中考数学二次函数专题复习超强整理

1、初三二次函数归类复习初三二次函数归类复习 一、二次函数与面积一、二次函数与面积 面积的求法：公式法：面积的求法：公式法：1/2*1/2*底底* *高高分割法分割法/ /拼凑法拼凑法 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ A A y y O y y E E B B y y P P x xA A O D D B B x x A A O O B Bx x C C 图一图二 图三 y y C C D D MM y y y y E E N N D D C C B B A A x xO O E E x x O Ox x O O 图四图五 图六 2、抛物线y x 2x 3与x轴交与 A、B（点 A 在 B

2、 右侧） ，与y轴交与点 C， D 为抛物线的顶 点，连接， ， （1）求四边形的面积. （2）求的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向 的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图 中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程） 2 1 / 22 3、已知抛物线y 1 2x x 4与x 轴交与 A、C 两点，与y轴交与点 B， 2 （1）求抛物线的顶点 M 的坐标和对称轴； （2）求四边形的面积. 4 4、已二次函数y x 2x 3与x轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 P. （1 1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法； （2 2）

3、求 A、B、C、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3 3）在抛物线上（除点 C 外） ，是否存在点 N，使得S NAB S ABC , 若存在，请写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。 y 2 A A O O C C P P B B x 变式一：变式一：在抛物线的对称轴上是否存点 N，使得S NAB S ABC ，若存在直接写出 N 的坐标；若不存 在，请说明理由. 变式二：变式二： 在双曲线y 请说明理由. 2 / 22 A A C 变式一图 y B Ox 3 上是否存在点 N， 使得S NAB S ABC ， 若存在直接写出N 的坐标； 若不存在， x y y O B x

4、x C 变式二图 5、抛物线y x 2x 3与x轴交与A、B（点A在B右侧） ，与y轴交与点C，若点E为第二象限抛 物线上一动点， 点E运动到什么位置时，的面积最大,并求出此时点E的坐标和的最大面积 【模拟题训练】【模拟题训练】 1 （2015 三亚三模）如图，直线 2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，已知二次函数的图象经过 点 B、C 和点 A（1，0） （1）求 B、C 两点坐标； （2）求该二次函数的关系式； （3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点 D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的 等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由； （4

5、） 点 E 是线段上的一个动点， 过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F， 当点 E 运动到什么位置时， 四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E 点的坐标 2 二、二次函数与相似二、二次函数与相似 3 / 22 【相似知识梳理】【相似知识梳理】 二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐 标过程中需要用到相似三角形的一些性质， 如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。 其 实 破 解 难 点 以 后 不 难 发 现 ， 若 是 直 角 三 角 形 相 似 无 非 是 如 图 1-1 的 几 种 基 本 型 。 若是非直角三角形

6、有如图1-2 的几种基本型。 利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。 【例题点拨】【例题点拨】 2 【例 1】如图 1-3，二次函数y ax bx2的图像与x轴相交于点 A、B，与y轴相交于点 C，经过 点 A 的直线y kx 2与y轴相交于点 D，与直线垂直于点 E，已知 3，求这个二次函数的解析式。 y C E x O D A B 【例 2】如图 1-4，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为 C4, 3，且在x轴上截得的线段 的长为 6. （1）求二次函数解析式； （2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点 D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与相似？若存 在，求

7、出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由。 D1 Y D2 图1-3 H E O A C B X 【例 3】 如图 1-6， 在平面直角坐标系中， 二次函数y 1 2 （4,0） ， C （0,2） 。x bxc-的图像经过点 A 4 4 / 22 （1）试求这个二次函数的解析式，并判断点B（-2,0）是否在该函数的图像上； （2）设所求函数图像的对称轴与x轴交于点 D，点 E 在对称轴上，若以点 C、D、E 为顶点的三角形 与相似，试求点 E 的坐标。 y C O 1 A x 图1-6 【模拟题训练】【模拟题训练】 2 （2015 崇明县一模）如图，已知抛物线 线上的一点，且90 （1）求抛物

