数学史 第八讲

1、第五章数学之根,第八讲,3. 数理逻辑,数理逻辑是公理化、集合论与形式逻辑相结合的产物。有这样几种说法：“数学是建立在集合论与数理逻辑两块基石上的”（胡作玄）；“数学理论源于公设集与逻辑这两个因素的相互作用”（H.伊夫斯）；我们说“数学是建立在实数和数理逻辑上的”。尽管各种说法在形式上有所不同，但逻辑或说数理逻辑总是其公共部分，可见数理逻辑在数学中的基础作用了。 纯数学致力于从已有概念和结论得到出新的结论，数理逻辑则不然，它致力于从逻辑学的“演算”出发，根据某些基本事实，推出数学赖以存在的基石和生长点。,现代数理逻辑在如下四个分支上是很活跃的。 （1）证明论 又叫元数学，由弗雷格创立于1893

2、年，后为希尔伯特及其学派发展成一门独立分支。它的主要任务是要证明数学中的“相容性”（也叫无矛盾性）。不过希尔伯特早期想用“有限”步来完成对整个数学的相容性证明是不现实的，当哥德尔不完全性定理表时“有限步”的设想不可能后，才被修改成“无穷步证明数学的相容性”。甘岑的“超穷归纳法”对“无穷步证明”贡献也较大，但至今仍没有完成原来拟定的任务，比如关于数学分析的相容性证明，都还有待继续发努力。,（2）递归论 它属于硬数学，探讨对一个函数能否用有限步进行有效计算问题。简称有效可计算问题。所谓“有效”即是要得到精确结果。 能进行有效可计算的函数叫做递归函数。递归函数是一种简单的离散动力体系模型。递归论研究

3、的主要对象是递归函数。 作为递归函数研究的深入，是探讨非递归函数，从而得出判定问题和非判定问题概念。一般判定问题是，对一个具体公式或定理，证明是否存在一个有限可实现的步骤，使之被形式地推导出来，第一个提出判定问题的是希尔伯特以其“第十个问题”决定戴氏方程的可解性。该问题已于1972年为一苏联青年人马吉亚色维奇解决，其方法十分初等，令同行长辈们惊讶不矣。 判定问题又叫计算复杂性问题，这是计算机科学中一个重要理论分支。对“计算复杂性”之复杂性，曾有人戏称，若谁解决了它，当授予两吨重金质勋章，并全世界数学家放假四日，以示庆贺。,3）模型论 模型论产生于1950年左右，“模型”是一种数学结构，它常常是

4、人为构造的，其目的是为了解释数理论逻辑上某种或某组语句（一组语言的闭公式）。对于一个语句，若能构造出一个模型使得语句在该模型中成为“可满足的”，则该语句为真。 有人把语句比作语法，模型比作语义。亦即这时的模型相当于在语句所给语法范围内，构造出一个例句来，若构造成功，则该语句是“合理”的。 显然，模型论的关键在于构造模型，这是很难的具有高度技巧性的内容，是需要专门研究的课题，目前已创造出若干建模的方法，诸如初等链法、图式法、力迫法、超积法、齐性集合法、紧性定理法等等。,4）公理集合论 在本章第二节已简单介绍，公理集合论是继哥德尔不完全定理之后，为了谨慎探索集合论的性质，分别提出来的若干公理系统，

5、从而也是一定的限制范围内研究集合的理论。这的确是很凑效的，每个公理系统都为数理逻辑或纯数学作出了重要贡献。其中最早完成也是最有名、贡献最大的公理系是策梅罗的选择公理系，好多有名定理的证明都不少不了选择公理系。,4. 数学哲学,哲学是一个认识科学，它把经验和现象上升成理念，以认识事物的本质，因此任何一门科学，包括对社会、人生的理解，只要触及到本质，可以说就进入了哲学。在这方面数学更为典型。 历史一开始，数学与哲学就是孪生兄弟，数学方法为哲学的方法论所倾慕，而数学方法探源则成了哲学的认识论。这就不难理解数学史上任何时期都不乏身兼数、哲两职的数学家了，原来这正是数学自身的需要。 即然是哲学，就少不了

6、争论，在这场数学哲学的争论中主要希望解决逻辑与数学的关系、什么是数学等问题，在争论中形成了三大学派，他们共同的目标是，试图用自己的一套理论去统览数学。,1）直觉主义学派 其代表人物L.布劳威尔（18811966）。知道布劳威尔不动点定理的读者不少，但知道他对数学的哲学观点者，就不一定多了。直觉主义的特点是“植根于数学的构造性”。这是算术计算形式的深化与扩充，属枚举数学、穷竭法等思想体系，也可以叫它做“硬数学”。它既不同于现实世界中的感觉（经验主义），也不同于逻辑主义中的“演算，”它认为逻辑规律并不对数学有任何约束作用，数学是自由的，他们不承认无理数、不承认无穷性的阶和超势等抽象的概念；他们坚持

