2024年高考数学试卷（理科）（全国甲卷）【含解析】

2024年高考数学（理科）（全国甲卷）【含解析】

（使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川）

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设z=5+i,贝！Ji（z+z）=（）

A10iB.2iC.10D.-2

2.集合/={1,2,3,4,5,9},5=卜|46/},则6（/cB）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

4x-3y-3>0

3.若实数xj满足约束条件<x—2y—2VO,则z=x-5y的最小值为（）

2x+6j-9<0

7

A.5B.1C.-2D.----

22

4.等差数列{4}的前〃项和为，若&=Eo，%=1，则%=（）

7

A.-2B.-C.1D.2

3

5.已知双曲线的两个焦点分别为（0,4）,（0,-4）,点（-6,4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.V2

6.设函数/（》）=1±^二，则曲线歹=/（x）在（0,1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

1+X

7.函数/（同=——+（/—/''收1«在区间［—2.8,2.8］的大致图像为（）

A.273+1B.2V3-1

9.已知向量a=(x+=(x,2),则()

A.“x=-3”是"a±b”的必要条件B.“x=-3”是“a/!b”的必要条件

C.“x=0”是“alb”的充分条件D."x=—1+百”是“aHb”的充分条件

10.设a、尸是两个平面，加、〃是两条直线，且。口,=加.下列四个命题:

①若根〃〃，则〃//tz或〃///②若加J.〃，则〃_La,〃_Ly9

③若〃//*且〃//，，则加〃〃④若〃与a和6所成的角相等，则加，〃

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

兀19

11.在中内角4瓦C所对边分别为a,"C,若8=—,白=—ac,则siih4+sinC=（）

34

A.-B.V2C.—D.—

222

12.已知b是。的等差中项，直线以+"+c=0与圆一+「+4y-1=0交于48两点，则以目的最小

值为（)

A.2B.3C.4D.275

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.+的展开式中，各项系数的最大值是.

14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为外和々，母线长分别为2（马-八）和3（弓-八），则两个圆台

的体积之比£■=______.

/乙

115

15.已知。〉1,~-7=-7，则。二•

log8«log/2

16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记加

为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则加与〃差的绝对值不超过;的

概率是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题〜第21题为必

考题，每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进

行检验，数据如下:

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

（1）填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0=0.5,设万为升级改造后抽取的"件产品的优级品率.如果

A〉p+1.65、八,则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为

生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（晌M12.247）

n(ad-bcf

附:K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P[K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.记S）,为数列｛%｝的前〃项和，且4s,=3a“+4.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设”=（-1）"一74,求数列也｝的前〃项和为北.

19.如图，在以4,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形48CD与四边形/。斯均为等腰梯形,

BC/!AD,EFI!AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=屈,FB=25M为AD的中点.

（1）证明：8W7/平面CD£；

（2）求二面角尸-E的正弦值.

2

20.设椭圆C：二+=l（a〉b〉0）的右焦点为点在。上，且轴.

ab2

(1)求C的方程;

(2)过点P(4,0)的直线与。交于48两点，N为线段尸尸的中点，直线N3交直线"F于点。，证明：

/。_1_了轴.

21已知函数/(x)=(l-ax)ln(l+x)-x.

(1)当。=-2时，求/(x)的极值；

(2)当xNO时，/(x"0恒成立，求。的取值范围.

(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂

黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐

标方程为夕=/以%。+1.

(1)写出。的直角坐标方程；

(2)设直线/：\」为参数)，若C与/相交于48两点，若|/同=2,求。的值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.实数a/满足。+方》3.

(1)证明：2a2+2"＞。+方；

(2)证明：k—B—2a126.

