数学的抽象_史宁中

1、2008 年第 5 期东北师大学报( 哲学社会科学版)no. 52008 总第 235 期journal of northeast normal university( philosophy and social sciences)sum no. 235 编者按 数学的抽象这篇论文,将会成为作者一本关于数学思想的著作的一章, 其讨论的问题是我们这个时代特别需要解决的, 论文自始至终贯穿着强烈的问题意识和 文化的针对性。 因此我们对这篇文字进行了整理,并发表于本刊, 以飨读者。严格地说, 数学是一种西学,作者大概是出于对思想史的尊重,出于寻找数学抽象的思想源流和资源 的意图,仿佛怀旧式地对西方思

2、想史进行了一次游历, 作者在与柏拉图、亚理士多德、培 根、笛卡尔、洛克、休谟、康德、叔本华等经典哲学家的对话间, 以一双敏锐的现代数学家的 眼睛,时而以十分虔敬的心情充分欣赏思想家们的伟大观点,时而尖刻而亲切地指出思想 家们的历史局限,时而又以操纵式姿态调侃着某些思想家的某些观点, 这种对话和攀谈如 同发生在老熟人 、老同行、老朋友之间一样, 这让我们好像在观看名为“数学的抽象”的一 场精彩表演,在一种轻松的,然而又严肃的心情中了解到作者所谈论的话题的论证过程和 观点。读来令人颇多回味和想象。 收稿日期 2008-07-10 作者简介 史宁中( 1950- ) ,男, 江苏宜兴人, 东北师范大

3、学校长, 教授, 博士生导师。 数 学 的 抽 象 史 宁 中 ( 东北师范大学 ,吉林 长春 130024) 摘要 数学在本质上研究的是抽象的东西, 数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象, 只有 通过抽象才能得到抽象的东西。 在柏拉图的理念论之下, 数学的概念就不应当是经验意义上的存在, 而应当 是一种永恒的存在; 亚里士多德不赞成柏拉图的想法, 认为一般概念是人们在日常生活的经验中, 通过对于许 多具体存在事物的共同性质抽象而得到的, 所以一般概念不可能是真正的存在。 亚里士多德的观点仍然需要 补充, 数学研究所涉及的基本概念并不一定都是直接从现实的具体的存在中抽象出来的, 也可以

4、借助符号与 类比得到更高层次的抽象, 这里既包括感性具体也包括理性具体。 我们通过与培根、笛卡尔、洛克、休谟、康 德、叔本华等思想家的攀谈, 获得正反两方面的思想资源, 在现代科学知识的语境下洞察到数学抽象的真实过 程和本质。 在讨论知识获得的问题时, 我们不能忘记一个根本, 即人的本性 , 也就是人之所以被称为人的本 质, 抽象了的东西是人抽象出来的, 这就不能不依赖人的本性。 事实上, 就某一个抽象了的东西而言, 还应当 依赖于某一个具体的人或者某一群具体的人, 但在这里我们只讨论一般意义上的抽象。 人获得知识所凭借 的, 是先天的同时又依赖于经验的“ 直观能力”, 数学抽象能力与这种直观

5、能力是同构的, 也是一种依赖于经验 的先天抽象能力, 现在的数学体系就是人们通过日常生活和生产实践的具体事物, 运用数学抽象的能力逐渐 构建起来的。 讨论这种抽象至少可以给数学教育提供两个重要启迪: 一个是受教育者应当在适当的时机给予 适当的教育; 另一个是在传授知识的同时也应当注重培养受教育者的直观能力。 关键词 数学抽象; 感性经验; 逻辑经验; 直观能力; 本能 中图分类号 b51/56; 01 文献标识码 a 文章编号 1001-6201( 2008) 05-0169-13 数学在本质上研究的是抽象的东西 ,因此可以推断 ,数学的发展所依赖的最重要的基本思想 169 doi : 10.

6、 16164/ j. cnki . 22 - 1062/ c. 2008. 05. 021 也就是抽象 ,因为只有通过抽象才能得到抽象的 东西。为了说明这一点 , 我们已经从数量与数 量关系、 图形与图形关系这两个方面进行了阐述, 分析了人们是如何从日常生活和生产实践中抽象 出数学所要研究的概念和法则的, 以及人们是如 何通过更高层次的抽象来合理地解释了这些概念 和法则。 如果我们认定,“抽象的东西”的就是数学研 究所必须定义的最基本的概念 。那么就出现了一 个很难给出确切答案的问题: 这些数学概念是如 何存在的? 有一种说法认为, 这些概念是客观存 在的, 人们通过某种方式发现或者认识了这些

7、概 念,因此, 这些概念是永恒的存在, 是实体; 还有一 种说法认为,这些概念原本是没有的,是人为地创 造出来的 ,因此 ,这些概念只是名而已, 不是实体。 前者便是所谓的“唯实论” ,后者便是所谓的“唯名 论” , 这两派的争论是从柏拉图和亚里士多德开始 的,一直延续至今。 这种关于存在形式的讨论 , 完全是一个哲学 上的问题, 似乎与我们所要讨论的问题没有直接 关联。但仔细思考就会发现, 为了把“抽象”这个 数学最基本的思想讨论清楚, 就必须涉及“数学概 念存在形式”这样的问题 ,因为数学概念的存在形 式决定了数学概念的获得形式, 从而决定了数学 抽象的本质。事实上 ,我们将会看到,关于数

8、学抽 象本质的讨论, 对于指导数学教育是非常重要的。 我们先讨论上述两派争论的开始 ,分析两派 争论的核心 ,然后基于现代科学的发展提出一些 现代数学教育中必须关注的问题。 一 、 关于数学抽象争论的开始 圆是数学的概念 ,圆是客观存在的 ,无论是我 们能够感觉到的乒乓球、足球 ,还是我们能够分析 出的行星运动的轨迹都显示了这种存在性 ; 三角 形也是数学概念 ,三角形也是客观存在的,甚至我 们还可能知道三角形稳定性这样的性质 ,这就是 柏拉图的想法。但是 ,这些概念是如何存在的呢? 柏拉图认为人的经验是不可靠的 ,经验可能 随着时间的改变而改变 ,也可能随着场合的改变 而改变 , 因此, 所