8、线的解析式； （2）求点 C 坐标； （3）直线 1 上是否存在点 P，使得 与 相似？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由 2经过直线 +1 与坐标轴的两个交点A、B，点C 为抛物 三、二次函数与垂直三、二次函数与垂直 【方法总结】【方法总结】 5 / 22 应用勾股定理证明或利用垂直应用勾股定理证明或利用垂直三垂直模型三垂直模型 【例【例 1 1】 ：如图，直线 l 过等腰直角三角形顶点B，A、C 两点到直线 l 的距离分别是 2 和 3，则的长是 （） 【例【例 2 2】 ：在平面直角坐标系中，抛物线2与 x 轴的两个交点分别为 A（-3，0） 、B（1，0） ，过顶点

9、 C 作x 轴于点 H. （1）直接填写：，顶点 C 的坐标为； （2）在 y 轴上是否存在点 D，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存 在，说明理由； y y 【例【例 3 3】 、 （2011山东烟台）如图，已知抛物线2-3a 过点 A（1,0） ， B(03),与 x 轴交于另一点 C.（1）求抛物线的解析式； （2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使为以点 B 为直角顶 点的直角三角形，求点P 的坐标； C CA A （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以为顶x xO O 点的四边形为直角梯形？若存在， 请求出点 Q 的坐标； 若不存在， 请

10、说明理由. B B ( (第第2626题图题图) ) 【模拟题训练】【模拟题训练】 3 （2015 普陀区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，0）和点 B（0，2m） （m0） ，点 C 6 / 22 在 x 轴上（不与点 A 重合） （1）当 与 相似时，请直接写出点C 的坐标（用 m 表示） （2）当 与 全等时，二次函数x 的图象经过 A、B、C 三点，求 m 的值，并求点 C 的坐标 （3）P 是（2）的二次函数图象上的一点，90 ，求点 P 的坐标及的度数 2 4如图，已知抛物线 1 的顶点坐标为 M，与 x 轴交于 A、B 两点 （1）判断 的形状，并说明理由； （2）过原点

11、的任意直线（不与y 轴重合）交抛物线于 C、D 两点，连接、 ，试判断、是否垂直，并说 明理由 2 四、二次函数与线段四、二次函数与线段 题目类型： 求解线段长度（定值，最值） ：充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角（ 30，45，60，90， 7 / 22 120等） 、特殊三角形（等腰、等腰直角、等边） 、特殊线（中位线、中垂线、角平分线、弦等） 、 对称、函数（一次函数、反比例函数、二次函数等）等知识。 222 判断线段长度关系：,2b, , 2c, a,a*2 【模拟题训练】【模拟题训练】 5 （2015山西模拟）如图1，P（m，n）是抛物线 21 上任意一点，l 是过点（0，2）且与

12、x 轴平 行的直线，过点 P 作直线l，垂足为 H 【特例探究】 （1）填空，当 0 时，；当 4 时， 【猜想验证】 （2）对任意 m，n，猜想与大小关系，并证明你的猜想 【拓展应用】 （3）如图 2，如果图 1 中的抛物线 21 变成 43，直线 l 变成（m1） 已知抛物线 43 的顶22 点为 M，交 x 轴于 A、B 两点，且 B 点坐标为（3，0） ，N 是对称轴上的一点，直线（m1）与对 称轴于点 C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线的距离等于该点到点N 的距离 用含 m 的代数式表示、及的长，并写出相应的解答过程； 求 m 的值及点 N 的坐标 五、二次函数与角度五、二次函

13、数与角度 结题方法总结结题方法总结 角度相等的利用和证明：直接计算平行线等腰三角形全等、相似三角形角平分线 性质倒角（1=3，2=31=2） 8 / 22 【构造三垂直模型法】【构造三垂直模型法】例 1：如图，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线 标为（4，2） ，若45，则点 P 的坐标为() 上一动点，点 A 的坐 【直接计算】【直接计算】例 2.如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C， 点 D 是抛物线的对称轴 与 x 轴的交点，点P 是抛物线上一点，且30，则符合题意的点P 的坐标为 () 2 y x2x 3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的

14、左【与几何图形结合】【与几何图形结合】例 4、二次函数 侧） ，与y 轴交于 C 点，在二次函数的图象上是否存在点P，使得为锐角？若存在，请你求出P 点的 横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。 2 【利用相似】【利用相似】例 3、已知抛物线 y ax bxc 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边） ， 与 y 轴交于点 C （0， 3） ， 过点C作 x轴的平行线与抛物线交于点D， 抛物线的顶点为M ， 直线 y x 5 9 / 22 经过D、M两点. （1）求此抛物线的解析式； （2） 连接AM、AC、BC， 试比较 MAB 和 ACB 的大小，并说明你的理由. 【模拟题训练】【

