2019全国2卷理科数学试题及详解

1、2019全国2卷理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1.设集合a=xx2-5x+60,b=xx-1b,则( c ) a. lna-b0 b.3a0 d. a|b|7.设，为两个平面，则的 充要条件是( b ) a. 内有无数条直线与平行 b. 内有两条相交直线与平行 c. ，平行于同一条直线 d. ，垂直于同一平面8.若抛物线y2=2pxp0的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p=( d ) a. 2 b. 3 c. 4 d. 89.下列函数中，以2为周期且在区间4,2单调递增的是( a ) a. fx=|cos2x| b. fx=|sin2x| c. fx

2、=cosx d. fx=sin|x|10.已知0,2,2sin2=cos2+1,则sin=( b ) a. 15 b. 55 c. 33 d. 25511.设f为双曲线c：x2a2-y2b2=1a0,b0的右焦点，o为坐标原点，以of为直径 的圆与圆x2+y2=a2交于p，q两点.若pq=of,则c的离心率为( a ) a. 2 b. 3 c. 2 d. 512.设函数fx的定义域为r，满足fx+1=2fx,且当x0,1时，fx=xx-1. 若对任意x-,m,都有fx-89,则m的取值范围是( b ) a. (-,94 b. (-,73 c.(-,52 d. (-,83二、填空题：本题共4小题

3、，每题5分，共20分。13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的 正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 14.已知fx是奇函数，且当x0在曲线c：=4sin上.直线l过点 a4,0且与om垂直，垂足为p. 1当0=3时，求0及l的极坐标方程; 2当m在c上运动且p在线段om上时，求p点轨迹的极坐标方程. 23.【选修4-5：不等式选讲】(10分) 已知fx=x-ax+x-2x-a. 1当a=1时，求不等式fx0的解集; 2若x-,1时，fx0,b=xx-10=x

4、x3,b=xx1, ab=xxb,则( c ) a. lna-b0 b.3a0 d. a|b| 解析：由函数y=lnx,y=3x,y=x3,y=x的基本性质知，当ab时，只有a3-b3 0成立，选c7.设，为两个平面，则的 充要条件是( b ) a. 内有无数条直线与平行 b. 内有两条相交直线与平行 c. ，平行于同一条直线 d. ，垂直于同一平面 解析：由面面平行的判定定理知，b正确，选b8.若抛物线y2=2pxp0的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p=( d ) a. 2 b. 3 c. 4 d. 8 解析：抛物线y2=2pxp0的焦点为fp2,0,所以椭圆焦点在x轴上，由题

5、知， 3p=p+(p2)2,p2=8p,又p0，p=8,选d9.下列函数中，以2为周期且在区间4,2单调递增的是( a ) a. fx=|cos2x| b. fx=|sin2x| c. fx=cosx d. fx=sin|x| 解析：由y=cos2x,y=sin2x,y=cosx,y=sinx的函数图象可知，周期为2且 在区间4,2单调递增的函数是y=cos2x，选a10.已知0,2,2sin2=cos2+1,则sin=( b ) a. 15 b. 55 c. 33 d. 255 解析：2sin2=cos2+1，4sincos=2cos2,sin=12cos, sin2=141-sin2,si

6、n2=15，又0,2，sin=55，选b11.设f为双曲线c：x2a2-y2b2=1a0,b0的右焦点，o为坐标原点，以of为直径 的圆与圆x2+y2=a2交于p，q两点.若pq=of,则c的离心率为( a ) a. 2 b. 3 c. 2 d. 5 解析：由题知，pq=of，2abc=c,c4=4a2b2=4a2c2-a2, c4-4a2c2+4a4=0,c2-2a22=0,c2-2a2=0，c2a2=2,ca=2,选a12.设函数fx的定义域为r，满足fx+1=2fx,且当x0,1时，fx=xx-1. 若对任意x-,m,都有fx-89,则m的取值范围是( b ) a. (-,94 b. (

7、-,73 c.(-,52 d. (-,83 解析：fx+1=2fx，fx=2fx-1,fx=12fx+1 x0,1时，fx=xx-1-14， x1,2时，fx=2fx-1=2x-1x-2-12 x2,3时，fx=2fx-1=22x-2x-3-1 ,xn,n+1nn时, fx=2nx-nx-n-1-2n-2, x-1,0时,fx=12fx+1=12x+1x-18, x-2,-1时，fx=12fx+1=122x+2x+1-116 ，x-n-1,-nnn时，fx=12n+1x+n+1x+n-12n+3, 故当x2,3时，令fx=22x-2x-3=-89，得x=73,x=83，结合图象 x-,73时，

8、都有都有fx-89，m73,选b二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的 正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 解析：平均正点率估计值为0.971040+0.982040+0.991040=0.98，填0.98 14.已知fx是奇函数，且当x0时，fx=-eax,若fln2=8,则a= 解析：已知fx是奇函数，且当x0时，fx=-eax， fln2=-f-ln2=e-aln2=eln12a=12a=8,a=-3,填

9、-315.abc的内角a，b，c的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,b=3,则abc 的面积为 解析：b=6,a=2c,b=3，由余弦定理b2=a2+c2-2accosb,知 36=4c2+c2-22cc12=3c2,c=23,a=43 abc的面积s=12acsinb=12432332=63,填6316.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”图1. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数 学的对称美。图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一

10、正方 体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有 个面，其棱长 为 （本题第一空2分，第二空3分。） 解析：由图知，该半正多面体的面数为26，设所求棱长为a,则由题知a+2a=1,a=2-1， 第一空填26，第二空填2-1三、解答题：共70分。第1721题为必考题。第22、23题为选考题。（一）必考题：共60分17.（12分） 如图，长方体abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形、 点e在棱aa1上，beec1. 1证明：be平面eb1c1; 2若ae=a1e,求二面角b-ec-c1的正弦值. 解析：1在正方体abcd-a1b1c1d1中，b1c1平面abb1a1 be平面a