9、有基于经验的概念都是不可靠 的,也是不可能的。这样 ,数学的概念就不应当是 经验意义上的存在, 而应当是一种永恒的存在。 你踢足球时感悟到了圆, 但你不踢足球的时候,圆 这个概念依然是存在的 ; 你在黑板上画了一个三 角形 ,三角形是存在的, 你把这个三角形擦掉 ,三 角形这个概念依然是存在的。为了更好地解释, 柏拉图把这种永恒的存在称为理念, 并且认为只 有理念才是真正的存在。亚里士多德是这样阐述 柏拉图的这种想法的 : 柏拉图认为定义是关于非感性事物的, 而不 是那些感性事物的 。正是由于感性事物不断变 化,所以不能有一个共同定义。他一方面把非感 性的东西称为理念 , 另一方面把感性的东西

10、作为 说明置于理念之外 。柏拉图认为, 只有理念才得 以存在 1 。 亚里士多德的这个总结是精辟且准确的, 柏 拉图在他的著作中许多地方都提到这些观点 。柏 拉图在理想国中借用苏格拉底之口说 : 你也知道, 虽然他们利用各种可见的图形讨 论它们,但是, 处于他们思考中的实际并不是这些 图形 ,而是图形所模仿的那些东西。他们讨论的 并不是他们所画的某个特殊的正方形或某个特殊 的对角线等等 ,而是正方形本身,对角线本身 。他 们所画的图形乃是实物, 有其水中的影子或影像。 但是 ,现在他们又把这些东西当作影像 ,而他们实 际要求看到的则是只有用思想才能“看到”的那些 实在 。 依据柏拉图的说法,

11、我们的肉眼看到的都是 一些影子, 只有思想才可能看到实在 , 那么 ,思想 能够看到的那些实在是如何存在的呢? 思想又是 如何“看到”那些实在的呢? 显然, 这些问题进一 步引发出来的问题是 , 人们能够得到概念的原因 究竟是什么? 于是, 柏拉图给出了他的有名的洞 穴的比喻, 在理想国 2的第七章柏拉图用很大 的篇幅借助这个比喻述说了他的思想, 罗素在西 方哲学史中把这个比喻进行了归纳 3 : 那个比喻是说 ,缺乏哲学的人可以比作被关 在洞穴里的囚犯,他们只能朝一个方向看,因为他 们被锁着; 他们背后燃烧着火 ,他们面对的是墙。 170 这里的名实之争与中国古代哲学的名实之争有很大区别。关于

12、中国的名实之争, 可以参见中国哲学简史第八章, 冯友兰著, 北京大学出版社, 1996 年第二版; 也可以参见先秦名学史 ,胡适著, 安徽出版社, 1999 年。 关于抽象可以有各种解释, 这里所说的抽象主要是指思维运动中的抽象。我们认为这种抽象不仅可以在感性具体和理性具体 之间搭建思维的桥梁, 也可以在此理性具体与彼理性具体之间搭建思维的桥梁, 前者必须依赖于感性具体, 而后者则不必依赖 于感性具体。针对数学的发展所依赖的抽象而言, 我们称前者为第一次抽象, 称后者为第二次抽象。虽然这两次抽象有着程度 上的差异, 但总体上可以认为, 第一次抽象有利于发现新的知识, 而第二次抽象有利于合理地解

13、释那些发现了的知识。 在他们与墙之间什么也没有; 他们看到的只有他 们自己和背后东西的影子 ,这是由火光投射到墙 上的。他们不可避免地把这些影子看成是实在, 而对于造成这些影子的东西却毫无观念 。后来有 一个人逃出了洞穴来到光天化日之下 , 他第一次 看到了实在的事物 , 才察觉到他以前一直是被影 像所欺骗的。 问题已经很清楚了, 按照柏拉图的说法, 我们 通常看到的那些事物只不过是火光照射在墙上的 影子 ,而真正存在着的事物是在我们的背后, 这种 真正存在的事物只有用思想, 或者借用笛卡尔的 话,只有用心灵之光才可能看见。 柏拉图这个关于理念的学说显然是荒唐的, 对于现代人来说, 这个荒唐几

14、乎不用思索就可以 判断。但是 ,柏拉图的学说之中具有相当合理的 成分, 正如罗素评价的那样 : “一切开端总归是粗 糙的, 但是我们不应该因此便忽略它们的创造 性。 ”在这里 ,是柏拉图第一个强调了概念的一般 性,这标志着哲学的重大进步 ,也为科学的数学的 形成奠定了思想基础。比如, 几何学必须讨论研 究一般意义上的直角三角形的性质, 而不是研究 某一个人在某一个时候所画的某个具体的直角三 角形 ,因为科学必须保证, 从同样的条件出发 ,只 要操作是规范的, 无论是谁 、 无论在什么时候 、 无 论在什么地方, 得到的结论都是一样的 。 过去以及现在的许多哲学家 、数学家都认可 柏拉图的说法,

15、 认为有一个理念的世界存在, 数学 的概念和命题都是这个客观存在的理念世界的内 容。因为理念是知识的原本, 如果真如柏拉图所 说这些理念是客观存在 ,那么人们之所以能够获 得知识 ,是因为用思想“看到”了这个存在 , 或者 说,用心灵“感悟”了这个存在 , 也就是说 ,是人们 “发现”了知识 。这样 , 真正知识的获得只能通过 对理念的哲学思考 , 而不是通过对现实的事物的 观察分析 。 但是 ,理念或者说一般的概念 ,真如柏拉图所 说是客观存在吗 ? 亚里士多德不同意柏拉图的观 点,他在形而上学一书中反驳道 4: 现在, 我们来谈那些设定理念为原因的人。 首先 ,他们引进理念是为了把握周边事