15、模拟题训练】 6 （2015 松江区一模）已知在平面直角坐标系中， 二次函数 的图象经过点（1，3）和点（1，5） ； （1）求这个二次函数的解析式； （2）将这个二次函数的图象向上平移，交y 轴于点 C，其纵坐标为 m ，请用 m 的代数式表示平移后 函数图象顶点 M 的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，如果点P 的坐标为（2，3） ，平分，求 m 的值 2 六、二次函数与平行四边形六、二次函数与平行四边形 解题方法总结解题方法总结：平行线的性质（同位角，内错角，同旁内角） 比较一次函数 k 值平行四边 形的性质注意多解性 【模拟题训练】【模拟题训练】 2 7如图，抛物线 3 与 x 轴

16、交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，直线 l与抛物线交于 A 、C 亮点， 其中 C 的横坐标为 2 （1）求 A 、C 两点的坐标及直线的函数解析式； （2）P 是线段上的一个动点，过点P 作 y 轴的平行线交抛物线于点E，求面积的最大值； 10 / 22 （3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点 F，使以 A、C、F、G 四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由 七、二次函数与图形转换七、二次函数与图形转换 常见图像变换常见图像变换：平移（上加下减，左加右减）轴对称（折叠） 【模拟题训练】【模拟题训练】 2

17、 8 （2014 西城区一模）抛物线 3 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，其中点 B 的坐标为（1，0） （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段上，记该抛物线为G，求抛物线 G 所对应 的函数表达式； 11 / 22 （3）将线段平移得到线段BC（B 的对应点为 B，C 的对应点为 C） ，使其经过（2）中所得抛物线 G 的顶点 M，且与抛物线 G 另有一个交点 N，求点 B到直线的距离 h 的取值范围 模拟训练题参考答案模拟训练题参考答案 1 考点： 二次函数综合题 分析： （1）分别令解析式 2 中 0 和 0，求出

18、点 B、点 C 的坐标； （2）设二次函数的解析式为 ，将点 A、B、C 的坐标代入解析式，求出a、b、c 的值，进而求得解析 式； （3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出的值，再以点C 为圆心，为半径作弧交对称 轴于 P1，以点 D 为圆心为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性 12 / 22 2 质及勾股定理就可以求出结论； （4）设出E 点的坐标为（a， 2） ，就可以表示出F 的坐标，由四边形的面积 求出 S 与 a 的关系 式，由二次函数的性质就可以求出结论 解答： 解： （1）令 0，可得 2， 令 0，可得 4， 即点 B（4，0）

19、 ，C（0，2） ； （2）设二次函数的解析式为 ， 将点 A、B、C 的坐标代入解析式得， 2 ， 解得：， 即该二次函数的关系式为 x22； （3） x22， （x ）2+， 抛物线的对称轴是 C（0，2） ， 2 在 中，由勾股定理，得 是以为腰的等腰三角形， 123 如图 1 所示，作x 对称轴于 H， 12， 1=4 P1（ ，4） ，P2（ ， ） ，P3（ ， （4）当 0 时，0= x22 x1=1，x2=4， ） ； 13 / 22 B（4，0） 直线的解析式为： 2 如图 2，过点 C 作于 M，设 E（a， 2） ，F（a， a a2 2 2） ， 2（ 2）= a +2

20、a（0 x4） 2 S 四边形 ， （ a +2a）+ （4a） （ a +2a） ， =a 4a （0 x4） =（a2） + 2 2 22 ，2 时，S 四边形的面积最大= E（2，1） 点评： 本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用， 勾股定理的运用，等 腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键 2 考点： 二次函数综合题 分析： （1）根据直线的解析式求得A、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）作x 轴于 D，根据题意求得，然后求得 ，根据相似三角形对应边成比例求得2，从而 设，则 C（2，2m）

