电磁场理论2010第4章.ppt

1、电磁场理论基础,微波通信教研室 丁卫平 副教授,理工大学通信工程学院卫星通信系,第4章 静态场边值问题,电磁场理论基础,本章主要内容,4.1 唯一性定理 4.2 分离变量法 4.3 镜像法,4.1 唯一性定理,1、分布型问题：已知电荷、电流分布，求场量,正向问题：已知电荷、电流分布，求 等。,反向问题：已知 等，求电荷、电流分布。,分布型问题和边值型问题,一、静态场问题的类型,第三类边值问题（混合型问题）： 已知部分边界表面的 值，其它边界表面的 值。,第一类边值问题（狄里赫利问题）： 已知全部边界上各点的 值。,2、边值型问题：已知给定区域的边界条件，求该区域中的场量和位函数。归结为在一定边

2、界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程。,根据已知边界条件的不同，边值问题分为三种类型：,第二类边值问题（牛曼（诺诶曼）问题）： 已知全部边界上各点的 值。,二、静态场边值型问题的解法,两大类： 1、解析法（得到一个函数表达式）：镜像法、分离变量法、复变函数法、格林函数法等。 2、数值法（建立数学模型，用计算机求解，得到研究区域中离散点的场强或位函数值。）：时域有限差分法（FDTD）、有限元法（FEM）、矩量法（MoM）等。,三、唯一性定理,唯一性定理：满足给定边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。,4.2 分离变量法,概述,直接使用分离变量法的适用条件： 1、偏微分方程为齐次方程； 2、

3、方程各项是仅对一个变量的偏微分。,分离变量法是求解偏微分方程的一种数学方法。,解题步骤：,3、利用给定的边界条件，确定通解中的常数，得到所求问题的特解。,1、根据已知导体与介质分界面的形状，选择适当的坐标系，写出 的展开式；,2、将偏微分方程分离为若干个常微分方程，求出通解；,一、直角坐标系中二维 的解,设电位分布只是x、y变量的函数，与z无关。,设,（1） c1= c2= 0,c1、c2的取值有三种可能：,此时的解称为拉普拉斯方程的零解：,通过代入边界条件，发现k不能取任意值，只能取一些离散的值。,由于拉普拉斯方程是线性的，它的所有解的线性组合仍然为拉普拉斯方程的解，因此，方程的通解为：,（

4、a）,（3）,c1 为正数， c2为负数,与（2）相同的方法，得到拉普拉斯方程的通解：,（b）,当求解的问题在x 轴方向只有一个零值时，应选（b）式；,当求解的问题在y 轴方向只有一个零值时，应选（a）式。,通解形式的选择：,尺寸为 的接地导体槽的上方是一块密实但与之绝缘的金属盖板，其电位为U0。设电位沿纵深方向z无变化。求：槽内的电位分布。,例 题：,二、极坐标系中 的解,极坐标系中拉普拉斯方程为：,为了将偏微分方程分离为常微分方程， 假定解的形式为：,c1、c2的取值有三种可能： （1） c1= c2= 0,在圆柱坐标系中， 是 的周期函数，周期为2 所以k为整数，k=n,该解不合理,在均

5、匀电场 中，放置一根半径为a、介电常数为的无限长均匀介质圆柱体，它的轴线与 垂直，柱外是自由空间，介电常数为0，求圆柱内外的电位函数和电场强度。,例 题：,4.3 镜 像 法,主要内容,静电场中的镜像法 恒定磁场中的镜像法 电轴法,一、静电场中的镜像法,镜像法的根据是唯一性定理 用镜像法求解静电场问题的关键是寻找合适的镜像电荷 寻找镜像电荷的方法是从边界条件出发,1、平面导体与点电荷,设一个接地的无限大导体平板前方有一个点电荷q，它到平板的垂直距离是x0，取直角坐标系，x=0的平面与导体平面重合。求x0区域的电位函数,2、平面导体与线电荷,一对水平架设的双导线距地面高度为h，导线轴线间的距离为

6、D，导线半径为a（aD，ah）。导线上单位长度的带电量分别为 ，求地面以上空间的电位，以及受地面影响时双导线的分布电容。,3、相交无限大导体平面与点电荷,有两个相交成直角的接地导体平面，在P1点有点电荷q，它与两导体平面的距离分别为h1、h2，计算第一象限的电位和电场。,4、接地导体球与点电荷,接地导体球半径为a，在球外与球心相距d1的P1点有一个点电荷q，求球外的电位函数。,5、对地绝缘的带电导体球与点电荷,对地绝缘的带电导体球半径为a，在球外与球心相距d1的P1点有一个点电荷q，求球外的电位函数。,6、柱面导体与线电荷,在半径为a的无限长导体圆柱和与之平行的无限长线电荷 构成的系统中，求圆柱体外的电位分布。,7、两平行圆柱导体的分布电容,二、恒定磁场中的镜像法,电力线与电壁垂直,电壁： 的光滑平整表面 磁壁： 的光滑平整表面,1、电壁和磁壁,磁力线与磁壁垂直,2、电流元的镜像,真电流元平行于磁壁,真电流元垂直于磁壁,真电流元平行于电壁,真电流元垂直于电壁,一金属球壳的内外半径分别为R1和R2，球