振型的正交性

1、四、多自由度系统的振动、多自由度无阻尼自由振荡模式的正交性多自由度的强制振动杠杆系统结构有限元动力分析多自由度时间分析方法的结论和探讨：很多工程问题可以作为单自由度问题计算，但是由于具有一盏茶的分析精度，所以一些问题也必须以多自由度进行分析。 在等效粘性阻尼理论下，第二章讨论了二自由度系统和多自由度系统的运动方程，理论上阻尼矩阵C=Cij，Cij表示j自由度单位速度下I自由度方向的阻尼力。 然而，实际上Cij一般不能确定。 当前对多自由度问题的分析通过以下方式得到解决：首先以无衰减的自由振荡确定诸如频率、模式等的动力特性，然后利用模式的正交性，并且在衰减矩阵也正交的条件下将多自由度分析分解为模

2、式中的单自由度问题的组合。 重新体现了以未知问题为已知问题的研究方法和思想。 必须用时间分析方法和随机振动理论来解决复杂的负荷状况(地震的地面运动等离散负荷) (第6章)。 因此，首先介绍没有衰减的自由振荡。4.1多自由度无衰减自由振荡、多自由度运动方程式是将无衰减自由振荡运动方程式将其解设为Asint，代入运动方程式而获得的(- 2M K) Asint=0，是为了使系统具有非零振动解，而使用- 2M K=0 (1)或(- 2M K) A=0 (2)上述两个公式从式(1)展开得到二n次方程式，对于一般的建筑施工结构，求解得到n个实的不均匀的正根，这就是系统的频度。 但是，一般多从式(2)出发。

3、4.1自由度多，没有衰减自由振荡，式(2)可以改写为2MA=KA (3)，数学上广义的特征值问题。 为了使其成为标准的实际尺对称矩阵的特征量，若设M=(M1/2)TM1/2 (4) M1/2A=X，则A=(M1/2)-1X (5)在代替式(3)的2(M1/2)TX=K(M1/2)-1X (6)方程式的两侧进一步左乘因为-1X (7)记载(m1/2)-1k(m1/2)-1=d(8)k是对称矩阵，所以根据式(8)可知d是对称矩阵. 如果将式(8)代入式(7)，则能够得到2X=DX (9)、4.1自由度无衰减自由振荡，式2X=DX (9)是实际对称矩阵的标准特征量问题的方程式，能够利用在线性代数中介

4、绍的特征量问题解法来求出d矩阵的特征对2，x，并且能够根据式(5)求出广义的如从数学可见，对于建筑施工的一般问题，可以从n阶特征方程(3)中获得n个特征对，即与n个频率I和I相对应的模式Ai。 排列可从小到大结构化的频谱，将1和a-1分别称为第一频率(基频或基频)、第一模式。 其他依次称为第二、第三等频率、模式。 有任意n自由度问题的自由振荡解法、结论，2自由度问题作为其特例，可以用上述解法、思维方法进行分析。4.1自由度没有衰减自由振荡，对于2自由度问题，可以基于具体的问题用刚性法确立运动方程式，也可以用柔软度法确立。 因此，教材中基于刚性法和柔性法进行了具体的讨论，给出了频率、振动型和刚性

5、系数、质量的关系和柔性系数、质量的关系。 我能更好地记住这些个公式，但我觉得不用记住。 重要的是要记住以下基本概念。 1 )在没有衰减的自由振荡下-M=Ku，即惯性力和弹性回复力平衡，它们为同相位。 因此，设振幅为a，式(3)也可以由列惯性力、复原力的振幅方程式得到。 2 )在基于依从性法的化学基的情况下，位移起因于惯性力，依从性法的特征方程式为相同的理由(同相位)，在能够建立直接振幅方程式并使其与A=2fMA (10) 3具有具体的问题后，重要的是通过正确地确定m、k、f，无论有什么样的结构，以统一形式使用式(3)或式(3)。 没有、4.1多自由度衰减自由振荡，4)2自由度问题n=2。展开特

6、征方程得到二次频率方程，基于具体的刚度系数、柔度系数和质量化学基，求解该频率方程得到频率1和2。 5 )将频率1和2代返回到特征方程式后，只能得到与某个频率对应的位移比(次方程式只能得到比)，能够对其进行“归一化”，通常，将最大值设为1时，能够得到模式。 6 )自由振荡的解是将各频率的简单共振解多重日式榻榻米而得到的，振幅、相位由质量的初始位移、初始速度(n自由度为2n个初始条件)决定。 综上所述，有m、k、f，其馀的工作主要是数学运算。 但是，要熟练，必须在SMCAI中看例子进行练习。 仅限学期在此不举例。4.2模式的正交性是，i2MAi=KAi，j2MAj=KAj前式左乘AjT，后式左乘A

