多项式的最大公因式

1、多项式的最大公因式问题：（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？ 设fx与gx是px中两个多项式，px中多项式dx称为 fx与gx的最大公因式，如果满足下面两个条件：(1). dx是fx与gx的公因式；(2). fx，gx的公因式全是dx的因式。我们约定用 fx，gx表示首项系数为1的那个最大公因式。定理1：对于px中任意两个多项式fx，gx，在px中存在一个最大公因式dx，且dx可以表示成fx，gx的一个组合，即有px中多项式ux，vx使dx=uxfx+vxgx引理：设fx,gx,qx,hxfx,gx0，且fx=gxqx+hx则fx与gx与qx与hx有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，

2、且 fx，gx= gx，hx定理2：fx的任意两个多项式fx与gx一定存在最大公因式。（二）.用来求最大公因式的方法(1).辗转相除法:如果fx,gxpx,gx0，且qix,rixpx,使fx=q1xgx+r1xgx=q2xr1x+r2xr1x=q3xr2x+r3xrs-2x=qsxrs-1x+rsxrs-1x=qs+1xrsx+0其中rix0，则rsx是fx与gx的一个最大公因式。(2).串位加减法(3).矩阵求法：a=fxgx一系列初等行变换dx0dx= fx，gx例1.设 fx=x4+3x3-x2-4x-3gx=3x3+10x2+2x-3求 fx，gx解：法1辗转相除法。-275x+9=

3、q2xgx3x3+10x2+2x-33x3+15x2+18xfxx4+3x3-x2-4x-3x4+103x3+23x2-x13x-9=q1x-5x2-16x-3-5x2-25x-30-13x3-53x2-3x-3-13x3-109x2-29x+13r2x=9x+27r1x=-59x2-259x-103-59x2-53x-581x-1081=q3x-109x-103-109x-103r3x=0求得r2x=9x+27是最大公因式，即 fx，gx=x+3法2串位加减法设c0，则对于任意多项式fx，gx fx，gx= fx，cgx1 3 -1 -4 -33 10 2 -3fxgx1 5 9 95 25

4、 301 5 65 16 39 27361 3r1x=-3fx+xgxr2x=3r1x-gxr3x=15r2x=r1*xr4x=-gx+3xr1*xr5x=-r4x+5r1*xr6x=19r5x=r2*xr7x=r1*x-r2*xr8x=12r7x0于是r7x=2x+6是最大公因式，即 fx，gx=x+3例2令f是有理数域，求出fx的多项式 fx=4x4-2x3-16x2+5x+9，gx=2x3-x2-5x+4使得uxfx+vxgx=dx成立的dx，ux，vx,其中dx= fx，gx。解 我们把i拼在fxgx的右边一起做行初等变换： fx10 gx01=4x4-2x3-16x2+5x+9102

5、x3-x2-5x+401r1+r2-2-6x2-3x+91-2x2x3-x2-5x+401r2+r1x-6x2-3x+91-2x6x3-3x2-15x+12030*-3x+3x-1-2x2+2x+3r1r2 r1-13x-1-13x-123x2-23x-10*。所以dx=x-1，ux=-13x-1，vx=23x2-23x-1。注：如果dx是fx，gx在fx中的公因式，则dx是fx与gx的最大公因式的充分必要条件是存在ux,vxfx，使得dx=uxfx+vxgx例3.求ux,vx使uxfx+vxgx= fx，gx：fx=x4+2x3-x2-4x-2，gx=x4+x3-x2-2x-2（p45,6.

6、(1)）解：fx=gxq1x+r1x，其中，q1x=1r1x=x3-2xgx=r1xq2x+r2x,其中，q2x=x+1r2x=x2-2r1x=r2xq3x+r3x,其中，q3x=xr3x=0所以，r2x=x2-2是fx和gx的最大公因式。因为gx=r1xq2x+r2x, fx=gxq1x+r1x，所以 fx，gx=-q2x fx+1+q1xq2x gx由此可得：ux=-q2x=-x-1vx=1+q1xq2x=x+2注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。例4证明：如果dxfx,dxgx，且dx为fx与gx的一个组合，那么dx是fx与gx的一个最大公因式。（p45,8）证：设dx是fx与gx的任一公因式，即有dxfx和dxgx不妨设 fx=dxq1x,gx=dxq2x由已知条件可得 dx=uxfx+vx