16、物的原因, 其数目与事物相等。这就好像一个人想要清点东 西,却认为数目少了数不清楚 ,于是把东西的数目 扩大了以后再来数。 显然 ,能够被肉眼看到的事物是存在的, 尽管 柏拉图认为不是真正的存在, 但却是具体的存在, 是不容置疑的存在; 除此之外 , 按照柏拉图的观 点,还有一个供我们通过思想去“发现”的真正的 存在。于是 ,亚里士多德首先提出了一个总体的 质疑, 这个世界是不是被柏拉图搞得过分繁杂了 呢? 接着, 亚里士多德针对那些关于理念存在的 证明进行了反驳: 他们用来证明理念存在的那些方法, 没有一 个是令人信服的,因为按照他们的方法推论 ,一些 原本不应当存在理念的东西 , 也将有理

17、念存在。 因为 ,根据“科学存在”这个事实,凡是某一门科学 所研究的对象都应当有理念存在 ; 根据“多上有 一”这个原则, 任何已经被否定的东西也都应当存 在理念; 根据“消灭了的东西思想依存”这个道理, 任何已经消灭了的东西也都应当存在理念。更有 甚者 ,他们有些人认为关系也是有理念的,如果把 有关系的东西分为一类 , 于是这个类作为“第三 者”也应当有理念,如此这般, 永无止境 。总之,那 些关于理念存在的道理 ,毁掉了那些存在着的事 物,而后者才是我们真正关心的。 日常生活的经验告诉我们: 未知的东西远远 要比已知的东西多, 但按照柏拉图的想法,未知的 东西也应当具有理念 ; 错误的东西

18、远远要比正确 的东西多 ,但错误的东西也应当具有理念; 消失的 东西远远要比现存的东西要多, 但消失的东西也 应当具有理念 。如此这般 ,那些用肉眼看不见的 存在必然要淹没、要抹杀肉眼看得见的具体的存 在,而后者才是我们思维的出发点 ,事情是不是被 柏拉图搞的本末倒置了呢? 进一步, 亚里士多德 又从逻辑的角度反驳 : 如果理念和事物具有相同的形式 ,那就有某 种东西为它们共有。但是, 为什么理念的“二”可 以在可以毁灭的 、事物的“二”里面 ,同时 ,事物的 “二”又可以在永恒的 、理念的“二”里面 ? 互相包 含就意味着同一 ,可是为什么又不相同呢 ? 如果 理念和事物没有相同的形式, 那

19、就仅仅是名称相 同而已 ,比如,虽然卡利亚( 当时希腊人常用的名 字) 与木偶没有什么共同之处 ,但却把两者都称为 人。 亚里士多德的反驳是有道理的 : 如果理念的 存在与具体的存在具有相同的形式, 那么它们之 间的相互包含则意味着它们是相同的 ; 如果理念 的存在与具体的存在不具有相同的形式 ,于是理 念与事物风马牛不相及 ,那么怎么可能通过理念 来认识事物呢 ? 最后 , 亚里士多德就问题的本质 进行了反驳: 171 更为重要的是, 他们所说的理念,对于可以感 觉的事物 ,无论是永恒的还是生灭的,究竟有什么 用处呢 ? 既不能引起事物的运动, 也不能引起事 物的变化 : 既不能帮助人们认识

20、其他事物( 因为此 事物的理念非他事物的理念) ,也无助于事物本身 的存在性( 因为理念并不存在于事物之中) 。 总而言之, 虽然他们的目的是要把握周边事 物的原因 ,却忘掉了这个目的 ,因为他们没有谈事 物变化的开始 ,也没有谈事物变化的原因 。他们 幻觉的认为自己是在寻找感性事物的实体 ,却断 言了另一种实体的存在 ,他们只说出了一些不着 边际的话 。 与柏拉图完全相反, 亚里士多德认为一般性 的概念不是客观存在的。任何一个名词 ,只要它 适用于一类物体的所有成员, 那么这个名词就是 一般概念 。比如圆、三角形,比如人 、 树木,都是一 般概念,这些概念本身不是一种看得见 、 摸得着的 客

21、观存在 ,这些概念存在于我们的主观意识之中, 它们是名( nomina) 而不是实( res) 。比如 ,世界上 存在的每一个人都是具体的人, 而一般概念的人 只存在于我们的意识之中 。 如果理念, 即基本概念不是客观存在, 那么, 人们怎么可能感觉到那些不存在的东西呢? 进一 步,人们怎么能获得建立在基本概念之上的知识 呢? 为了说明这些 ,亚里士多德在他的工具论 一书中提出了共相论 5: 我的意思是说,“共相”一词是指可以用于述 说许多个主体的这样一种性质的东西 , 个体一词 是指不能这样述说的东西 。 任何一个“共相”的名词要成为一个实体的名 词,似乎都是一件不可能的事。因为 每个事 物

22、的实体都是它所特有的东西, 并不属于任何别 的事物; 但是共相则是共同的 ,因为正是那种能属 于一个以上事物的东西才被称作共相。 所谓的共相就是一类事物所拥有的共同属 性,利用这个共同属性可以把这类事物与他类事 物区别,这样就可以给这类事物一个专门的名称, 当人们提到这个名称的时候就可以知道这个名称 的所指,可以看到,亚里士多德已经说出了概念抽 象的要旨。在形而上学一书中, 亚里士多德以 数学为例进行了进一步阐述 4 185, 246-247: 个体不能同时在多处存在 , 共相却可以同时 存在于众多,所以也不难明白 ,离开了特殊普遍将 不存在。 例如 ,数学家用抽象的方法对事物进行研究, 去掉

23、感性的东西诸如轻重 、 软硬、冷热, 剩下的只 有数量和关系, 而各种规定都是针对数量和关系 的规定 。有时研究位置之间的关系, 有时研究可 通约性,还研究各种比例等等。 数学家把共 同原理用于个别情况, 等量减等量余量相 等,这便是一条对所有量都适用的共同原理 。对 于数学研究而言,线 、 角, 或者其他的量( 的定义) , 不是作为存在而是作为关系。 上述最后一句话是相当精辟的 ,数学从现实 生活中抽象出的那些定义不是为了说明某种东西 的存在 ,而是为了研究这些定义了的东西之间的 关系 ,这几乎说出了数学概念的本质。可是 ,从几 何学公理体系的发展可以看到, 这句话没有引起 欧几里德的足够

