7.4 (正态总体均值与方差的区间估计).ppt

1、求区间估计的核心在于求枢轴量，一般分布的枢轴量是比较难确定的，因此我们主要考虑总体为正态分布时参数的区间估计 7.4.1 单个总体的情形 （一） 正态总体均值的区间估计 设X1，X2，Xn为XN(，2)的样本，对给定的置信水平1 ，0 1，研究参数 的区间估计,7.4 正态总体均值与方差的区间估计,1. 2已知时， 的置信区间 由于 是 的无偏估计，且有 容易想到将 作为求 的置信区间的枢轴量 对给定的置信水平1 ， 由右图易知 即,正态总体均值的区间估计,根据定义7.4， 得到 的一个置信水平 为1 的置信区间,正态总体均值的区间估计,2. 2未知时， 的置信区间 2未知时，不能再用 作为求

2、 的置信区间的枢轴量，因为其中含有另一个未知参数2 考虑到S2是2的无偏估计，可以用S2代替2， 由定理6.3知 所以，可以选用 作为枢轴量,正态总体均值的区间估计,正态总体均值的区间估计,由右图，类似上面的过程， 可以得到 的一个置信水平为1 的置信区间,【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中抽取16只，测得其寿命（单位：小时）如下所示： 1510 1450 1480 1460 1520 1480 1490 1460 1480 1510 1530 1470 1500 1520 1510 1470 求该灯泡平均使用寿命90%、95%及99%的置信区间，并指出置信区间长度与置信水平

3、的关系 解：用X表示灯泡的寿命，设XN(，2)， 由于2未知,用 计算 的置信区间 其中 n=16,正态总体均值的区间估计,分别取 = 0.1， = 0.05， = 0.01， 查表得 t0.05(15) = 1.7531，t0.025(15) = 2.1315， t0.005(15) = 2.9467 分别代入 , 计算得到灯泡平均使用寿命 的90%、95%及99%的置信区间分别为(1479.15,1500.85)、(1476.80,1503.20)和(1471.76,1508.24),其长度分别为21.7,26.4和36.48 可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长,正态总体均值的区间估

4、计,（二） 正态总体方差的区间估计 设X1，X2，Xn为来自XN(，2)的样本，对给定的置信水平1 ，0 1，我们来研究参数2的区间估计 1. 已知时，2的置信区间 由于XN(，2)，所以 ， 取枢轴量 由于 2概率密度不是对称的,对给定的置信水平1 ,不容易找到最短的置信区间,习惯上仍取对称形,式的分位点 和 ,如下图， 使 即 根据定义7.4，得到 2的一个 置信水平为1 的置信区间： 的一个置信水平为1 的 置信区间：,正态总体方差的区间估计,2. 未知时，2的置信区间 由于 未知，不能再用 作为枢轴量, 考虑用 代换，由定理6.3知 所以，可以取 作为枢轴量. 类似 已知的情形，容易得

5、到2的一个信水平为1 的置信区间为 即,正态总体方差的区间估计,即 的一个置信水平为1 的置信区间为 正态总体均值和方差的置信区间与后面讲到的 单侧置信限一并放入表7.1中,正态总体方差的区间估计,表7.1 正态总体均值和方差的置信区间与单侧置信限,（一）两个正态总体均值差的区间估计 设X1,X2,Xn1为来自总体XN(1,12)的样本，Y1,Y2,Yn2为来自总体YN(2,22)的样本，且两样本相互独立，其样本均值分别记为 和 ，其样本方差分别记为S12和S22. 我们来研究参数1 2的区间估计 1. 12和22已知时，12的置信区间 由定理6.4知 取枢轴量,7.4.2 两个正态总体的情形

6、,对给定的置信水平1 ，由标准正态分布上 分位点的定义，易知 即 于是，我们得到1 2的一个置信水平为1 的置信区间,两正态总体均值差的区间估计,说明: 实际应用中两个总体方差的信息往往是未知的,在两个样本容量都比较大的情况下(n1,n2 30)，一般采用两个样本方差S12和S22近似代替12和22，于是，1 2的一个置信水平为1 的置信区间可以由 近似得到,两正态总体均值差的区间估计,2. 12和22未知,但知12=22=2时,1 2的置信区间 由定理6.4，当12 = 22 = 2时， 其中 取枢轴量 易知，1 2的一个置信水平为1 的置信区间为,两正态总体均值差的区间估计,（二） 两正态

7、总体方差比的区间估计 设X1,X2,Xn1为来自总体XN(1,12)的样本，Y1,Y2,Yn2为来自总体YN(2,22)的样本，且两样本相互独立，其样本均值分别记为 和 ，其样本方差分别记为S12和S22. 我们来研究参数 的区间估计 仅对1，2未知的情况，求 的置信区间 由定理6.5知 取枢轴量,对给定的置信水平1 ，由F分布上 分位点的定义，易知 即 于是，我们就得到的一个置信水平为1 的置信区间,两正态总体方差比的区间估计,7.4.3 单侧置信区间估计 上述置信区间中置信限都是双侧的. 但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限 例如，购买化学药品时，我们所关心的是化学药品中

8、杂质含量平均值最多是多少，即“上限”； 而购买电子产品时更关心的是它们的平均使用寿命至少是多少，即“下限” 这就引出了单侧置信区间的概念,定义7.6 设X1，X2，Xn为总体X的一个样本，对于总体X的未知参数,如果有两个统计量 ,对给定的(0,1)， (1) 若有 则称区间 是的一个置信水平为1 的单侧置信区间，称 为单侧置信上限 (2) 若有 ，则称区间 是的一个置信水平为1 的单侧置信区间，称 为单侧置信下限,单侧置信区间,单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求法类似，下面仅给出求正态总体均值和方差的单侧置信区间的部分过程，其他各种情况只将结果列入表7-1 设X1, X2 , Xn为XN(，2)的样本，我们来分别研究参数，2的单侧置信区间 (1) 2未知时， 的单侧置信区间 由于枢轴量 对给定的置信水平 1 ，如图7-9有 即,单侧置信区间,单侧置信区间,根据定义，我们就得到了 的一个置信水平为1 的单侧置信区间 的置信水平为1 的单侧置信上限为 考虑 如图易知， 的另一个置信水平为1 的单侧置信区间为 的置信水平为1 的单侧置信下限为,(2) 未知时， 2的单侧置信区间 由于枢轴量 对给定的置信水平1 ，如图有 即 于是，得到了 2的一个置信水平为1