7、iT，再减去二式，根据质量、刚性的对称性得到(i2-j2)AjTMAi=0 (11 )，因此AjTMAi=0 (12 ) j2MAj的物理意义被认为是对应于第j模式的惯性力振幅，因此式(1.2 )根据表示对应于第j模式的惯性力不在第I模式位移的式(1.2 )和特征方程式能够立即证明AjTKAi=0 (13 )，这意味着对应于第j模式的弹性恢复力为、4.2模式的正交性、式(1.2 )和式(1.3 )在数学上不同的模式加权质量、刚性而正交。 即，振荡型具有正交性。 根据第I模式振幅方程式，i2AiTMAi=AiTKAi (14 )符号Mi*=AiTMAi (15 )可称为第I模式广义质量，Ki*=

8、AiTKAi (16 )可称为第I模式广义刚性。 i2=Ki*/Mi* (17 )，即第I频率的平方可通过广义上的刚性和质量如单自由度地求出。 式(1.2 )和式(1.3 )是最基本和最常用的正交关系。 关于4.2模式的正交性，由于i2MAi=KAi (a )的两边对云同步乘以左AjTKM-1，所以I2aj tkm-1 mai=I2aj tkm-1 kai=0(b )式(a )的两边对云同步乘以左AjTKM-1KM-1 当以2ai=0(c )的思维方法继续进行左乘法时，与AjTK(M-1K)nAi=0 (18 )同样，在AjTM(K-1M)nAi=0 (19 )式(1.8 )和式(1.9 )中

9、，能够证明n是正整数。 这些个也可以组合为一个公式，但请考虑如何整合。这是一个更常见的正交关系。4.2模式的正交性、式(1.2 )与(1.3 )或者式(1.8 )与(1.9 )的正交性在多自由度分析中具有非常重要的作用，应该深入理解。 利用正交性可以做如下工作：1)在正确确定k，m的基础上，用它来验证振动型计算的精准性。 2 )可在已知模式、k、m的条件下确定对应于每一模式的频率。 3 )可以将任意的位移以正交性分解为振动型的组合。 例如有位移y，能够将y=ciAi，ci设为组合系数。 由于在方程式的两侧有在云同步上进行左乘法的AjTM，根据正交性，有AjTMy=cjMj* (d )，所以能够

10、求出组合系数cj，如果替换y=ciAi，则得到按照模式进行分解的结果。 可以将、4.2模式的正交性、4 )多自由度问题作为单自由度问题来解决。 实际上，假设u(t)=yi(t)Ai，则通过对代入运动方程式的Mi(t)Ai K yi(t)Ai=0 (e )方程式的两侧乘以AjT的正交性，从Mj*j(t) Kj*yi(t)=0 (20 )式(2.0 )得到通过取代多自由度假设的解，可以在u(t)=aisin(it ci)Ai (21) 5)式(2.1 )中的保留常数ai、ci由初始条件来决定。 如何决定请用自各儿考虑。 6 )正交性是压迫振动分析的基础。4.3自由度的压迫振动、4.3.1自由度的压

11、迫振动的模式分解法自由度自由负荷下运动方程式，如前节4 )所示，将u=yi(t)Ai，即位移分解为各模式的组合，将组合系数yi(t )称为广义坐标。 如果Mi(t)Ai Ci(t)Ai Kyi(t)Ai=P(t) (a )衰减矩阵对于该模式不正交，即，AjTCAi0 (b )，则方程(a )成为联立的差分方程并且难以求解。因此，通常引入正交衰减假设，瑞利(Rayleigh )比例衰减被称为C=0M 1K (22 )，认为衰减与系统的质量、刚性成比例，因此0对1由模式正交性由衰减比I，j和频率I，j决定(操作)。 在、4.3自由度的强制振动、正交衰减的假定下，在AiTCAi=Ci* (23 )式

12、(a )的两侧对云同步乘以AiT，则mi* I (t ) ci* I (t ) ki* yi (t )=aitp (t ) (2.4 )中的mi *、ci *、ki *分别为第I摩单自由度方程mi * I (t ) ci * ki * yi(t )=pi * (t ) (2.6 ) Duhamel积分，其中，第I模式的广义载荷是AiTP(t)=Pi*(t) (25 )式(2.4 )是广义坐标yi (t )，可以求出式(2.6 )的解答，u=yi 如果P(t)=Pf(t) (27 )，则将Pi*(t)=AiTPf(t)=Pi*f(t) (c )上述i=AiTP/Mi*=Pi*/Mi* (28 )

