直线与平面垂直的判定（高中数学人教版必修二）

1、2.3.1直线与平面垂直的判定,生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？,实例引入,旗杆与底面垂直,桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.,思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.,1.旗杆所在的直线始终与 影子所在的直线垂直.,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所 示的试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD， 将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.,思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？,当折痕ADBC时,折痕AD与桌面所在平面垂直.,BD,CD都在桌面内，BDCD=

2、D，ADCD,ADBD, 直线AD所在的直线与桌面垂直,如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，,记作 ,平面 的垂线,垂足,定义,直线与平面垂直,对定义的认识,“任何”表示所有. 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足. 等价于对任意的直线 ，都有,利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.,问题,直线与平面垂直,除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？,判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直,直线与平面垂直判定定理,简记为：线线垂直 线

3、面垂直,“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少,如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？,底面四边形 对角线相互垂直,探究,随堂练习,线面垂直判定定理的应用,例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，ABAC，DB DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC平面 AED.,图 1,证明：ABAC，DBDC，E 为BC 中点， AEBC，DEBC. 又AE 与DE 交于E，BC平面AED.,由判定定理可知要证明直 线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可,例2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面

4、外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC ,PB =PD . 求证：PO平面ABCD,3.如图，圆O所在一平面为 ，AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC,证明：PA O 所在平面，,BCO 所在平面，PA BC， AB 为O 直径， ACBC， 又 PA ACA， BC平面 PAC，,又 AE平面 PAC，BCAE，,AEPC, PCBCC，AE平面 PBC.,例 3：如图 6，已知 PA O 所在平面，AB 为O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AEPC 于 E， 求证：AE平面 PBC. 图 6

5、,例1 如图，已知 ，求证,根据直线与平面垂直的定义知,因为直线 ，,典型例题,即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面,A,V,A,B,C,练习：,提示：找AC中点D,连接VD,BD,中,外,垂,41.P 为ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的,射影,(1)若 PA PBPC，则 O 是ABC 的_；,(2)若 PA BC，PBAC，则 O 是ABC 的_；,(3)若 P 到ABC 三边的距离相等，且 O 在ABC 内部，则,O 是ABC 的_；,(4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是ABC 的_,外心,垂心,内心,垂心,(

6、3)如图 25，,图 25,P到 ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PDPEPF.,PO平面 ABC，PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影,分别是 OD、OE、OF.,ODOEOF，且 ODAB，OEBC，OFAC. O是 ABC 的内心，故填内心,PO平面 ABC，,OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影,又PA PB，PA PC， PA 平面 PBC. 又BC平面 PBC， PA BC.OABC. 同理可证 OBAC.,O是 ABC 的垂心故填垂心,(4)如图 26，,图 26,直线与平面垂直的性质定理的简单应用,例 1：如图 ，在四面体 PABC 中，若 PA B

7、C， PBAC，,求证：PCAB.,点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在,解(证)题中的作用,1. 已知：正方体中，AC是面对角线， BD是与AC 异面的体对角线.求证：ACBD,正方体ABCD-ABCD DD正方形ABCD,证明：连接BD,AC、BD 为对角线ACBD,DDBD=D AC平面DDB 且BD面DDB ACBD,(1)自一点P向平面引垂线，垂足P/叫做点P在平面内的正射影(射影) (2)点P与垂足P/间的线段叫点P到平面的垂线段 (3)如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F/，则F/叫做图形F在这个平面内的射影,几个概念,一条直线和一个平面相交，但不和这个平

8、面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段,平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条,斜线与斜线段,从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影,斜线在平面内的射影,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角,斜线和平面所成的角,斜线和平面所成的角,1、直线和平面垂直直线和平面所成的角是直角 直线和平面平行或在平面内直线和平面所成的角是0,2、

9、直线与平面所成的角的取值范围是：_ 斜线与平面所成的角的取值范围是：_,O,P,A,斜线,斜足,线面所成角 （锐角PAO）,射影,关键：过斜线上一点作平面的垂线,线面所成的角,1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,45o,典型例题,例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角,O,例2：如图 4，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求 A1B 与平,面 A1B1CD

10、 所成的角,图 4,求直线和平面所成的角时，应注意的问题 是：(1)先判断直线和平面的位置关系(2)当直线和平面斜交时， 常有以下步骤：作作出或找到斜线与射影所成的角； 证论证所作或找到的角为所求的角；算常用解三角 形的方法求角；结论说明斜线和平面所成的角值,图 5,21.如图 5，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， ABBC2， AA11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( ),A,答案：D,解析：如图22 ，连接 A1C1 ，则AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角,图 22,1直线与平面垂直的概念,（1）利用定义；,（2）利用判定定理,3数学思想方法：转化的思想,知识小结,2直线与平面垂直的判定,垂直与平面内任意一条直线,（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面,4直线与平面所成的角.,(1)若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ） A有且只有一个 B可