参考答案（含解析）

一、选择题

题号123456789101112

答案ADDBCABBCACC

1.【答案】A

【解析】由z=5+i=＞亍=5-i,z+亍=10,则i（亍+z）=10i,故选：A

2.【答案】D

【解析】因为/={l,2,3,4,5,9},B={x|4e/）,所以5={1,4,9,16,25,81},

则/。8={1,4,9},d（/nB）={2,3,5},故选：D

3.【答案】D

4x-3y-3>0

【解析】实数兀V满足x—2y—2V0,作出可行域如图：

2x+6j^-9<0

114x-3y-3二0

2x+6y-9=^I^^A/C-----打小

-X

由z=x-5y可得y=gx-"z,即z的几何意义为y="x----z的截距的---

55

则该直线截距取最大值时，Z有最小值，此时直线y=-—z过点A,

5

[4x-3y-3=0x=-（3、37

联立。上AQC'解得2,即2尸，则第二二——5x1=——.

[2x+6v-9=0y=]12）22

J

故选：D.

4.【答案】B

【解析】由百0-S5=&+。7+4+。9+。10=54=0,则私=0，

则等差数列｛%｝的公差1

故选：B.

5.【答案】C

【解析】设々(0,—4)、片(0,4)、尸(—6,4),则闺刃=2c=8,卢媪=«?+(4+4丫=10,

附|=游+(4—叶=6,则2。=|助|—归闾=10—6=4,则e=||=q=2.

故选：C.

6.【答案】A

(ex+2cosxWl+x2)-(ex+2sinx、2x

［解析］rw=--------------一~M------------------，

(1+X)

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

则/'⑼---------八/、1-------------L—=3,即该切线方程为y—l=3x即y=3x+1,

(1+0)-

令x=0,则y=l,令＞=0,则x=」，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S==xlx—；='.

3236

故选：A.

7.【答案】B

［解析］/(-%)=-x2+(e-'r-ex)sin(-x)=-x2+^ex-e-x)sinx=f(x),

又函数定义域为［-2.8,2.8］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

又/=-1+(e—|sinl>—1+1e—|sin—=—1------>-------->0,故可排除D.

ej622e42e

故选：B.

8.【答案】B

【解析】因为一丝9—=6所以---=6ntana=l-也，

cosa-sina1-tana3

所以tan[a+C]=tana+l=2G_l,故选：B.

<4J1-tana

9【答案】C

【解析】对A,当时，则鼠B=0,所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或—3,即必要性不成立，故

A错误；

对C,当x=0时，a=(1,0),S=(0,2),故a.g=0，所以即充分性成立，故C正确；

对B,当£/历时，则2(X+1)=Y,解得X=1±JL即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-1+G时，不满足2(x+l)=12,所以不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

10.【答案】A

【解析】对①，当〃ua,因为加〃“，mu/3,则〃//，，

当"u/3,因为加〃〃，mua,则〃//a,

当〃既不在a也不在£内，因为加〃“，mua,muB,则〃//a且”/〃？，故①正确;

对②，若则〃与勿乃不一定垂直，故②错误；

对③，过直线〃分别作两平面与4万分别相交于直线s和直线t,

因为〃//tz,过直线〃的平面与平面a的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知〃//s,

同理可得〃/〃，贝打/〃，因为s<Z平面/，/<=平面6，贝"//平面6，

因为su平面a,a^/3=m,则§//加，又因为〃//s,则加〃“，故③正确;

对④，若=阳，〃与&和6所成的角相等，如果〃//%〃//夕，则加〃“，故④错误;

综上只有①③正确，

故选：A.

11.【答案】C

7T)94o1

【解析】因为3==一。。，则由正弦定理得sin/sinC=—sin3二一.

3493

9

由余弦定理可得:“=a+c-ac4-

131313

即+/_—ac,根据正弦定理得sin?A+sin2C=一sinAsinC=一，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sin/sinC二一，

4

因为4。为三角形内角，则sin/+sinC〉O,则sinZ+sinC二V7

~T

故选：C.

