09 第九次课(笛卡尔积与集合的基数).ppt

1、7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,1,第二章 - 集合上的运算,集合论公理 (10条) 无穷公理 存在一个由所有自然数组成的集合。 式中的x是自然数集合N。这个公理构造了第一个无限集合。,U,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,2,第二章 - 集合上的运算,对任意的集合A，定义集合 ，把 称为A的后继，A称为 的前驱。 例：考虑空集的一系列后继,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,3,第二章 - 集合上的运算,由于对任何集合a

2、都有 。在空集的一系列后继中，任何两个集合都不相等。且满足下面两个条件：1前边的集合都是后边集合的元素；2前边的集合都是后边集合的子集。3利用这些性质，可以考虑以构造性的方法用集合来给出自然数的定义。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,4,第二章 - 集合上的运算,集合 是一个自然数。若集合n是一个自然数，则集合 也是一个自然数。按照这个定义，可以列出各自然数,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,5,第二章 - 集合上的运算,对任一个自然数 ，则 。0没有元素，1有一个元素，2有两

3、个元素，所以，这样定义自然数是合理的。很容易定义自然数间的大小关系。从上述定义可以看到任意一个自然数可看作是一个集合的名。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,6,第二章 - 集合上的运算,无穷公理是 无穷公理给出了自然数集合 的存在性。式中的N就是自然数集合。依据外延公理，自然数集合是唯一的。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,7,第二章 - 集合上的运算,对任意的自然数m和n，,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,8,第二

4、章 - 集合,集合的基数就是集合中元素的个数。 如果 存在 ，使 集合 A 与 集合 的元素个数相同，就说集合A的基数是n，记作 或 或 空集 的基数是0 。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,9,第二章 - 集合,如果存在 ，使n是集合A的基数，就说A是有限集合。如果不存在这样的n，就说A是无限集合。 例如 是有限集合 a ,b ,c ,d ，而N，Z，Q，R是无限集合。 对有限集合A和B，,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,10,第二章 - 集合,对有限集合 和 ，（1） （

5、2） （3） （4）,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,11,第二章 - 集合,对有限集合 和 ，有 通常称为包含排斥原理,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,12,第二章 - 集合,例1 在10名青年中有5名是工人，有7名是学生，其中3名既是工人又是学生, 问有几名既不是工人又不是学生?解 设工人的集合是A，学生的集合是B。则有 ， 又有 , 于是 所以有一名既不是工人又不是学生。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,13,

6、第二章 - 集合,对3个有限集合 ， 和 , 可以 推广这个定理, 得到,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,14,第二章 - 集合,例2 30位同学中，15人参加体育组，8人参加音乐组，6人参加美术组，其中3人同时参加三个组。问至少有多少人没有参加任何小组？解 设 、 、 分别表示体育组、音乐组、美术组成员的集合。则有,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,15,第二章 - 集合,因此, 因为 所以 至多有23人参加了小组, 所以至少有7人不参加任何小组。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,16,这个定理可以推广到 n 个集合 的情况。若 且 是有限集合， 则