高数第六章课件

1、高 等 数 学,第六章 定积分,第一节 定积分的概念与性质,第二节 微积分学基本定理,第三节 定积分的换元法和分部 积分法,第四节 广义积分,基本要求：了解反常积分的审敛法；熟悉定积分的概念、几何意义、微积分的基本公式；掌握定积分的运算。 重点：定积分的定义；牛顿-莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法。 难点：积分上限函数及其求导方法；广义积分的计算。,一、引入定积分概念的两个实例,设函数y=f(x)在区间a, b 上非负、连续. 由直线x=a、x=b、 Y=0及曲线y=f (x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边. 如何计算其面积？,第一节 定积分的概念与性质,1.

2、曲边梯形的面积,解决步骤 :,1) 分割.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 近似.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3) 求和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,元素法,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,y=f (x),.,分法越细，越接近精确值,1. 曲边梯形的面积,f (i),元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,f (i)

3、,元素法,4 取极限,y=f (x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1 化整为零,2 以直代曲 (以常代变),3 积零为整,f (i),S =,.,S,2.变速直线运动的路程,已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S.,(1)分割:,T1=t0t1t2 * tn-1tn=T2, Dtititi+1;,(2)近似:,物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为,Siv(i)Dti ( ti1 iti );,物体在时间段T1, T2内所经过的路程近似为,(3)求和:,(4)取极限:,记max

4、Dt1, Dt2, Dtn, 物体所经过的路程为,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,1. 曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题， 将其一般化，就得到定积分的概念.,(i1, 2, n),作和,maxDx1, Dx2,Dxn; 在小区间xi1, xi上任取一点xi,记Dxi=xi-xi1 (i1, , n),个分点: ax0x1x2 xn1xnb;,设函数f(x)在区间a, b上有界.,极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和xi的取法无关, 则

5、称此极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记为,即,二、定积分的定义,在区间a, b内插入n-1,如果当0时, 上述和式的,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,2.函数的可积性,定理1:如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x) 在区间 a, b上可积. 定理2:如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限 个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积.,1.定积分的定义,三、定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,解 把区间0, 1分成n等

6、份, 分点为和小区间长度为,例1. 利用定义计算定积分,取 ,作积分和,解 函数 y1x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为 曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积.,因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是 一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以,例2 用定积分的几何意义求,两点规定,四、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,注：值得注意的是不论a b c的相 对位置如何上式总成立,性质4,推论1,如果在区间a b上 f (x)g(x) 则,如果在区间a b上 f (x)0 则,推论2,这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以,即,|,.,设M及m分别是

7、函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则,(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a b上连 续则在积分区间a b上至少存在一个点x ,使下式成立,这是因为, 由性质5变形得,由介值定理, 至少存在一点xa, b, 使,两端乘以ba即得积分中值公式.,性质5,性质6,注:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,性质7,解,例3 估计积分 的值,定义,第二节 微积分学基本定理,一、积分上限函数及其导数,定理1,分析:,前提,只须,(i) 解决了原函数的存在性问题,(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系,(iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据,比较变

8、速直线运动中,共同点:,定理3,分析:,前提条件,二、牛顿 莱布尼茨公式,证明:,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,证,令,例4 求,原式,例5 设 , 求 .,解,解,例6 求,解,由图形可知,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,小结,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,则,第三节 定积分的换元法和 分部积分法,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原

9、函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,. 解 换元： ， ； 换限： ， ， ， ，,例1 计算,所以没有换限.,例2 计算 .,解法1.,原式 .,解法2.,由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量,例3 计算,解,原式,推导,二、定积分的分部积分法,定理2,例4 计算,解,令,则,解,例5 计算 .,例6 计算 .,解,例7 计算,解,例8 设 ，求 .,解,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,小 结,定积分的分部积分公式,（注意与不定积分分部积分法的区别）,一、无限区间上的广义积分,第四节 广义积分,例1 计算广义积分,解,例2 计算广义积分,解,证,证,二、无界函数的广义积分,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