数学概念的分类及度量性概念的教学思考

1、第1 9 卷第5 期数学教育学报v 0 1 1 9 ，n 0 5 2 0 1 0 年1 0 月j o u r n a lo fm a t h e m a t i c se d u c a t ! o no c t ，2 0 1 0 数学概念的分类及度量性概念的教学思考 章飞 ( 江苏教育学院数学系，江苏南京2 1 0 0 1 3 ) 摘要：数学概念可分为对象性概念、度量性概念、观念性概念度量性概念的获得过程，不同子对象性概念的概念同化、 概念形成，而是一个自主建构的过程或理解性接受的过程度量性概念的教学中，应鼓励学生自主建构概念，设置合理的探 究空间，关注对度量的确定性、合理性、优越性等属性的

2、理解 关键词：概念；度量性概念：心理过程；教学 中图分类号：g 4 2 0 文献标识码：a 文章编号：1 0 0 4 - 9 8 9 4 ( 2 0 1 0 ) 0 5 删0 - 0 3 概念既是思维的起点、又是数学思维的节点，因而在数 学学习中具有举足轻重的地位概念教学的研究，历来是数 学教学研究的重点但概念形式千变万化，不同类型概念的 学习心理和教学过程是有差异的为此，本文拟对概念进行 适当的归类，并分析过去较少研究的度量性概念的获得过 程，尝试给出其教学建议 1 数学概念的类型 对于数学概念，有人根据概念对象所反映属性的不同， 分为3 类：反映数学基本元素的概念，反映两个或两个以上 数学

3、基本元素之间相互关系的概念，反映数学元素具有的内 部特性的概念不揣深浅，从教学实施的角度，我们尝试将 概念分成6 类( 元素性概念、操作性概念、属性性概念、关 系性概念、度量性概念、观念性概念，其中前4 者都是直接 的数学研究对象，因此统称为对象性概念，如图l 所示) ，与 老师们共研 图l 数学概念的类型 1 1 元素性概念 这类概念反映不同层次的数、式、方程、函数、图形等 基本的数学元素，它们是数学学科的基本单元，是进行数学 思维的细胞数学中多数概念均属此类如一些几何图形( 直 线、射线、线段、角、三角形等) ，各种数的概念( 自然数、 整数、分数、小数、无理数等) ，各种式的概念，各种关

4、系 式( 各种特征的不等式、方程、函数等) 1 2 操作性概念 对上述数学基本元素进行某种操作活动的概念，如对 数、式等进行加减乘除等运算，对图形进行反射、平移、旋 转、位似等变换这些概念本身反映着一个运动变化的过程 或者现象，但由于这种现象的普遍性，因此，也成为了数学 研究的一个对象 1 3 属性性概念 这类概念反映具体数学元素内部所具有的某种特征( 性 质) 当然，这样的特征具有普遍的意义，成为研究这类数 学元素的一个重要视角甚至手段，因此，也成为了数学的研 究对象，给其冠以某个名称，形成概念如函数的周期性、 单调性、奇偶性、连续性、可导性等都是深入研究具体函数 形态的重要手段；图形的中心

5、对称性、旋转对称性、轴对称 性等成为分析图形性质的重要手段 1 4 关系性概念 这类概念反映了两个或两个以上数学基本元素之间的 某种联系，如整除、大小、相等、相反数、平行、垂直、全 等、相似、互为反函数、等价、包含等这种联系，有的成 为一种自然的现象，有的成为数学研究的一个重要的手段， 同样成为数学的研究对象 1 5 度量性概念 为了比较两个事物某个方面的差异，往往需要对该方面 的差异进行量化，借助某个量来进行比较，为此，自然就引 出了相应的度量数学中常见的度量有：刻画l 维线、2 维 面、3 维几何体大小的长度、面积、体积等，刻画两个点集 之间紧密程度的量( 如距离) ，刻画两个事物方向差异

6、的量 ( 如角) ，刻画楼梯、台阶、山坡等陡峭程度( 坡度) 的量( 正 切、正弦、余弦等) ，刻画数据平均水平和波动水平的几个 指标( 平均数、中位数、众数、极差、标准差、方差等) ， 刻画可能性大小的指标( 频率与概率，下面观念性概念中还 有概率，这里仅指选择某个数值去刻画某件事件的可能性大 小，而下文指如何认识这个值的意义以及随之建立的随机观 念) 等 这类概念和前面的对象性概念的差别在于，对象性概念 具有生活或者数学上的直接原型，为了研究方便而给它们赋 予一个名称而已，因此可能更多的是对背景、原型的抽象概 收稿日期：2 0 1 0 - 0 5 _ 2 7 基金项目：江苏省教育科学研究院