24、重视, 他依然给出了点 、 线 、 面的 物理定义; 直到两千年以后的伟大的数学家希尔 伯特( hilbert ,1862-1943) 才开始遵循这个原则, 认为在公理体系中关系才是重要的, 无论是称它 们为点、 线 、 面 ,还是称它们为桌子 、 椅子 、 啤酒杯, 最终推理得到的结论都是一样的。也是从希尔伯 特开始,这个原则引导着现代数学的发展。 按照亚里士多德的想法, 一般概念是人们在 日常生活的经验中 , 通过对于许多具体存在事物 的共同性质抽象而得到的 ,所以一般概念不可能 是真正的存在 ,一般概念表现于特殊事物,也就是 说,每个具体存在都是一般概念的特例 ,一般存在 于特殊之中 ,

25、因此可以认为被一般概念所包含了 的特殊事物是存在的存在 。 虽然不应该对两千多年前的亚里士多德提出 苛刻的要求,但是,我们也必须指出亚里士多德思 考的不足 。数学研究所涉及的基本概念并不都是 直接从现实世界的具体存在中抽象出来的 ,比如 四元数, 再比如高维球面, 因此 , 数学的基本概念 并不一定都必须直接依附于现实世界中的具体的 存在。这样问题就更复杂了 ,那些人为创造出来 的、 没有现实背景的概念又是如何存在的呢 ? 或许部分是因为这个原因, 人们总是要回归 到柏拉图的思考 。由此可以推断, 除了规范了概 念的一般性之外, 柏拉图的思考一定还有许多合 理的成分 ,否则不会得到后世许多大哲

26、学家 、 大数 学家的推崇。让我们进一步在讨论中来分析这个 问题 。 二 、 关于数学抽象争论的发展 我们讨论数学概念是如何形成的, 在本质上, 这也是在讨论科学思考的原本是什么。我们讨论 172 的重点应当是在文艺复兴之后, 因为真正意义上 的科学产生在文艺复兴之后。第一位必须提到的 思想家 是英国 哲学家 培根( f . bacon, 1561 - 1624) , 为了科学的发展 ,培根毫不留情地批判了 古希腊的那些思考原则 6 340-345: 我们必须承认 ,我们主要是从希腊人那里得 来的那些智慧, 只不过是知识的童年,因为它充满 辩论却无实效, 这就像儿童具有的特征: 能够谈 论,但

27、不能生育 。 培根是在说 ,古希腊人创造的方法可以用来 讨论知识 ,却不能很好地利用知识 ; 可以用来讨论 真理 ,却不能用来发现真理。为了强调知识的应 用, 为了强调真理的发现, 培根说出了他的名言: “知识就是力量” ,他决定“给人类的心灵和理智介 绍一种更完善的方法 , 从而使人们能够达到自然 界那些更遥远、更隐蔽的地方” 。 培根在他的名著新工具中 ,对亚里士多德 的批评更加毫不留情 , 他不仅批评亚里士多德的 三段论不能用于发现新的科学, 还就名实之争这 个话题批评了亚里士多德 7 37: 理性派哲学家最明显的例子就是亚里士多 德,他用他的逻辑毁坏了自然科学, 因为他 总是急于从词语

28、上而不是从事物本身的内涵上, 对问题给予回答并作出明确地判断。 除了 逻辑语言之外, 你几乎听不到什么别的东西; 在 形而上学中, 他又在一种更加庄严的名义下 ,似 乎是以一个唯实论者而非唯名论者的身份 ,重新 把这种逻辑语言处理了一次。 培根对于古希腊学者以及亚里士多德的批评 是一针见血的, 确实如培根所说,古希腊的学者们 过分地热中于思辨 , 就像亚里士多德在形而上 学的开篇反复述说的那样,只有探求原本才可称 之为智慧 ,而探求原本只是因为好奇,并不需要关 心实际应用。正因为如此 ,与思维的研究相比 ,古 希腊的学者对于科学的贡献实在有限。虽然在表 面上是因为罗马人的入侵摧毁了古希腊的文明

29、, 事实上,古希腊的这种不重视经验 、 不重视实践的 风气也不可能使其文明进一步发展下去。但是, 在共相的问题上, 培根在本质上还是继承了亚里 士多 德 的 观 点 , 因 为 他 在 新 工 具 中 又 说 7 116 -117 : 就自然界的存在而言, 除了个体按照一定规 律进行纯粹的个体活动之外, 别无他物 。但对于 哲学而言, 正是由于这种规律以及对于这种规律 的发现 、 研究和解释才形成了知识以及行动的基 础,我用形式这个名词来表述这种规律及其包含。 熟悉形式的人能够在极不相同的实体中把 握性质的统一性, 因此能够发现从来没有发现过 的东西,也能够发现从来没有想过的东西。所以, 正是

30、由于形式, 我们可以在思想上得到真理并且 在行动上得到自由。 回忆亚里士多德关于共相的论述 ,抽象的对 象主要是针对事物的性质和关系 。现在 ,培根又 加上了对于事物变化规律的抽象, 并把这些统称 为形式 。就他所说的形式的存在而言, 他的观点 是与亚里士多德一脉相承的, 不同的是 ,培根对于 实践的重视远远超过对于思维的重视。因为事物 的变化规律涉及到复合物的性质, 这要比共相复 杂得多,也正因为如此,培根强调那些可以导致发 现规律的操作, 因为“这种操作是从自然界的一 般、 进而是永恒出发的, 这可以使人广开视野 ,这 是单纯依赖人的思想所难以到达的 7 121。这样, 培根就对文艺复兴之

