第三十六讲离散型随机变量的分布列期望与方差

1、,第三十六讲 离散型随机变量的分布列、 期望与方差,“离散型随机变量的分步列，均值和方差”是数学中“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性.,引言,要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占1214分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值.,考点梳理,知识结构,x1 , x2 , , xi , ,则表,可能取的值为,设离散型随机变量,

2、x,的概率,取每一个值,),(,),2,1,(,i,i,i,p,x,P,i,x,=,=,=,x,x,称为随机变量的概率分布,简称的分布列.,1.离散型随机变量的分布：,2.随机变量的期望与方差：,（1） 为随机变量的均值或数学期望. （2）DX= ( x1-EX )2 p1+ ( x2-EX )2 p2 + ( xn-EX )2pn为随机变量X的方差.,典型例题选讲,例1 某公司有5万元资金用于投资开发项目.如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将失去全部资金的50%.下边是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功：192次 投资失败：8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是 （

3、万元）.,分析：获得收益的概率分布为：,所以,（万元）,归纳小结：收益的取值及相应概率的确定是解决问题的基础.本题考查求数学期望的方法，按照确定随机变量的取值求出相应的概率再求数学期望的步骤来求.,例2 （2009年，安徽卷）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 .同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 .在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.,方法一：X 的所有可能取

4、值为1，2，3,方法二： 共有6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是 .,在情形和之下，A直接感染了一个人；在情形、之下，A直接感染了两个人；在情形之下，A直接感染了三个人.,如下表：,解：随机变量X的分布列是,X的均值为:,归纳小结：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识,体现数学的应用价值.,例3 某运动员射击一次所得环数X 的分布如下： 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最 高环数作为他的成绩，记为. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求的分布列.,解：(

5、)求该运动员两次都命中7环的概率为,() 的可能取值为7、8、9、10,的分布列为,() 的数学期望为,归纳小结：在求最高环数为8环时，有一种可能是7环、8环，学生容易认为其概率值为0.20.3，没有考虑到两次射击依次为7环、8环和8环、7环，其概率值应为20.20.3. 本题考察学生对于离散型随机变量的概率及期望的求法的掌握，另一方面也考察学生分类讨论的数学思想和运算求解的能力.,例4 (2009年，山东卷)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.

6、25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为,(1)求 的值； (2)求随机变量的数学期望E; (3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.,解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25, P(B)= q2,根据分布列知:=0时，,所以1- q2= 0.2， q2= 0.8.,（2）,所以随机变量的分布列为,随机变量的数学期望E=00.03+20.24+30.01+40.48+50.24=3.63,(3)该同学选择都在B

7、处投篮得分超过3分的概率为,该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.,由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.,归纳小结：本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.,例5 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下： ()求a的值和的数学期望； (）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.,解:()由概率分布的性质知, 0.1+0.3+2a+a=1，a=0.2 则的分布列为,E=00.1+10.3+20.4+30.

8、2=1.7,（）设事件A表示“2个月内共被投诉2次” 事件A1表示“2个月内有一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次” ,事件A2表示“2个月内每个月均被投诉1次”,则由事件的独立性可得:,故该企业在这两个月共被投诉2次的概率为0.17.,归纳小结：本题考查概率分布的性质，互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，对学生的逻辑推理能力和运算能力有要求。,例6（2008年，广东卷）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万

9、元）为 （1）求的分布列； （2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；,（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1，一等品率提高为70如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？,解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；,故的分布列为：,（2）,（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件 产品的平均利润为,依题意，E(x) 4.73，即4.76 - x4.73，解得 x0.03,所以三等品率最多为3.,E(x) = 60.7 + 2(1-0.7- 0.01- x) + x + (-2)0.01 = 4.76 x (0 x0.29),例7 （2008年，湖北卷）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号. （）求的分布列，期望和方差； （）若=a-b, E=1, D=11, 试求a,b的值.,解:（）的分布列为：,（）由 ，得 a22.7511，,即 又因为,D,或,即为所求.,当a=2时，由121.5+b,得b=-2;,当a