13、称为第I模式的模式参考系数。 其中，在零初始条件下，mi * I * I * ki * yi (t )=imi * f (t ) (2.9 )或i(t) 2iii(t) i2yi(t)=if(t) (30 )的广义坐标取代u=yi(t)Ai i(t )被称为第I模型的广义位移。 (3.1 )、(3.2 )、4.3自由度的强制振动、4.3.2简并性载荷下的强制振动反应如果将动载荷(基于旋转机械的)设为P(t)=Psint (33 )，则可根据式(2.8 )求出各模式的模式参加系数I，仅研究稳态振动，求出i=i、d (基于衰减的频率单自由度的结果广义的位移在i(t)=isin(it-i)/i2 (

14、34 )式(3.4 )中，I是第I模式动力系数i=(1-i2)2 4i2i2-1/2 (35 )，I是第I模式频率比(i=/i )，I是第I模式相位角tgi=2i /。 在代入Ai，没有u(t)=iisin(it-i)/i2Ai (37 )的舞蹈大头针的情况下，当然被认为是有舞蹈大头针的情况下的特例，在上述结果中设为i=0。 在、4.3自由度的压迫振动、4.3.3简单的调和负荷的压迫振动反应分析程序动载荷是Psint或Pcost的情况下，多自由度系统的稳定反应分析可以按照以下的程序进行1 )决定系统质量m、刚性k (或柔软度f )沉积基质。 2 )求出没有跳大头针自由振动的模式Ai、频率I。

15、3 )获得衰减比1和2以及频率1和2的瑞利衰减的0和1。 4 )求出I模式参照系数i=AiTP/AiTMAi。 5 )求出I模式衰减比i=1/2(0/i 1i) 6)，求出I模式动力系数i=(1-i2)2 4i2i2-1/2。 7 )求出I模式相位角i=arctg2i/i(1-i2)。 8 )求出I模型广义位移i(t)=isin(it-i)/i2。 9 )将各模式的广义位移代入u=ii(t)Ai，最终u(t)=iisin(it-i)/i2Ai (37 )、4.4杆系结构有限元动力分析、4.4.1基本原理对动力问题、单元位移场表示为d=Nde，当前d=d(x，t )、de=。 假设杆针织面料的密

16、度以微阶惯性力-aAdx为体积力，该单针织面料载荷的总虚功为(3.8 )，导入单针织面料一致质量矩阵me，根据(3.9 )、(4.4 )杆系结构有限元动力分析、式(3.9 )代入形函数并积分，对质量均匀分布的平面弯曲单元针织面料，将单元一致质量矩阵me除以(40 ) 、4.4杆系结构有限元动力分析，在没有阻尼大头针的情况下，能够使用虚位移原理对尤针织面料刚性方程式进行分析，能够从该“尤针织面料刚性方程式”(注意：当前的分析相对于尤针织面料的局部坐标系)经过坐标变换、整体集合(定位矢量“指定席”)得到有限元的运动方程式， 考虑到(4.1 )、(4.2 )和阻尼大头针，利用瑞利大头针，能由结构一致

17、质量矩阵m和结构刚性矩阵k建立结构阻尼大头针矩阵c。4.4杆系构造有限要素动力解析，4.4.2点说明1 )载荷不作用于尤针织面料，作为尤针织面料位移场，仅产生尤针织面料位移的形函数是一般的近似处理。 2 )结构一致质量矩阵和结构刚性矩阵的零以外的要素分布相同。 3)Clough教授指出，关于框架建筑，如果将部件的一半质量集中在活塞杆前端，用集中质量法计算的话，不仅能够在处理后减少未知数的个数(自由度)，而且多数情况下精度良好。4 )如果采用集中质量法，则假定m中的对应旋转自由度的相对折角线元素(惯性矩)为0并且位移查询密码最后集中旋转自由度，那么dunning -大头针运动方程式的子摇滾乐形式以M1 K11u K12=R1 K21u K22=R2消除，并仅获得线位移自由度的方程式。4.4杆系结构有限元动力分析，4.4.2点说明5 )分析时采用集中质量法，如不考虑轴向变形，则集成后的最终质量矩阵为各层质量对角阵的形式。 这是当前杆模型的一般计算方案。 6 )上述杆系模型的计算步骤，质量矩阵简单。 但是，在集体形成刚性沉积基质时，进行4 )中所述的“静力缩聚”。 在R2=0的情况下