31、前的过分依赖思维的认识论 提出了挑战。 与培根的观点对立的、但与培根一样对近代 科学的思想基础做出重大贡献的, 是法国哲学家 笛卡尔( r. descartes,1596 - 1650) 。对于认知 ,笛 卡尔强调的是直观和演绎 ,他认为自己颠覆了亚 里士多德的学说 。为了分析笛卡尔的认识论 ,最 直接的方法就是分析他的名言: “我思故我在 ( i think, therefore i am) ” 。他在谈谈方法 中述说: 我发现“我思故我在”这个真理那样的确切, 怀疑派们的那些绞尽脑汁的质疑都无法动摇 。因 此我决定毫不犹豫地采用 ,并把它作为我探寻哲 学的第一原理 。 我认识到我是一个实体

32、, 这个实体的所有本 质和天性就是思想, 其存在不需要任何空间 ,也不 依赖任何有形的东西; 因此, 这个“我”就是我之 所以成为我的那个心灵, 是与身体完全不同 的, 甚至比身体更容易认识 ; 即使身体不存在了, 心灵依旧 。 173 在上述译著中把“身体”译为“形体” , 这是非常不妥的, 完全改变了笛卡尔的原意, 参见 笛卡尔的错误 的 192 页, 达马西奥 ( damasio) 著, 毛彩风译, 教育科学出版社, 2007 年。 参见笛卡尔: 谈谈方法 , 北京: 商务印书馆 2000 年版, 第 27-28 页。在这本译著中把“我思故我在”译为“我想, 所以我是”, 并 且谈了这样

33、翻译的理由, 在本书中仍然采用了传统的翻译, 因为在下文中, 对于“我”“我思”“我在”均给出了解释。 可以看到, 笛卡尔强调的是“我”的思想, 或者 说,具有思想的“我” 。正是基于这一点 ,他激励人 们对现存的东西表示怀疑 ,对未知的东西进行探 索; 也是基于这一点 ,他推崇直观、鼓励创新。与 培根一样, 笛卡尔的思想无疑对促进科学的发展 起到了积极的作用 。笛卡尔也是实践者 ,他把创 立的解析几何作为那本书的附录 。从笛卡尔开 始,西方哲学开始了“一场关于认识论的伟大游 戏” 8 160。 或许是因为笛卡尔的论证方法和写作形式都 与亚里士多德类似 , 许多学者认为笛卡尔是步亚 里士多德之

34、后尘 9 , 事实上 , 笛卡尔比柏拉图走 得更远 。柏拉图认为理念是真正的存在 ,现实只 是理念的幻影; 而笛卡尔则干脆把思考的我作为 真正的存在 , 并且, 这个思考的我不仅与现实脱 离,甚至与思考的我所依附的身体脱离 。现实之 所以可以被认识 ,是因为我的存在 ,是因为我的思 想的存在, 他有时也称这种思想的载体为心灵。 在形而上学的沉思 中, 他突出了心灵的作 用 10 : 我已经明了 ,在真正的意义上 ,即便是形体的 认识也不是因为感官或想象力 ,而是因为理智 ; 它 之所以被认识不是因为被看见或者被摸到 ,而是 因为被思想所理解或了解。这样就很明显 ,对于 我来说,没有一件东西比我

35、的心灵更容易认识了。 笛卡尔接着解释说, 比如, 关于三角形的概 念,就是通过感官进入心灵的 ; 关于三角形的那些 特性也都是真的 ,因为我明白地认知它们,即便没 有给出证明但我心灵的本性告知它们是真的 。可 是,为什么心灵本性告知的就是真的呢 ? 笛卡尔 的解释并不清楚 ,他意识到自己的有限和不完满, 于是就依附于神 ,他回答到: “其所以可靠,是因为 有上帝的存在 。上帝是一个完满的实体 ,而我们 的一切都是从上帝那里来得。 ”于是与后来的牛顿 一样 ,笛卡尔把原因 、 把第一动力奉献给了上帝。 英国哲学家洛克( j. locke, 1632 -1704) 不 同意笛卡尔的观点, 洛克与培

36、根一样,重视的是经 验,甚至建立了一个关于经验的学说,因此洛克被 认为是认识论中经验主义的奠基人 。关于人的认 知,洛克提出了有名的白板论, 在人类理智论 一书中他说: 假定心灵像我们说的那样是一个白板, 上 面没有任何记号,没有任何观念。那么 ,心灵是怎 样得到那些观念的呢? 我用一句话来答复 这个问题 : 是从经验得来 。我们的全部知识建立 在经验之上, 知识归根到底都是源于经验的 。对 于外界可感知事物的观察 ,或者 ,对于诸如感知、 反省等心灵内部活动的观察, 构成了我们可以进 行理性思维的全部素材。这两者是知识的源泉, 从中涌现出我们已经获得的或必将获得的全部观 念。 人的心灵是人认

37、知世界的场所 ,这个场所原 本是一个白板, 是经验通过感官在这个白板上留 下了印记 ,这就是人对世界的认知。洛克的这个 比喻是形象的, 这个比喻在本质上是亚里士多德 的,只是更加强调了操作性、 因而更加强调了机械 性,这或许受到了英国哲学家霍布斯( t . hob- bles,1588- 1679) 的影响 ,霍布斯认为一切知识来 自感觉,而感觉是一种影像,是外部世界的物体及 其运动对于感觉器官作用的结果 6 395-397。 为了说明心灵是如何通过经验得到知识的, 洛克把知识分为两类: 直觉知识和理性知识 。直 觉知识是一类最清晰最可靠的知识, 直觉知识的 获得不需要心灵的辛苦劳作, 只需要

38、心灵对那些 物体一看便知 ,比如 ,对于圆与三角形的区别 ; 而 理性知识的获得就需要心灵的辛苦劳作了 ,需要 在心灵中插入其他的一些诸如推理、计算之类的 观念( 具体用什么观念将根据需要而确定) , 比如, 三角形三个内角之和与 180度之间的关系就不是 凭借直觉就可以知道的。但是, 对于那些插入的 观念的判断也依赖直觉, 所以 ,我们全部知识的可 靠性完全依赖于直觉 11。 洛克强调了经验的重要性, 强调了一种操作 的和机械的直觉, 这比亚里士多德论述的更加具 体, 但也因为如此 , 洛克更加忽视了人的主动性, 忽视了人的活力 。千古智者 、 德国哲学家莱布尼 茨( g . leibniz