11、bb1a1，b1c1be，又beec1，b1c1ec1=c1， 且b1c1，ec1平面eb1c1，be平面eb1c1 2底面abcd是正方形，若ae=a1e，由1知be平面eb1c1，则beeb1， abe为等腰直角三角形，取ab=bc=1,则ae=1，cc1=2 以c为坐标原点，以cd，cb，cc1分别为x,y,z轴如图建立空间直角坐标系c-xyz. 则c0,0,0,b0,1,0,e1,1,1,c10,0,2, ce=1,1,1,cb=0,1,0,cc1=0,0,2 设平面ceb的法向量n=x,y,z,则 nce=0ncb=0,x+y+z=0y=0,取x=1,则y=0,z=-1 n=(1,0

12、,-1) 设平面cec1的法向量m=a,b,c,则 mce=0mcc1=0,a+b+c=02c=0,取a=1,则y=-1,z=0 m=(1,-1,0) cos=mnmn=122=12 二面角b-ec-c1的正弦值为3218.（12分） 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多 得2分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的 概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立。在某局双方10:10后， 甲先发球，两人又打了x个球该局比赛结束。 1求px=2; 2求事件“x=4且甲获胜”的概率。 解析：1用甲表

13、示甲发球时甲得分，用乙表示乙发球时乙得分，用甲表示甲发球时乙得分， 用乙表示乙发球时甲得分，甲先发球,x=2，甲:乙为10:12或12:10时比赛结束。 则px=2=p甲乙+p甲乙=0.50.4+1-0.5(1-0.4)=0.5 2甲先发球，x=4且甲获胜，则甲：乙为13:11时比赛结束 则px=4且甲获胜=p甲 乙 甲 乙+p甲 乙 甲 乙 =1-0.50.40.50.4+0.51-0.40.50.4=0.1 事件“x=4且甲获胜”的概率为0.119.（12分） 已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. 1证明：an+bn是等比数

14、列，an-bn是等差数列; 2求an和bn的通项公式. 解析：14an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. +得：4an+1+bn+1=2an+bn，即an+1+bn+1=12an+bn -得：4an+1-bn+1=4an+bn+8，即an+1+bn+1=an+bn+2 又a1=1,b1=0，a1+b1=1，a1-b1=1 an+bn是首项为1，公比为12的等比数列，an-bn是首项为1，公差为2的等差数列. 2由1知，an+bn=12n-1, an-bn=2n-1, an=12an+bn+an-bn=12n+n-12，bn=12an+bn-an-bn=12n-n+1220.

15、(12分) 已知函数fx=lnx-x+1x-1 1讨论fx的单调性，并证明fx有且仅有两个零点; 2设x0是fx的一个零点，证明曲线y=lnx在点ax0,lnx0处的切线也是曲线y=ex的切线。 解析：1fx=lnx-x+1x-1=lnx-2x-1-1(x0且x1) fx=1x+2x-120,fx在0,1上单调递增，在1，+上单调递增。 f1e=-1-1+e1-e=2e-10,f1e2=e2+1e2-1-20,fe=12-e+1e-10 fx在0,1和1，+上各有一个零点.fx有且仅有两个零点. 2设x0是fx的一个零点，则lnx0-2x0-1-1=0 y=lnx,y=1x，y=lnx在点ax

16、0,lnx0处的切线斜率为1x0, y=lnx在点ax0,lnx0处的切线方程为：y-lnx0=1x0x-x0， 即y=1x0x+lnx0-1=1x0x+2x0-1 设该切线与y=ex切于bt,et，又y=ex,et=1x0,且et=1x0t+2x0-1 1x0=1x0t+2x0-1，t=1-2x0x0-1=-2x0-1-1=-lnx0, 曲线y=lnx在点ax0,lnx0处的切线也是曲线y=ex的切线且切点为b(-lnx0,1x0)21（12分） 已知点a-2,0，b2,0,动点mx,y满足直线am与bm的斜率之积为-12. 记m的轨迹为曲线c. 1求c的方程，并说明c是什么曲线; 2过坐标

17、原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pex轴，垂足为e， 连结qe并延长交c与点g. i证明：pqg是直角三角形; ii求pqg面积的最大值. 解析：1设直线am与bm的斜率分别为kam，kbm，点a-2,0，b2,0,动点mx,y kamkbm=yx+2yx-2=y2x2-4=-12，c：x24+y22=1x2,曲线c是去掉左右顶点 a-2,0，b2,0,长轴长为4,焦点为2,0的椭圆. 2(i)设px0,y0,则ex0,0,q-x0,-y0,由题知直线pq斜率存在且不为0，则直线pq的方程 为y=y0x0x,直线 qe的方程为y=y02x0x-x0=y02x0x-y02，且x02+

18、2y02=4,x00,y00， 由x24+y22=1与y=y02x0x-y02，联立得 2x02+y02x2-2x0y02x+x02y02-8x02=0,解得，x=-x0,xg=x03y02+2x022x02+y02,yg=y032x02+y02 直线pg的斜率为y032x02+y02-y0x03y02+2x022x02+y02-x0=-x0y0,pqpg，pqg是直角三角形. ii由i得pq=2x02+y02,pg=2x0y0x02+y022x02+y02,pqg的面积 s=12pqpg=2x0y0(x02+y02)2x02+y02=8x0y0(x02+y02)(x02+2y02)2x02+y02=8x0y0(x02+y02)x02y02+(x02+y02)2 令t=x02+y