23.直线的方向与向量的法向量.ppt

1、更正： 作业第4题增加第（3）问： （3）求平面ABC的一个法向量.,3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 学习目标: 1.理解直线的方向向量与平面的法向量 2.会用待定系数法求平面的法向量,1、直线的方向向量,我们把直线l上的向量e(e0)以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.,数学建构,思考：直线的方向向量有几个？ 它们之间的关系是怎样的？ 注：直线的方向向量有无数个,都是平行向量.,练习：设a、b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1、l2的位置关系： (1)a(1,2，1)，b(3，6,3)； (2)a(1，2,2)，b(2，3，2),2、平面的法向量,如果表示

2、非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面,那么称向量n垂直于平面,记作n.此时,我们把向量n叫做平面的法向量.,数学建构,注：1.平面的法向量不唯一，且是非零向量，所有法向量都互相平行; 2.与平面垂直的直线叫做平面的法线,平面的法向量就是平面法线的方向向量. 3.向量n是平面的法向量，向量m与平面平行或在平面内，则,数学建构,3.点到平面的距离公式 问:已知平面的一个法向量是n,A,P,则P到平面的距离为 .,P,A,n,H,例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:DB1是平面ACD1的法向量.,分析:要证明一个向量是某个平面的法向量,根据法向量的定义,只要证明该向量所在直线与平面垂

3、直即可.,法1、传统法：先证明线线垂直再到证线面垂直;,法2、选取一组基向量DA,DC, DD1， 先证明线线垂直再到证线面垂直;,法3、用坐标法去证明线线垂直,再证线面垂直.,例2.在空间直角坐标系内,设平面经过点P(x0,y0,z0),平面的法向量为e=(A,B,C), M(x,y,z)是平面内任意一点,求x,y,z满足的关系式.,思考: 已知直线上一点和直线的方向向量, 这条直线就惟一确定.已知平面内一点和平面的法向量这个平面是否惟一确定?,点评：法向量与平面内任一向量垂直； 在空间直角坐标系中，三元一次方程f(x,y,z)=0表示一个 平面; 一点一方向向量惟一确定一直线， 一点一法向

4、量惟一确定一平面。,例3.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8). (1)写出直线BC的一个方向向量; (2)求平面ABC的一个法向量和单位法向量; (3)求D到平面ABC的距离.,解:(2)设n平面ABC,n=(x,y,z), BC=(2,2,5), BA=(-2,2,-1), 由nBC, nBA得nBC=0, nBA=0, 2x+2y+5z=0 -2x+2y-z=0 不妨取z=2, 得x=-3，y=-2. n=(-3,-2,2)就是平面ABC的一个法向量.,待定系数法求平面的法向量：,练习：正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点以BC的中点O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 求平面AA1O1O的一个法向量 求平面A1BD的一个法向量,A,B,C,A1,B1,C1,O,O1,x,y,z,D,小结：确定平面的法向量通常有两种方法： (1) 证线面垂直. (2) 待定系数法,归纳提升 一