39、,1646- 1716) 也参与到这个争论之 中。莱布尼茨是一个充满活力的人, 他与牛顿同 时发明了微积分。莱布尼茨完全不同意洛克的观 点,为了表示对立, 他将他的著作命名为人类理 174 在上述两本译著中, 均译“白板”为“白纸” 。这个词在洛克的原著中为 white paper, 翻译为白纸是没有问题的。但这个词出自拉 丁文tabula rasa, 我们下面将要讨论的莱布尼茨在使用这个词时就标明了拉丁原文。白板理论肇端于亚里士多德论灵魂 , 希 腊原文为 , 意思为并未真正开始写字的书板。为了与下文衔接, 这里翻译为白板。 书名翻译参见西方哲学原著选读 , 也有中译本为人类理解论 , 关文

40、运译, 商务印书馆, 1983 年。那段话参见人类理解论 的第68 页和西方哲学原著选读第 450 页的翻译。 智新论 , 在书的序言中就直截了当地谈到 12 : 对于一些相当重要的问题我们之间是有差别 的。问题就是: 心灵本身是否像亚里士多德和人 类理智论的作者所说的那样, 完完全全是空白 的,好像一块还没有写上任何字迹的白板( tabula rasa) ,心灵上留下的任何痕迹都是通过感觉和经 验得来的 ; 或者 ,心灵原来就包含了一些概念和学 说的原则, 外界的对象只是靠机缘把这些原则唤 醒了 。我和柏拉图一样持后一种主张。 接着上面的那一段文字, 莱布尼茨在书中进 一步阐述了他的思想 ,

41、 虽然感觉对于认识是重要 的,但不足以提供全部认识,因为感觉提供的都是 具体的例子,不管感觉把例子提供的多么丰富 ,也 不足以保证真理的普遍性和必然性 。莱布尼茨说 的是对的, 但是他说的这些话恰恰是亚里士多德 曾经说过的,正是因为这样的原因 ,亚里士多德才 规范了论证的程序, 提出了演绎推理的方法。 不同的是 , 莱布尼茨深刻地思考了“学说原 则”是如何存在的问题。以数学为例,在纯数学中 有许多命题的证明是不需要举例的, 进而不需要 依靠感觉的证明 ,因此,它们的证明只能依靠天赋 的内在原则。莱布尼茨又把人与动物进行比较, 动物对事物的判断单纯依赖经验, 靠例子来指导 自己的作为,而人之所以

42、能够捕获动物 ,就是利用 了动物的这一点, 单纯的经验主义者提倡的对事 物的判断方法就是一种与动物类似的方法。事实 上,最明智的人就不会单纯地依赖经验 ,而要去探 求事件发生的原因, 发现可靠的规律,这样就可以 判断可能会出现的例外, 这样 ,他就进一步说明了 人对事件的判断依靠天赋的内部原则 12 5 -6 。于 是,莱布尼茨理直气壮地反问 : 既然如此, 还能否认我们的心灵中有许多天 赋的东西吗? 还能否认在我们的心中有存 在、 统一、实体、绵延、变化 、知觉 、快乐 , 以及其他 许许多多我们理智观念的对象吗? 为什么一切都必须是对外部世界的观察得 来,而不能从我们自身中发掘呢? 难道我

43、们的心 灵就这样空虚, 除了外来的影像就一无所有? 莱布尼茨批评白板理论是虚构的, 是荒谬的, 就像没有运动的物体、没有灵魂的思想那样 。莱 布尼茨支持了笛卡尔 ,也发展了笛卡尔 ,他认为心 灵与身体之间是沟通的, 为了说明这一点,他创造 了“前定和谐”学说。最后 ,与那个时代的所有哲 学家一样, 莱布尼茨用他的学说论证了上帝的存 在,特别是 ,他还证明了“这个世界是所有可能世 界中最好的世界” 12 第4卷,第10. 7节。 可以看到 , 因 为科学发展的限制 , 有许多问题莱布尼茨不可能 阐述得非常清晰, 但他的思想中有许多合理的内 核,特别是 ,他强调了人的主观能动性。或许是因 为这个原

44、因 ,马克思在 1870 年 5 月 10 日致恩格 斯的信中说: “你知道 ,我是佩服莱布尼茨的 。 ” 13 为了坚持经验主义 , 英国哲学家休谟( d. hume,1711-1776) 创立了因果关系的学说, 他利 用这个学说论证了一切结果的发现不能通过理性 而只能通过经验 ,罗素在西方哲学史中评价他 “把洛克和贝克莱的经验主义哲学发展到了逻辑 终点” 。休谟最重要的著作是人性论 ,可是这本 书并没有得到人们的关注 ,但这本书的简缩本人 类理智研究却有较大的影响 , 据说, 正是这个简 缩本把康德从“独断的睡梦”中唤醒 3 196 -197。 突出经验的作用的最简洁办法就是贬低精神 的作

45、用,于是在人类理智研究的开篇不久 ,休谟 就限制了精神作用的可能性 14: 我们的思想似乎具有无边无际的自由, 可是 切实考察就会发现 , 它实际上被限制在一个狭隘 的范围之内,人的心灵所具有的创造力 ,只是将感 官和经验提供的素材加以混合 、 置换、 扩大或缩小 而已 。 休谟认为, 人类的理智并不能创造出什么新 的东西 ,其功能只是对那些感觉到的现实世界的 各种现象进行叠加 。对人类理智如此的贬低 ,在 所有的哲学家中休谟可能是第一人, 或许也正是 这个原因激发了康德的全力批判 。但是 ,人类理 智所具有的推理能力是不容置疑的, 休谟用自问 自答的方式对推理的本质进行了概括性的阐 述 15