21、，代入抛物线的解析式即可求得； （3）分两种情况分别讨论即可求得 解答： 解： （1）把 0 代入 1 得，1， A（0，1） ， 把 0 代入 1 得，2， B（2，0） ， 把 A（0，1） ，B（2，0）代入 2 2 得，解得， 抛物线的解析式 1， （2）如图，作x 轴于 D， 90， 90， ， ， ， 2， 14 / 22 2， 设， C（2，2m） ， 代入 2 1 得，2 （2） （2）+1，解得，2 或 0（舍去） ，2 C（4，4） ； （3）1，2， ， B（2，0） ，C（4，4） ， 2， 当 时，则 =，解得， = ， 作x 轴于 E，则 ， =，即=， 1， P

22、的纵坐标为1，代入 1 得，0 或 4， P（0，1）或（4，1） ； 当 时，则 即=，解得，4 =， ， 作x 轴于 E，则 ， =，即=， 4， P 的纵坐标为4，代入 1 得，6 或 10， P（6，4）或（10，4） ； 综上，P 的坐标为（0，1）或（4，1）或（6，4）或（10，4） 点评： 本题是二次函数和一次函数的综合题， 考查了待定系数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是 解题的关键 3 考点： 二次函数综合题 分析： （1）分类讨论： ， ，根据相似三角形的性质，可得答案； （2）根据全等三角形的性质，可得C 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （3）根据相似

23、三角形的性质，可得关于a 的方程，根据解方程，可得a 的值可得 p 点坐标，分类讨论： 当点 P 的坐标为（，1）时，根据正弦函数据，可得的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点 P 的坐标为（，1）时，根据正弦函数据，可得的度数，根据三角形外角的性质，可得答案 解答： 解： （1）点 C 的坐标为（m，0）或（4m，0） 或（4m，0） ； （2）当 与 全等时，点 C 的坐标为（m，0） ， 2 二次函数x 的图象经过 A、B、C 三点， 15 / 22 ，解得 2 二次函数解析式为x +4，点 C 的坐标为（2，0） ； 2 （3）作于 H，设点 P 的坐标为（a，a +4） ，

24、 90，90， ， 2 =， 即， 22 （a +4） =（2） （2a） 解得，或，即 P（，1）或（ 如图： 当点 P1的坐标为 （， 1） 时，P1 1=2， ，1） ， 30， 75 当点 P 的坐标为（，1）时，P2，P230 由三角形外角的性质，得P22，即15 点评： 本题考查了二次函数综合题， （1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角 形的性质，解三元一次方程组； （3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰 三角形的性质，三角形外角的性质 4 考点： 二次函数综合题 分析： （1）由抛物线的解析式可知1，得出45从而得出 是等腰

25、直角三角形 （2）分别过 C 点，D 点作 y 轴的平行线，交 x 轴于 E、F，过 M 点作 x 轴的平行线交于 G，交于 H， 设 D（m，m 1） ，C（n，n 1） ，通过，得出 22 =，从而求得m、n 的关系，根据m、n 的关系， 得出 ，利用对应角相等得出90，即可求得结论 解答： 解： （1） 是等腰直角三角形理由如下： 2 由抛物线的解析式为： 1 可知 A（1，0） ，B（1，0） ， 1， 45， 90， ， 是等腰直角三角形 （2）理由如下： 分别过 C 点，D 点作 y 轴的平行线，交 x 轴于 E、F，过 M 点作 x 轴的平行线交于 G，交于 H， 22 设 D（

26、m，m 1） ，C（n，n 1） ， 22 n，1n ， ， 1， 1， 22 ， ， 16 / 22 ， =， 即=， 解得 ， n，n， =， 90， ， ， 90 90， 90， 即 5 （2015山西模拟）如图1，P（m，n）是抛物线 21 上任意一点，l 是过点（0，2）且与x 轴平行的直线， 过点 P 作直线l，垂足为 H 【特例探究】 （1）填空，当 0 时，1，1；当 4 时，5，5 【猜想验证】 （2）对任意 m，n，猜想与大小关系，并证明你的猜想 【拓展应用】 （3）如图 2，如果图 1 中的抛物线 21 变成 43，直线 l 变成（m1） 已知抛物线 43 的顶点为 M，

27、22 交 x 轴于 A、B 两点，且 B 点坐标为（3，0） ，N 是对称轴上的一点，直线（m1）与对称轴于点 C，若对 于抛物线上每一点都有：该点到直线的距离等于该点到点N 的距离 用含 m 的代数式表示、及的长，并写出相应的解答过程； 求 m 的值及点 N 的坐标 考点： 二次函数综合题 分析： （1）根据勾股定理，可得的长，根据点到直线的距离，可得可得的长； 17 / 22 （2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得的长，根据点到直线的距 离，可得的长； （3）根据该点到直线的距离等于该点到点N 的距离，可得，根据线段的和差，可得的长； 对于抛物线上每一点都有：