7、康德的观点，认为算术是在时间基础上的直觉，而数学是建立在算术基础上的，所以数学应该是“直觉”的；他们试图构造一个不依靠排中律的集合论，为此还于1909年直接与希尔伯特通信辩论过。,2）形式主义学派 尽管希尔伯特自己并不承认其形式主义，但举世公认形式主义学派的代表人物是希尔伯特，他的信条是“数学与形式符号有关”。他是在完成几何学原理（1899）的基础上“建立起”这一学派的，他提出了一套“宏伟”计划，试图把整个数学无矛盾地纳入一套完备的形式符号体系，由此产生了所谓“元数学”以解决形式系统的“相容性”问题，这些理论已完全表述在其失败巨著数学基础一、二卷上（19341939）。虽然这套计划被哥德尔不完

8、全性定理（1930）打破了，整个数学形势也为之改观了，但形式主义也仅仅“被泼了一瓢凉水”，其结果不是冷却了。而是变得更清醒了。,3）逻辑主义学派 其代表人物是罗素，他的信条是“数学属于逻辑学”，因此他致力于从逻辑角度推出全部数学，或说企图把数学还原为逻辑学。他在其著作数学原理中说，“数学是所有形如P蕴含q的命题集，其中p、q都含相同数目的一元或多元命题“，他企图在”类“和”关系“的概念下，通过命题演算和谓词演算推出”自然数系“，并由此演生算术乃至整个数学，大有把数学一并囊括到逻辑学的架势。不过在包括他本人也发现了悖论之后，使得他“可以把数学还原成逻辑”的猜想遇到了困难。但这并未使他屈服，仅使他

9、把逻辑主义的方向转为“在消除悖论的基础上”，“仍然致力于把数学还原为逻辑学”这一目标，这也是罗素与怀特海德的名著数学原理（1913）的动因和努力方向。,为什么具有如此殊异和相互矛盾的三大流派：“直觉主义”、“形式主义”和“逻辑主义”能够同时存在一个严紧的数学体系内呢？仔细想来，这不本身就回答了“为什么数学会有不完全性”的问题了吗？要是数学真的“完全”，它就不能容纳三大独立的描述整体数学的完整体系于一家。借此我们还能相信，数学作为一个体系是个没有边界的范畴，是不可能统一于一个无矛盾的统一体内的，从另一方面，由三大派别的殊异性也正好构成了相互制约的格局，使我们站在他们理论外面的人不难相信，“谁也不

10、可能包览数学整体”。,5. 数学发展的源动力,数学发展的动力是什么？ （1）实践的需要 这里“实践”包括生产实践、科技实践乃至社会生活实践。恩格斯说，“科学的产生与发展，一开始就是由生产所决定的。” 的确，历史之初从结绳记事，洽指数数到测量几何、航海三角、鸡兔代数等实践中产生的初等数学已是人所不讳的了。现代数学又怎么样呢？我们说哈米尔顿同周游世界和哥尼斯堡七桥问题产生图论，赌博问题产生概率论，养免问题产生悲波拉契级数，计算机问题产生模糊数学，优化需求产生运筹学，电子理论产生极限环等等。其实诸如大系统理论、规范场理论、非交换调和分析、动力体系、混沌理论等等，无一不是实践需要下产生的数学理论分支。

11、,（2）内在的刺激 数学发展的另一大动力来自内在问题刺激，这是已表述过的观点，现只须说明三个问题。 1）产生内在问题不在数学发生之初，仅在数学或其分支发展到一定程度之后。比如数论三大难题的提出不是在数论产生之初；数学大爆炸不是在19世纪以前；数学危机不发生在人类初起等等，实际上数学或其分支之最初动力往往来自客观（包括生产）刺激，到一定时刻才产生内在刺激以致独立发展。,2）为什么内在的问题能驱使人们去发展数学？我们认为这来自一种人类对数学完美要求刺激；来自人类的一种征服心理的刺激。黎曼在创造黎曼几何时并非认识到它会是相对论的基础；伽罗华创造群论时并不知道它如此普遍的应用领地，可说只是凭着他们天赋

12、兴趣的驱使去创造的。 3）内在刺激的具体形式，这就是已经谈到过的问题：悖论、猜测、诡辩等形式。 总之，本节观点是，不仅“数学之树”中的树根是数学的基础；数学发生的环境也是数学的基础；数学发展的动力（土壤中的营养）也应该是数学的基础。,最后我们指出;数学的每一个分支都是互相联系着的。 数学的每个分支就像庭院里的瓜藤，把它的触须伸得长长的，逢上任何东西都紧紧地与之拉起手来。这就是我们已经看到的现象连续数学可用上离散方法，离散模型可用上连续方法，计算数学离不了演绎数学，演绎数学少不了计算方法；代数中有分析，分析中有代数原来数学中每个分支几乎都与别的所有学科神奇般的联系着，形成了一个严密的“网”，这或许才是今日数学之真面目。,也许我们用图论中“图”的概念来表征数学分支间的关系更为恰当。 什么叫“图”？简单说，空间中任意有限点集V及V中任二点间可能的连接关系之总体员做图。图的几何学叫做图论。图论的历史是由欧拉公式、欧拉定理（哥尼斯堡七桥问题），哈米尔顿周游世界问题、四色问题等名题串成的，特别在应用数学和计算机时代，更显出了它的生命力，不仅在电子线路版上有它的理论，在运筹学、组合数学中出有它的重要地位，如今用它的概念于数学的整体结构描述，也是十分恰当的。,还要说明的一点是，数学之图是动态的，发