46、 : 原因与结果的发现, 是不能通过理性,只能通 过经验 。 如果有人问: 我们对于事实所做的 一切推论的本性是什么? 合适的回答似乎是 : 这 些推论是建立在因果关系的基础上 。如果再问: 因果关系的推论和结论的基础是什么? 可以用一 句话来回答: 经验。如果继续刨根问底 : 由经验可 以得到一切结论的基础是什么 ? 关于最后一个问题, 休谟也回答不出来 ,在述 说了许多理由之后他说: “你想从过去的经验得知 事物的本性, 那是徒劳的 。因为即便是感性性质 不发生变化,它们的秘密本性仍然会发生变化,于 是它们的结果和作用也发生变化。 ”休谟断然认为 这个问题过于复杂, 不仅他回答不了,其他人

47、也回 答不了,他说: “你能通过逻辑 、 或者论证进行反驳 175 吗? 我把这个问题提给大家, 但是并不期待可能 得到解决问题的答案。我之所以这样做 ,虽然不 能增进知识,但至少可以知道自己的无知。 ” 事实上,休谟的逻辑顺序是简单的 : 人的认知 和推理的基础是经验 ,并且直接来源于经验; 因为 经验把握不了时刻发生变化的事物的本质 ,因此 人是无知的。这样, 休谟就把经验主义置于逻辑 上不可逆转的境地, 终于陷入了不可知论。 德国哲学家康德( i. kant ,1724 -1804) 对休 谟如此藐视人的理性表示愤慨 ,于是写出巨著纯 粹理性批判 。虽然这本巨著书名为批判,但实质 是对于

48、纯粹理性的评析 ,甚至是在论证纯粹理性 的可能性 ,因为康德在这本巨著的序言中说 : 主要问题仍然是: 知性和理性脱离一切经验 能够认识什么、认识多少 ? 这就要回到最原始的话题 , 人到底是如何获 取知识的 。我们曾谈到希尔伯特非常尊敬他的这 位同胞 ,他在几何基础第一版的扉页引用了康 德的一段话 16 544 : 人类的一切知识都是从直观开始 ,从那里进 到概念,而以理念结束。 在这里,康德强调了人的精神的力量,人的精 神基于一个积极主动的器官, 不仅能够将变化的 感觉归纳为确定的概念 ,也能将杂乱的经验整理 为清晰的理念 。为了说明这些, 康德首先定义了 两类直观 ,一类是经验直观,一类

49、是纯粹直观 。经 验直观可以理解, 什么是“纯粹直观”呢 ? 他解释 到 16 25 -29 : 我把一切在其中找不到任何属于感觉的东西 的表象称之为纯粹的( 在先验的理解中) 。因此, 一般感性直观的纯粹形式将会先天地在内心中被 找到 ,在这种纯粹形式中 ,现象的一切林林总总通 过某种关系而得到直观。感性的这种纯粹形式本 身也叫做纯粹直观。 就每一个个体而言, 我们对许多东西都找不 到感觉,可是就一般的人类而言,找不到感觉的那 些东西是什么呢 ? 康德认为是空间和时间 ,康德 对于空间和时间找不到任何感觉, 并且武断地认 为所有的人对空间和时间都找不到感觉 ,于是他 认为, 人们能够建立空间

50、和时间的概念是因为纯 粹直观而不是经验直观, 他很认真地阐述了理由: 空间不是什么从外部经验中抽引出来的经验 的概念 。 空间是一个作为一切外部直观之 基础的必然的先天表象。 空间决不是关于 一般事物的关系的推论的概念 ,或如人们所说 ,普 遍的概念 ,而是一个纯粹直观 。 这样 ,空间和时间就不是人们感觉到的东西, 而是人们用来整理感觉的工具 。如果感觉到了现 实世界的事物 ,那么 ,通过空间就可以分辨这个事 物与其他事物的位置关系 ,这就可以分辨事物的 性质差异; 通过时间就可以分辨这个事物与其他 事物的先后关系,这就可以分辨事物的顺序差异。 于是 ,康德就证明了 ,虽然知识的来源不可能超

51、越 经验 ,但并不都是依赖感觉、 单纯用归纳整理的方 法堆积出来的, 其中有一部分是由人的内心中先 天就存在的东西 、 即纯粹直观推断得到的 。这类 似莱布尼茨的说法, 心灵并不是一个白板,心灵原 来就包含了一些概念和学说的原则, 外界的对象 只是靠机缘把这些原则唤醒了 。当然, 康德论述 的比莱布尼茨更有条理也更加深刻 。 空间和时间是数学研究的基础 ,如果这个基 础是先验的,那么数学的规律也是先验的,是不依 赖于经验的“先天的综合判断” ,因此是绝对的、 必 然的永恒 。这样,在对于数学的认识上 ,康德又回 到了柏拉图的论点。 或许是因为柏拉图的思想更富有活力, 给人 以自信,许多数学家都

52、愿意接受柏拉图的观点,并 且不断地给予新的解释 ,使这个观点更加适应科 学的发现和时代的发展 17 。m . 克莱因在数学: 确定性的丧失 18 一书中从研究基础和论证模式 出发 ,把现代数学分为四个学派, 即逻辑主义 、 直 觉主义、 形式主义和集合论公理化 。事实上 ,集合 论公理化可以归于逻辑主义, 虽然在现代数学中, 集合论作为一种数学语言其作用越来越重要, 但 就本质而言 ,集合公理化只能是逻辑表达的一个 方面。下面 ,我们来简单地分析其余三派的认知 基础 。 形式主义的代表人物是希尔伯特 ,我们已经 说过 ,希尔伯特的认知哲学深受康德的影响 ,因而 是支持柏拉图的。形式主义的概念基

