离散时间信号与系统的频域研究.ppt

1、第3章 离散时间信号与系统的频域分析,本章主要内容: 3.1 序列的Z变换 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 几种序列的Z变换及其收敛域 3.2逆Z变换 3.3 Z变换的性质和定理 3.4 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 3.5 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 3.5.1 传输函数与系统函数 3.5.2 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 3.5.3 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,3.1 序列的Z变换,信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，卷积积分等。 2.离散时间信号

2、与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。,二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。 2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。,一.Z变换导出,3.2.1 Z变换的定义及收敛域,二.对z变换式的理解,1. 定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域。,2. 收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。,3.1.2 几种序列的Z变换及其收敛域,3.两种判定法a.比值判定法,b.根值判定法,4.讨论几种情况,（2）右边序列的收敛,例,（3）左边序列的收敛,例：

3、,（4）双边序列的收敛,例：,总结,3.2 逆Z变换 一、定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。,逆Z变换方法,重点,难点,开始,结束,幂级数展开法部分分式展开法围线积分法求Z反变换,部分分式展开法,围线积分法求Z反变换,单位样值函数,常见序列Z变换,单位阶跃序列,斜变序列的Z变换,用间接方法求！,同理可得,指数序列,其 他,逆Z变换,一. 幂级数展开法,2. 右边序的逆Z变换,3. 左边序列的逆Z变换,二. 部分分式展开法,2. 求逆Z变换的步骤,例：,解：,3. 极点决定部分分式形式,高阶极点（重根）：,例：,解：,三. 围线积分法求Z反变换,1. 用留

4、数定理求围线积分,例题,解：,3.3 Z变换的性质和定理 如果则有：,*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。,1.线性,例3-8 已知 ,求其z变换。,解：,2. 序列的移位,如果则有：,例3-9 求序列 x(n)=u(n)-u(n-3) 的z变换。,3. Z域尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,4. 序列的线性加权(Z域求导数),如果,，则,证明：,如果,，则,另一种形式：,5. 共轭序列,如果,，则,证明：,6. 翻褶序列,如果,，则,证明：,7. 初值定理,证明：,8. 终值定理,证明：,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故 因子（z-1)将抵消这一极点，

5、因此(z-1)X(z)在 上收敛。所以可取z 1的极限。,9. 有限项累加特性,证明：,10.序列的卷积和(时域卷积定理),证明：,例3-10,解：,11.序列相乘(Z域卷积定理),其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）,例3-11,解：,12.帕塞瓦定理(parseval),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）,如果,则有:,*几点说明：,3.4 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,一、Z变换与拉氏变换的关系 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则

6、,序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变 换就等于理想抽样信号的拉氏变换。,2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：,因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。,=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆；,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内；,0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。,(1) r与的关系,= 0，S平面的实轴，= 0，Z平面正实轴； =0(常数)，S:平行实轴的直线; = 0T, Z:始于原点的射线； S:宽 的水平

7、条带， 整个z平面.,0,jImZ,ReZ,(2) 与的关系（=T）,二、Z变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且 。,所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。,3.5 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,3.5.1 传输函数与系统函数,（1） 对,进行傅里叶变换得到,一般称,为系统的传输函数，它表征系统的,频率特性。,（2） 对,进行Z变换

8、，得到,，一般称,的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶 差分方程，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式,为系统,传输函数与系统函数的关系：,与,之间关系如下式：,说明单位圆 上的系统函数就是系统的传输 函数。,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。 z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)| ，即系统稳定；也就是说，收敛域 包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。,3.5.

9、2 利用系统函数的极点分布分析系统的 因果性和稳定性,例3-12 已知,，分析其因果性和稳定性。,的极点为,，,如图3-15所示。 (1)收敛域,，对应的系统是因果系统，,，对应的系统是非因果且不稳定,，对应的系统是一个非因果系统，,解:,但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。,(2)收敛域,(3)收敛域,系统。,但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其 单位脉冲响应 ，这是一个收敛的双边序列，如图3-15(a)所示。,的三种收敛域中，前两种系统不稳定，不能选用； 最后一种收敛域，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。 因此严格讲，这样的系统是无法具体实现的。但是我们利 用数字系统或者说

10、计算机的存贮性质，可以近似实现第三 种情况。,3.5.3 利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,1.频响的零极点表达式,模：,相角：,2.几点说明 (1) 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量(N-M)。 (2) 单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆 外。 (3) 单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。,零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。,。,。,例3-13 已知,，分析其频率特性。,，可知极点为,，幅度特性,，相位特性,

11、用几何方法也容易确定，当,转到,矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处 的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度 始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。,解 由,，频响如图3-17所示,时，极点,例3-14 设一阶系统的差分方程为,用几何法分析其幅度特性。 解 由系统差分方程得到系统函数为,式中，,，系统极点,，零点,，当,点从,逆时针旋转时，在,点，由于极点,时形成波谷。,处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性,矢量长度最短，形成波峰。在,如图3-18所示。,图3-18 例3-14插图,例3-15 已知,，试定性画出系统的幅频特性。,解,的极点为,，这是一个N阶极点，它不影响,系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定,N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点 分布如图3-19所示。当,从零变化到 时,每遇到,一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大， 形成峰值。幅度谷值点频率为：,一般将具有如图3-19所示的幅度特性的滤波器称为 梳状滤波器。,图3-19 梳状滤波器的极、零点分布及幅