7、“十一五”规划课题基于活动的几何学习与课程设计( j s j y 2 0 0 9 y d l l ) 作者简介：章飞( 1 9 7 卜) ，男，江苏如皋人副教授主要从事数学课程与教学论研究 万方数据 第5 期章飞：数学概念的分类及度量性概念的教学思考 4 1 括；而度量性概念完全是人类心智的产物 1 6 观念性概念 一些概念学习的意义，并不在于判断某个对象是否符 合这个概念的定义，而在于能否运用这个概念内蕴的观念或 思想去解释现象或者解决问题，姑且称这样的概念为观念性 概念这样的概念有：函数、方程、不等关系和概率等如 方程，该概念的本质是建立未知与已知之间的联系，从而借 助己知量求得未知量；函

8、数的本质在于洞察两个变量之间的 内在依赖关系，并主动通过建构函数解决问题；同样，概率 的概念，也不在于理论概率是如何定义的，这个值如何计算， 更重要的在于能理解频率与概率之间的关系，树立正确的随 机观念，能以随机的观点思考有关问题因此，这些概念的 教学中，不要仅仅关注这些概念定义的语词的抽象，更关注 这些概念的丰富背景与运用，在背景与运用中形成相应的观 念、思想 2 度量性概念获得的心理过程与教学模式 由于对象性概念最为普遍，因此，概念教学的研究，多 侧重于对象性概念如概念获得的两种基本形式( 概念形成 和概念同化) ，实际上是针对对象概念而言的 概念形成：在教学条件下，从大量具体例子出发，从

9、学 生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的 本质属性其心理过程1 1 l 如图2 ： 辨别刺l 生茎：坌竺：鲞当l 找出共l 苎墨：竺骂l 确认本幽形成 激模式il 同属性ll 质属性li 概念 图2 概念形成的心理过程 概念同化：利用学生已有的知识经验，以定义的方式直 接向学生揭示概念的本质其心理过程1 1 如图3 ： 提供某给出 感受度 运用新度量 个任务 明晰 度量 检验、确认 量的合 强化 解决问题，并 将新概念纳感受度定义 理性、 入原有的概量的必回解 优越性 要问题念系统中 图3 概念同化的心理过程 显然，概念形成，依赖于丰富的原型：概念同化中，概 念的内涵与外延、概

10、念的辨认等都不自觉地将概念局限于对 象性概念了度量性概念，并不源于对背景、原型的抽象概 括，而是基于任务( 问题解决) 的产物，是人类心智的产物， 因此其获得的心理过程与上述迥异 度量是比较而存在的，没有对两个事物差异的比较，就 没有度量因此，度量性概念获得的第一个环节，应是呈现 某种比较任务，在任务解决中感受到建立比较标准( 度量) 的必要 具体度量的方法，不是天然存在的，而是人类的创造， 是人类探究的结果，因此，度量性概念的获得过程，不是情 境的抽象概括，而是人类自主的建构过程 如果学生没有建构概念的能力，可以选用明晰概念的教 学方式此时，学生的学习过程是一个对概念的检验、确认 的过程，确

11、认利用这一度量进行比较的合理性、优越性等其 相应的心理过程是： 给出定与原有认知区别干将新概 义( 揭示 分类、比较 结构建立联 辨认 原有认 强化 念纳入 本质属系明确新概 知结构 原有的 性、名称念的内涵和 中的某 概念系 和符号： 外延些概念 统中 图4 度量性概念建构的心理过程( 一) 相应的教学模式是：问题情境一明晰概念一理解概念一 运用巩固 如果学生具有建构概念的能力，一般应引领学生建构概 念当然，学生的建构，往往并不是一帆风顺的，需要尝试、 猜测，从而形成度量的某些雏形，更需要对这些雏形进行比 较、调整，从而最终确认合理的度量定义其相应的心理过 程是： 提供某得到 形成 运用新度

12、量 个任务 尝试、猜 度量 调整、选 度量 强化 解决问题。并 感受度 想、确认 的某 - - - 将新概念纳 量的必 些雏 择、确认 的概 入原有的概 念 要形念系统中 图5 度量性概念建构的心理过程( 二) 相应的教学模式是： 问题情境一探究( 猜测、交流、验证、确认) 一明晰概 念一运用巩固 3 度量性概念教学的一些建议 3 1 鼓励学生自主建构概念以发展学生探究能力 对象性概念，多有生活或者数学背景，概念获得过程 更多的是背景的抽象、概括或者归类；观念性概念的教学 中，更多的是在活动中教师的“揭示”和学生的“感悟”； 概念教学中，唯有度量性概念，需要进行真正意义上的自 主探究因此，教学

13、中，只要学生学力许可，应尽可能多 地让学生进行这些概念的自我建构，特别是那些新的度 量、相对较为复杂的度量如，初中阶段刻画数据波动水 平的几个量度，教科书上就设计了一个情景，要求学生比 较两组数据的稳定性，逐步建构出极差、方差、标准差等 概念 当然，如果是学生比较熟悉的概念，或者说前面已经有 了类似的度量，这时也可以考虑直接呈现如，探索得到正 切概念后，要求学生类似地探索正弦、余弦，学生恐怕就有 点厌烦了，倒也不妨换换花样，给学生一些变化，如可以要 求学生自学正弦的概念，并与正切进行比较再如在学习平 均数刻画数据平均水平的基础上，再学习中位数、众数等量 度，完全可以采用理解性接受的学习方式 3