53、础是所谓的 第二次抽象,他们没有也不想回头看、 进而回归到 经验的层面,从这一点分析,他们比柏拉图走得更 远,他们认为“对待数学最可靠的方法不是把它当 作实际知识而是当作一种形式上的法则” 18 250。 逻辑主义的概念基础也是所谓的第二次抽 象。逻辑主义的代表人物是罗素, 罗素更主要的 是一位哲学家 ,他对柏拉图推崇备至。罗素在西 方哲学史中说 3 203 -204: 我应当同意柏拉图的说法, 纯粹数学并不是 从知觉得来的。纯粹数学包含的都是类似“人是 176 人”这样的同义反复 ,只不过是更为复杂罢了 。要 知道 ,判断一个数学命题是否正确 ,我们并不需要 研究世界, 而只需要研究符号的意

54、义 ; 而符号 ,当 我们省略了定义之后 ,只不过是“或者” 、 “不是”、 “一切”和“某些”之类的话语, 并不指向现实世界 中的任何事物。 在罗素的眼中 ,数学就是通过一些表示关系 的逻辑术语把表示概念的名词连接在一起 ,构成 话语或者命题 。显然 , 如果我们不顾及概念的实 际含义 ,那么就如罗素对数学的评述的那样 : “数 学的真理, 正如柏拉图所说 ,与知觉无关, 这是一 种非常奇特的真理, 仅仅涉及符号。 ”我们可以看 到,在认知哲学的层次上 ,逻辑主义和形式主义是 一致的。 整体说来, 直觉主义的理论体系是零乱的 ,但 对于数学的研究手法却是明确的。对于数学命题 正确与否的判断,

55、 进而是对数学论证方法合理与 否的判断 ,他们宁可相信人的直觉 ,也不相信形式 主义的那些形式和逻辑主义的那些逻辑 。比如他 们认为,关于无穷集合这样的概念 ,关于实数连续 性这样的性质, 关于排中律使用范围这样的规则, 人的直觉判断比形式化的逻辑推理更为有效 。有 一批大名鼎鼎的数学家支持这个观点 , 比如克罗 内克( l . kronecker , 1823 -1891) 、鲍莱尔( e. borel ,1871- 1956) 、勒贝格( h . lebesgue ,1875- 1941) 以及人们被誉为最后的数学全才的庞加莱 ( h . poincare ,1854 - 1912) 。可

56、是 ,人通过直觉得 到数学是如何存在的呢? 他们认为, 数学是人的 头脑的产物,它仅仅存在于人的头脑之中,是独立 于现实世界的 。于是, 正如 m . 克莱因认为的那 样,直觉主义可以追溯到笛卡尔和康德 ,这样又是 支持柏拉图的。 或许数学是特殊的, 也就是说 ,或许就认识论 而言数学的概念和原理的形成有其特殊性,因为, 被罗素称为“把认识论经验主义发展到了逻辑终 点”的休谟在论述到数学时也是笔下留情,给予特 殊处理,他在人类理智研究中说 19: 人类理性的全部对象可以自然地分为两类: 观念关系和事实关系。属于第一类的有几何 、 代 数、 三角诸学科。简而言之 ,任何一个命题, 只要 由直觉可

57、以发现其确切性 ,或者,由证明发现其确 切性 ,都可以属于第一类 。 看来 ,对于经验的作用,在休谟那里也是有商 量余地的 ,因为他所说的第一类对象是特殊的,是 不依赖经验的 。他认为 ,毕达哥拉斯定理的判断 就只凭借思想的作用 , 许多几何概念纵然在自然 界中没有原型 , 欧几里德的结论依然是真理 。可 以看到,这些说法即使不是柏拉图的,离柏拉图的 也不远了 。 既便如此, 我在本质上依然赞同亚里士多德 的看法。在现实世界中, 数学的基本概念、 即那些 抽象了的东西是不存在的 ,抽象了的概念只是表 现在每一个具体之中。更确切地说, 如果一个东 西在现实世界中是存在的, 那就不是抽象的 。不

58、管柏拉图多么希望建立永恒的知识, 但是我们必 须清楚,知识所依赖的抽象了的概念是人给出的, 并且是被某一个群体的人所认可的 。如果让人们 重新开始数学的研究 , 会有多少与现在的数学是 一样的 ? 任何一位了解数学的人都会知道 ,一定 不会是完全一样的 。不仅是数学学科, 其他学科 大概也是如此 。我们甚至可以更加刻薄地提出问 题,如果没有柏拉图和亚里士多德, 那么, 这场关 于柏拉图与亚里士多德引发的“名实之争”的事情 的本身是必然的吗? 是“真正的”存在吗 ? 正是因 为抽象了的东西是人抽象出来的, 这个抽象就必 然与某一个具体的人或者某一群具体的人有关, 那么, 这种抽象了的东西怎么可能

59、是真正的存在 呢? 抽象必须依赖于具体的人、必须依赖于具体 人的抽象能力, 关于这一点 , 不仅柏拉图没有注 意,就是亚里士多德也没有注意。我这里所说的 正是东方文化和西方文化的差异, 东方文化关注 一类事物以及这类事物与他类事物的差异, 西 方文化关注一般事物以及一般事物与具体事物的 差异。可惜的是, 这些问题已经超出了我们讨论 的范围。 我们能够感悟到乒乓球、足球是圆的,甚至知 道行星运动的轨迹基本是圆的, 但是圆这个概念 本身却是人为给出的 , 是从现实世界中许多具有 圆形的物体 ,或者具有圆形轨迹的运动中抽象出 来的 ,基于它们的共性就得到了概念: 到一个定点 的距离相等。在这个概念的基础上, 我们可以定 义一些点的集合,或者定义一个动点的运动方程; 进一步,在这个概念的基础上 ,我们可以讨论与之 有联系的各种关系, 比如周长与半径、 面积与半径 等等。很显然, 没有这些概念就没有数学, 因此, 没有抽象也就没有数学。但是, 这些概念本身却 177 周易系辞传开宗明义: 天尊地卑, 乾坤定矣。卑高以陈, 贵贱位矣。动静有常, 刚柔断矣。方以类聚, 物以群分, 吉凶生矣。 不存在于现实世界 , 它通过现实世界中的每一个 具体的存在而表现其存在 。 但是