的应力就成为该斜面上的应力。,第八章 空间问题的基本理论,8.2 物体内任一点的应力状态,设斜截面abc的面积为s，则四面体其余各三角形的面积分别为ls,ms,ns ，四面休pabc的体积用v表示。沿三个坐标轴的体力分量分别为x,y,z。斜面abc上的应力sn在坐标轴上的投影用xn,yn,zn表示。由四面体的平衡条件：,同除以s， v/s0，可得：,第八章 空间问题的基本理论,8.2 物体内任一点的应力状态,（8-2）,第八章 空间问题的基本理论,8.2 物体内任一点的应力状态,由于：,结论：已知物体内任一点的六个应力分量，就可以求得任意斜面上的正应力和剪应力，即：

9、六个应力分量完全决定了一点的应力状态。,代入，并考虑剪应力互等，得：,（8-3）,则,第八章 空间问题的基本理论,8.2 物体内任一点的应力状态, 空间问题的应力边界条件,特殊：若abc是物体的边界面，则：,（8-5）,8.3 主应力与应力主向,第八章 空间问题的基本理论,8.3 主应力与应力主向,主应力：若经过任一点p的某一斜面上的剪应力为零，则该斜面上的正应力称为p点的一个主应力。,（1）几个概念,应力主面：主应力所作用的斜面称为p点的一个应力主面。,应力主向：主应力作用面的法线方向称为p点的一个应力主向。,第八章 空间问题的基本理论,（2）主应力,在应力主面上：,代入（8-2）得：,四个

10、方程，四个未知数，即可求得主应力和应力主面及应力主向,8.3 主应力与应力主向,（a）,第八章 空间问题的基本理论,亦可：,将上式改写为：,欲使l,m,n有非零解，则要求：,8.3 主应力与应力主向,第八章 空间问题的基本理论,利用剪应力互等性，将行列式展开：,求解的三次方程，若求出的三个实根1 2 3，即为p点的三个主应力。,8.3 主应力与应力主向,（8-6）,第八章 空间问题的基本理论,（3）应力主向,分别将1 2 3代入（a）（b），可求出对应的,并可证明：在物体内任一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。,8.3 主应力与应力主向,第八章 空间问题的基本理论,（4）

11、应力状态的不变量,因1 2 3是（8-6）的三个根，所以可写成：,8.3 主应力与应力主向,即：,（8-6）,第八章 空间问题的基本理论,与（8-6）对比，有：,8.3 主应力与应力主向,分别称为应力状态的第一不变量、第二不变量和第三不变量。,注意：由第一不变量可看出，物体内任一点，任意三个互相垂直的面上的正应力之和是常量，并且等于该点的三个主应力之和。,8.4 最大与最小的应力,第八章 空间问题的基本理论,假定物体内某一点p的三个主应力及其方向已经求得，下面来 求出p点的最大与最小应力。,8.4 最大与最小的应力,为简便起见，将三个坐标轴取在三个主应力的方向上，称为应力主轴。于是有：,第八章

12、 空间问题的基本理论,（1）最大与最小正应力,8.4 最大与最小的应力,（8-3）,（a）,由（8-3）得：,第八章 空间问题的基本理论,8.4 最大与最小的应力,要求 的极值，需 ：,第八章 空间问题的基本理论,同样，分别将,8.4 最大与最小的应力,代入（a），经过相似推导，得：,即：,第八章 空间问题的基本理论,结论：,8.4 最大与最小的应力,在物体内任意一点p，三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力；最小的一个就是该点的最小正应力。,即该点的所有斜面上的正应力都相等，都等于主应力。,第八章 空间问题的基本理论,（2）最大与最小剪应力,8.4 最大与最小的应力,又由（8-2）：,代

13、入上式：,同样，由：,要求 的极值，要求：,第八章 空间问题的基本理论,同样，分别将,8.4 最大与最小的应力,代入前式，经过相似推导，最终可得出 为极值的六组解答，见表。,n 的极值及其所在平面法线的方向余弦,主平面,n 极值不为零的平面,显然，最大最小剪应力：,结论：,最大最小剪应力在数值上等于最大和最小主应力差的一半，作用在通过中间主应力2 且“平分最大主应力与最小主应力夹角的平面上”。,8.6 物体内任一点的形变状态,第八章 空间问题的基本理论,主要结论：,8.4 最大与最小的应力,（1）一点的应变状态,已知物体内任一点p的六个应变分量：,则经过该点的任一线段的正应变：,第八章 空间问

14、题的基本理论,8.4 最大与最小的应力,亦可求出经过该点的任意两线段pn、pn之间夹角的改变：,1、分别为pn、pn变形后和变形前的夹角；变形前后夹角的改变量即为剪应变。,第八章 空间问题的基本理论,8.4 最大与最小的应力,亦可求出经过该点的任意两线段pn、pn之间夹角的改变：,若令：,则：,即已知一点的六个应变分量，就完全决定了这一点的应变状态。,第八章 空间问题的基本理论,（2）对比分析,8.4 最大与最小的应力,二者相似，只需：,第八章 空间问题的基本理论,（3）结论,8.4 最大与最小的应力,剪应变为0的面称为应变主平面；其法线方向称为应变主向；该方向的应变成为主应变。,在物体内任一点，一定存在三个互相垂直的应变主向，它们所成的三个直角在变形后仍为直角（即剪应变为0）。,仍存在三个主应变 ，分别沿着三个应变主向；,令： ，则：,第八章 空间问题的基本理论,（3）结论,8.4 最大与