12.【答案】C

【解析】因为。，8c成等差数列，所以2b=a+c,c=2b—a,代入直线方程◎+勿+c=0得

x—1=0x=l

ax+by+2b-a=0,即a(x-l)+b(y+2)=0,令＜得＜

卜+2=0[

故直线恒过(1,-2),设P(l,-2),圆化为标准方程得：C:X2+(V+2)2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当时，卜固最小,

\PC\=l,\AC-\=\r\=y[5,此时\AB\=2MH=2^1AC2-PC2=2^1=4.

故选：C

二、填空题

13.【答案】5

【解析】由题展开式通项公式为（I，0<r<105.reZ,

设展开式中第r+1项系数最大，贝!

29

r>——

4

=><即——<r<—又reZ,故r=8,

3344

r<—

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C：。

故答案为：5.

14.【答案】逅

4

【解析】由题可得两个圆台的高分别为幅==6（八-»，

h乙=忘亿_&）］2_化一力=2&向一&），

所以盘=；但+岳+病N甲=组=百亿-々）一V6

'乙；居+岳+后%乙人乙2&g力4

故答案为：JL.

4

15.【答案】64

1131.5/、2

［解析］由题■;-------------=~-------log«=--,整理得（log2。）-51og<7-6=0,

2v272

log8aloga4log2a22

=4>log2a=-1log2a=6,又a>l,

所以log2a=6=log226,故a=26=64

故答案为：64.

7

16.【答案】一

15

【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为人，第三个球的号码为c,则二+；+0_券色,

故佐-(a+6)|W3,故-3<2c-(a+b)<3,故a+6-3<2c〈a+6+3,

若c=L则c+，V5,则(a,6)为:(2,3),(3,2),故有2种,

若c=2,则l(a+6<7,则(a,6)为:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种，

当c=3,^3<a+b<9,则(a,劝为:(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),故有16种，

当。=4,则5<a+b<ll,同理有16种，

当c=5,则7(a+b«13,同理有10种，

当。=6,则9«Q+6«15,同理有2种，

共加与〃的差的绝对值不超过g时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,故所求概率为言=

一,7

故答案为：一.

15

三、解答题

(-)必考题

17.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析;

【解析】(1)根据题意可得列联表:

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

可得片=150(26x30-24x70)；至-46875,

50x100x96x5416

因为3.841<4.6875<6.635，

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的

优级品率存在差异.

96

(2)由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为——=0.64,

150

用频率估计概率可得万=0.64,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率夕=0.5,

则P+=°.5+1"『七；5)"°-5+1-65*熊°°-568'

可知万>0+1.65

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

18.【答案】(1)«„=4-(-3)"-*；(2)*=(2〃_1>3"+1

【解析】(1)当〃=1时，4S]=4%=3。]+4,解得q=4.

当〃之2时，4s+4,所以45〃一4S,i=4an=3%-3an_x即a“=~^>an_x,

而q=4w0,故4w0,故—3,.♦.数列｛4｝是以4为首项，—3为公比的等比数歹U，

an-l

所以%=4・(—3广1

(2)〃=(―I)”】•〃•4•(―3)i=4〃•3'1,

所以7；=济+为+&+•••+〃=40°+83+121+…+4〃6

故37；=431+81+12・33+…+4〃3,

所以—27；=4+431+41+…+4・3"T—4〃3"

—4"3"=4+2・3・(3"T—1)—4〃-3"