14、 2 设置恰当的探究空间以让学生探究落到实处 学生探究，难免有挫折和失误，因此，教学中，要注意 给学生以时间和空间，进行探究结果的交流、研讨、调整； 探究，并非盲目瞎撞，适当的时候，需要给予学生一定方向 的指引，让学生在成功中提高探究的兴趣和能力这些都需 要教师先前的精心准备和设计 万方数据 数学教育学报第1 9 卷 例如，对于度量性概念正切，南京梅园中学陆艳老师 直接呈现问题【2 】：如何比较两个梯子的陡峭程度? 进而，提 供如图6 所示的6 个梯子，要求学生比较它们的倾斜程度 2 ml m 5 5 m 图6 梯子的倾斜程度 6 个图形对比，从何处入手、怎样入手完全由学生自己 探索，探究空间

15、很大但如何让这样的探究可行昵? 教师精 心设计了这些图形中的数据，梯度暗藏其中，让学生自己去 发现呈现的6 个梯子中，有等高的( 如) ，有等底的 ( 如) ，还有等比的( 如) ，这些给学生探究提供了 “抓手”，使得学生的探究成为可能，所有学生都能比较部分 梯子，获得探究的成功；“六个梯子比较，情况很多，这样 吧，你们先看看哪些容易比较一些，哪些不太好比，先从容 易的开始，然后逐步解决它们”，学生十分自然地由易到难， 并将难以比较的设法转化成容易比较的情况，如“将中横 边和竖边都缩小一半，就可以和比较了”，“中两条直角 边同时缩小为原来的1 1 3 ，使得底边变成l ，这样就可以和 比了”正

16、是这样，教师预先“嵌入”了难易程度不同 的探究问题，学生不自觉地从易到难地依次解决了问题，自 主建构了正切概念过程自然流畅，整个过程中学生的主体 性得到了很好的发挥( 教师的主导性则在于课前的问题设 计、数据设计和课堂上的穿针引线、暴露困难) 3 3 关注对度量的确定性等属性的理解 数学上的度量。一般具有这样几个属性：确定性、合理 性、优越性 所谓确定性，指对象一旦给定，这个度量就唯一确定 了如两条平行直线的距离中，用“夹在两条平行直线之间 的线段的长度”作为距离定义，就不恰当，因为这个长度没 有被唯一确定：为了使它确定下来，可以再增补一个要求比 如，“且与两条平行线相交成3 0 度”当然，数

17、学上，经常 用所谓最大化、最小化，将度量确定下来， 确定的未必合理，如用底和腰的差作为等腰三角形“正 度”的定义就不恰当因为，在这个定义下，两个相似三角 形的正度不一样 优越性，指这样的定义应尽可能符合人的认知规律，更 便于推广如两条平行直线的距离中，“垂线段”比“和两 条平行线相交成3 0 度的斜线段”作为定义更为优越，因为， 它更为自然，更符合人们的经验此外，垂线段最短，也符 合数学上距离概念的未来发展，可以推广到一般的两个点集 之间的距离概念 度量性概念的教学中，应注意这些属性的揭示如果采 取理解性接受的学习方式，在明晰概念之后，应通过具体案 例，揭示定义的这些要求如果采取学生自主建构的

18、学习方 式，一般而言，学生探究的结果不会唯一，这时自然需要引 导学生进行比较、辨析，在辨析过程中，让学生感悟到度量 的确定性、合理性、优越性 实际上，这样的经验十分重要在生活中、工作中，人 们常常需要对一些对象( 某两种材料、物品、方案等) 进行 比较，进而做出决策这时，一般都需要确定一个比较的标 准，而这种量化的标准实际上就是一个度量因此，在度量 性概念的教学中，我们务必让学生感受到度量定义的确定 性、合理性、优越性等要求，为后续学习、工作打下坚实的 基础 参考文献 【1 】肖柏荣数学概念学习的心理分析【j 】数学通报，1 9 9 4 ，( 2 ) ：9 _ l o 【2 】章飞数学教学设计

19、的理论与实践【m 1 南京：南京大学出版社，2 0 0 9 t y p eo fm a t h e m a t i c a lc o n c e p t sa n ds u g g e s t i o n sa b o u tm e a s u r e m e n tc o n c e p tt e a c h i n g z h a n gf e i ( m a t h e m a t i c sd e p a r t m e n t , j i a n g s ui n s t i t u t eo f e d u c a t i o n ，j i a n g s un a n j i n

20、 g2 1 0 0 1 3 ，c h i n a ) a b s t r a c t ：t h em a t h e m a t i c a lc o n c e p t sh a dt h r e et y p e s o b j e c tc o n c e p t , m e a s u r e m e n tc o n c e p t s ，i d e o l o g i c a l c o n c e p t t h e a c q u i s i t i o no ft h ec o n c e p to fm e a s u r e m e n tp r o c e s sw a sap r o c e s so fs