等比数列的通项公式及性质

1、2.4 等比数列,课前小练,an+1-an=d,d 叫公差,an= a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d,课本p48的4个例子： 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上、四个数列有什么共同特征？,观察,课本p48的4个例子： 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上、四个数列有什么共同特征？,观察,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。,或,其数学表达式：,(q0),思考：,一、等比数列的概念,1.已知等比数列 an ： (1) an 能不能是零？ (2)公比q能不能是1？ 2.用下列方法

2、表示的数列中能确定 是等比数列的是 . 1，-1，1，(-1)n+1 ； 1，2，4，6； a，a，a，a； 已知a1=2，an=3an+1 ； 2a，2a，2a，2a. 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？,不能,能,非零的 常数列, ,思考：,思考：,下列表示的数列是等比数列吗？若是，请指出其公比 1，-1，1，(-1)n+1 ； a，a，a，a； 已知a1=2，an=3an+1 ；,思考：,下列表示的数列是等比数列吗？若是，请指出其公比 1，-1，1，(-1)n+1 ； a，a，a，a； 已知a1=2，an=3an+1 ；,二.等比数列的通项公式,问题：如何用和表示第项.,归纳猜想

3、法,叠乘法,这个式子相乘得，所以.,思考：,如果在a与b的中间插入一个数g，使a, g, b成等比数列，那么g应该满足什么条件？,反之，若,即a,g,b成等比数列.,a, g, b成等比数列,则,分析：,由a, g, b成等比数列得：,(ab0),如果在a与b中间插入一个数g，使a, g，b成等比数列，那么称这个数g为a与 b的等比中项.,3.等比中项：,即：,注意：若a，b异号则无等比中项, 若a，b同号则有两个等比中项.,如果在a与b中间插入一个数g，使a, g，b成等比数列，那么称这个数g为a与 b的等比中项.,3.等比中项：,即：,如数2和32的等比中项为_,例3: 一个等比数列的第3

4、项与第4项分别是12与18，求 它的第1项与第2项.,例1.,例1.,例：求证以下数列是等比数列，并指出公比和首项,思考:你能判断它们的单调性吗?,例：求证以下数列是等比数列，并指出公比和首项,思考:你能判断它们的单调性吗?,解：由等比数列的通项公式的特点可得：q=10,a1=-30,解：n=1 a1=21=2 n=2 a2=22=4 可得：q=2,思考:你能判断它们的增减性吗?,公比q对数列的影响,课堂小结,从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,公差(d ),d 可正、可负、可零,从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,公比(q ),q可正、可负、不可零,小结,an+1-a

5、n=d,d 叫公差,an= a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d,你还知道等差数列有什么性质吗?,你能类比写出等比数列的性质吗?,q叫公比,an=a1qn-1,an=amqn-m,等差数列,等比数列,性质1,性质2,性质3,若n+m=p+q 则am+an=ap+aq,若n+m=p+q 则aman=apaq,am,am+k,am+2k, 成等差 数列,am,am+k,am+2k, 成等比数列,对比记忆,若2m=p+q 则2am=ap+aq,若2m=p+q 则am2=apaq,精编练习练习 性质 等比数列前n项积最值,2、在等比数列an中，an0, a2a4+2a3a5+a4a6=36,

6、那么a3+a5=_,1. 等比数列an中，a4=4,则a2a6等于 （ ） a.4 b.8 c.16 d.32,例、有三个数成等比数列，若它们的积 等于64，和等于14，求此三个数？,注意：等比数列中若三个数成等比数列，可以设为,练习：已知三个数成等比数列，它们的积为27， 它们的立方和为81，求这三个数。,例、有四个数，若其中前三个数成等比数列， 它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们 的和等于12，求此四个数？,注意：等比数列中若四个数成等比数列，不能设为,因为这种设法表示公比大于零！,练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二

7、个数与第三个数的和是12，求这四个数。,可以设这四个数为a,b,c,d,15,9,3,1或0,4,8,16,三.等比中项,观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：,（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4 （3）-12， ，-3 （4）1， ，1,3,2,6,1,在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项。,探究一,在等比数列an中，a2.a6=a3.a5是否成立？ a32=a1.a5是否成立?,证明,要积极思考哦,若等比数列an的首项为a1 ，公比q，且 且 m , n , s , t n+,若m+n=s+t ,则aman=asat,性质：,探究二,已知等比数列an首项a1, 公比q，取出数列中的所有奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？ 取出a1 , a4 , a7 , a11 呢？,性质：在等比数列中，把序号成等差数列的项按 原序列出，构成新的数列，仍是等比数列,1、在等比数列中a7=6，a10=9， 那么a4=_.,等差数列,等比数列,性