1-3

=（2—4〃>3"—2,

.U=（2〃—

19.【答案】（1）证明见解析；（2）

13

【解析】（1）因为所=2,20=4,/为的中点，

所以BC//MD,BC=MD,四边形为平行四边形，

所以BMHCD,又因为平面CD£,CDu平面CD£,所以5M7/平面CD£；

（2）如图所示，作80,40交40于。，连接。尸，

因为四边形/BCD为等腰梯形，BCHAD,AD=4,AB^BC=2,所以CD=2,

结合（1）5CDM为平行四边形，可得W=CD=2,又AM=2,

所以△/氏攸为等边三角形，。为中点，所以08=6，

又因为四边形/DEF为等腰梯形，M为2。中点，所以EF=MD,EF〃MD,

四边形EFW为平行四边形，FM=ED=AF,

所以AAFM为等腰三角形，△ZBAf与AAFM底边上中点。重合，OF±AM,OF=\JAF2-AO2=3，

因为OBrOF?=BF?，所以05_L0尸，所以。8,。。,。少互相垂直，

以08方向为无轴，0D方向为V轴，。尸方向为z轴，建立。-个z空间直角坐标系,

尸（0,0,3）,5（V3,0,0）,M（0,1,0）,E（0,2,3）,BM=（-V3,l,0）,5F=（-^,0,3）,

5E=（-V3,2,3）,设平面AR攸的法向量为/=（和％,zj,

平面EWB的法向量为万=（%2，%，22），

m-BM=0—J3M+%=0

则《一即《「令X[=M,得％=3,4=1即成=（百,3,1）,

m-BF=0—J3X]+3Z]—0

n-BM=Q—^3-^2+/2=0

则〈_即＜令％=G,得％=3/2=-1,

n-BE=Q-+2y2+3z2=0

__m-n1111贝！Isinm,n=生B

即亢=（0,3,—1）,cosm.n--j-vf

\m\-\n\V13-V131313

故二面角/-E的正弦值为逑.

22

20.【答案】(1)土+土=1；(2)证明见解析

43

【解析】(1)设尸(c,o),由题设有c=i且工=3,故丝」=3,故°=2,故b=M,

a2a2

22

故椭圆方程为±+上=1.

43

⑵直线48的斜率必定存在，设48:y=A(x—4),/(再,%)，以孙％),

由］3x+4y—12可得（3+4k2"_32左2%+64左2-12=0,

y=k（x-4）17

故A=1024左4—4（3+4左2）（64左2—12）〉0,故—：（左＜g,

▽32k264k2-12

又…

3V2JI＞＜（2X2-5）+3J2左（西—4）x（2%—5）+3左（％-4）

所以…。=%+==------------------=-------------------------------

2X2-52X2-5

n64F-1232k20128左2—24—160左2+24+32后2

=、2中2-5(芭+%)+8=卜x3+412-5*3+4.2+=«3+4F

2X2-52X2-52X2-5

故y=yQ>即轴.

21.【答案】（1）极小值为0,无极大值；（2）a＜--.

2

【解析】（1）当。=一2时，f（x）=（1+2x）ln（l+x）-x,

故/，(x)=21n(l+x)+^^-l=21n(l+x)--—+1,

1+x1+x

因为y=21n(l+x),y=——L-+1在(-1,+8)上为增函数，

1+x

故/'(X)在(—1,+8)上为增函数，而尸(0)=0,

故当一l<x<0时，/'(x)<0,当x>0时，f\x)>0,

故/(x)在x=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

(2)=-tzln(l+x)+-——-1=-«In(1+x)-+>0，

1+X1+X

(a+l)x

设s(x)=-aln(l+x)-——L,x〉0

1+x

.z\-a(a+1)a(x+l)+a+l办+0+1

Lx+1(1+x)2(1+x)2(l+x)~

当。<一:时，s<x)>0,故s(x)在(0,+oo)上为增函数，故s(x)>s(o)=o,即/<x)>0,

所以/(x)在［0,+00)上为增函数，故/(x)N/(0)=0.

当一!<。<0时，当0<x<一>"'I时,s'(x)<0,

2a

故S(X)在10,~~~\上为减函数，故在1°，j上s(X)<S(0),

即在］o,—号口上/'（x）＜0即/（X）为减函数，故在］o,—干J上〃x）＜/（0）=0,不合题意，舍.

当aNO,此时s'（x）＜0在（0,+。）上恒成立；

同理可得在（0,+"）上/（x）＜/（0）=0恒成立，不合题意，舍;

综上，aW—.