28、该点到直线的距离等于该点到点N 的距离，可得方程，根据解方程，可 得 m 的值，再根据线段的和差，可得的长 解答： 解： （1）当 0 时，P（0，1） ，1，1（2）=1； 当 4 时，3，P（4，3） ， 故答案为：1，1，5，5； （2）猜想： ， 证明：交 x 轴与点 Q， P 在 2 5，3（2）=3+2=5， 1 上， 22 设 P（m， m 1） ， 是直角三角形， 1|， ， 2+1， （2）=（ m 1）（2） 22+1 （3）m1，2， 理由如下：对于抛物线上每一点都有：该点到直线的距离等于该点到点N 的距离， M（2，1） ，即m1 m2（m1）=2 点 B 的坐标是（3

29、，0） ，1，2 由勾股定理，得， 对于抛物线上每一点都有：该点到直线的距离等于该点到点N 的距离，得 22 即 1+（2） =（m） 解得 由 22 = ，即 N（0， ） ， ，N 点的坐标是（0， ） 点评： 本题考查了二次函数综合题，利用了勾股定理，点到直线的距离，线段中点的性质，线段的和差，利用 的知识点较多，题目稍有难度 6 考点： 二次函数综合题 分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M 点的坐标； （3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组， 可得答案 2 解答：

30、解： （1）由二次函数 的图象经过点（1，3）和点（1，5） ，得 18 / 22 ，解得 2 二次函数的解析式 4x； 2 （2） 4x 的顶点 M 坐标（2，4） ， 这个二次函数的图象向上平移，交y 轴于点 C，其纵坐标为 m， 顶点 M 坐标向上平移 m，即 M（2，m4） ； （3）由待定系数法，得的解析式为 如图： 作于 G，设 G（a，） ， 由角平分线上的点到角两边的距离相等， 在 和 中 （） 4，2， ， ， 化简，得 836， 解得 点评： 本题考察了二次函数综合题， （1） 利用了待定系数法求函数解析式，（2） 利用了二次函数顶点坐标公式， 图象的平移方法； （3）利用

31、了角平分线的性质，全等三角形的性质 7 考点： 二次函数综合题 分析： （1）将A 的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C 点横坐标代入抛物线的解析式中，即可 求出 C 点的坐标，再由待定系数法可求出直线的解析式 （2）欲求 面积的最大值，只需求得线段的最大值即可的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可 设 P 点的横坐标为 x，用 x 分别表示出 P、E 的纵坐标，即可得到关于的长、x 的函数关系式，根据所 得函数的性质即可求得的最大值 （3）此题要分两种情况：以为边，以为对角线确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的 性质求出 F 点的坐标 2 解答： 解： （1）将 A（1，0）

32、，代入 3， 得 1b3=0， 解得 2； 2 2x3 2 将 C 点的横坐标 2 代入 2x3， 得3， C（2，3） ； 直线的函数解析式是x1 19 / 22 （2）A（1，0） ，C（2，3） ， 1，2， S（） 3 ， 当取得最大值时， 的面积取最大值 设 P 点的横坐标为 x（1x2） ， 2 则 P、E 的坐标分别为：P（x，x1） ，E（x，x 2x3） ； 22 P 点在 E 点的上方， （x1）（x 2x3）=x 2， 当 时，的最大值= 则 S 最大 （3）存在 4 个这样的点 F，分别是 F1（1，0） ，F2（3，0） ，F3 （4+，0） ，F4（4，0） 如图，连接 C 与抛物线和 y 轴的交点， C（2，3） ，G（0，3） X 轴，此时 2， F 点的坐标是（3，0） ； 如图，2，A 点的坐标为（1，0） ，因此 点的坐标为（1，0） ； =，即 的面积的最大值是 F 如图，此时 C，G 两点的纵坐标关于 x轴 对称，因此 G 点的纵坐标为 3，代入抛物线中即可得出G 点的坐标为（1，3） ，由于直线的斜率与 直线的相同，因此可设直线的解析式为，将G 点代入后可得出直线的解析式为