2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)导数的应用一 理 北师大版

1、第十一节导数的应用(一)【考纲下载】1了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1函数的单调性与导数2函数的极值(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数

2、值都大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点3函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件：一般地，如果在区间a，b上，函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x

3、)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件2导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)x3，在x0处，有f(0)0，但x0不是函数f(x)x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件3函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数的极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间

4、a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值1如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(3,2)上是减函数C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,2)上是单调函数解析：选A当x(3,0)时，f(x)0，得ex10，即x0.3设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x

5、)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选Df(x)ln x，f(x)，当x2时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x2时，f(x)0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0(f(x)0)当x(0,1)，f(x)0时，函数f(x)3x2x2ln x单调递增当x(1，)，f(x)0时，函数f(x)3x2x2ln x单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)f(x)4x，若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x)4x0或f(x)4x0，

6、即4x0或4x0在1,2上恒成立即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或00，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9 (3)(2013福建高考)已知函数f(x)xaln x(aR)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；求函数f(x)的极值自主解答(1)当x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(，2)上是增函数当2x0.(1x)f(x)0，f(x)0，即f(x)在(2,1)上是减函数当1x2时，1x0，f(x)2时，1x0.(1x)f

7、(x)0，即f(x)在(2，)上是增函数综上：f(2)为极大值，f(2)为极小值(2)f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，即ab6，又a0，b0，ab2，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.(3)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a

8、)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值答案(1)D(2)D函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的附近两侧的符号下结论(3)已知极值求参数若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反1(2013浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数

9、f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1 处取到极大值 C当k2时，f(x)在x1处取到极小值 D当k2时，f(x)在x1处取到极大值 解析：选C当k1时，f(x)(ex1)(x1)，0,1是函数f(x)的零点当0x1时，f(x)(ex1)(x1)1时，f(x)(ex1)(x1)0,1不会是极值点当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，零点还是0,1，但是当0x1时，f(x)0，由极值的概念，知选C.2已知函数f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值

10、，且对任意的x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围解：(1)f(x)a，x0，当a0时，f(x)0时，令f(x)0得0x0得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x处有极小值综上所述，当a0时f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，由(1)可知a1，f(x)x1ln x.又f(x)bx2，x1ln xbx2，即1b.令g(x)1，g(x)，当0xe2时，g(x)e2时，g(x)0，即g(x)在(e2，)上为增函数，g(x)在xe2处取得最小值，g(x)ming(e2)1，即b1.故实数b的取值范围

11、为.考点三利用导数研究函数的最值问题 例3(2013广东高考)设函数f(x)(x1)exkx2(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k时，求函数f(x)在0，k上的最大值M.自主解答(1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2)令f(x)0，得x10，x2ln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(，0)，(ln 2，)(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex

12、2k)，令f(x)0，得x10，x2ln(2k)，令g(k)ln(2k)k，则g(k)10，所以g(k)在上递增，所以g(k)ln 21ln 2ln e0，从而ln(2k)k，所以ln (2k)0，k，所以当x(0，ln(2k)时，f(x)0；所以Mmaxf(0)，f(k)max1，(k1)ekk3令h(k)(k1)ekk31，则h(k)k(ek3k)，令(k)ek3k，则(k)ek3e30，所以(k)在上递减，而(1)(e3)0，当k(x0,1)时，(k)0，h(1)0，所以h(k)0在上恒成立，当且仅当k1时等号成立综上，函数f(x)在0，k上的最大值M(k1)ekk3.【方法规律】求函数

13、f(x)在a，b上最值的方法(1)若函数f(x)在a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值(2)若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值解：(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为

14、f(2)4，所以切线方程为y6x8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得x11，x2a.当a1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0极大值3a1极小值a2(3a)4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3个注意点利用导数求极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则； (2)

15、f(x0)0时，x0不一定是极值点； (3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论. 压轴大题巧突破(一)利用导数研究函数的极值、最值问题典例(2013浙江高考)(14分)已知aR，函数f(x)x33x23ax3a3.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x0,2时，求|f(x)|的最大值化整为零破难题(1)切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可；(2)基础问题1：|f(x)|的最大值与f(x)的最值之间有什么关系？如果函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则|f(x)|的最大值必定是|M|和|m|中的一个因此要求|f(

16、x)|的最大值，应求f(x)的最值基础问题2：如何求函数yf(x)，x0,2的最值？由于f(x)是关于x的三次函数，因此，f(x)在0,2上的最值为函数f(x)在0,2上的端点值或极值从而只要求出f(x)在0,2上的端点值f(0)，f(2)及其极值，然后比较其绝对值的大小即可基础问题3：如何求f(x)在0,2上的极值？要求f(x)在0,2上的极值，应利用导数研究函数f(x)在区间0,2上的单调性，即研究f(x)3(x1)23(a1)(0x2)的函数值符号，由于0x2，所以03(x1)23.故应分3(a1)0,3(a1)3，33(a1)0，即a1，a0,0a1三种情况讨论当a1或a0时，函数f(

17、x)为单调函数，故只需比较|f(0)|与|f(2)|的大小即可；当0a0，f(x)极大值f(x)极小值0，从而可确定f(x)极大值|f(x)极小值|.因此|f(x)|maxmax，由于0a|f(2)|，a1时，|f(2)|f(2)|f(0)|.故当0a时，只需比较|f(0)|与f(x)极大值的大小即可；当a1时，只需比较f(2)与f(x)极大值的大小即可规范解答不失分(1)由题意得f(x)3x26x3a，故f(1)3a3. 2分又f(1)1，所以所求的切线方程为y(3a3)x3a4. 4分(2)由于f(x)3(x1)23(a1)，0x2，故()，有f(x)0，此时f(x)在0,2上单调递减，故

18、|f(x)|maxmax|f(0)|，|f(2)|33a. 5分()，有f(x)0，此时f(x)在0,2上单调递增，故|f(x)|maxmax|f(0)|，|f(2)|3a1. 6分 ()当0a1时，设x11，x21，则0x1x20，f(x1)f(x2)4(1a) 0，从而f(x1)|f(x2)|.所以|f(x)|maxmaxf(0)，|f(2)|，f(x1). 10分a.，f(0)|f(2)|.又f(x1)f(0)2(1a)(23a)0，故|f(x)|maxf(x1)12(1a). 11分b.，|f(2)|f(2)，且f(2)f(0)又f(x1)|f(2)|2(1a)(3a2)，所以，f(x

19、1)|f(2)|.故f(x)maxf(x1)12(1a).12分，f(x1)|f(2)|.故f(x)max|f(2)|3a1. 13分综上所述，|f(x)|max 14分易错警示要牢记易错点一处易忽视对a0和a1两种情况的讨论，而直接令f(x)0，求出x11，x21而导致解题错误易错点二处易发生不会比较f(x1)与|f(x2)|的大小，造成问题无法求解，或求解繁琐，进而造成解题失误易错点三处易发生不知如何比较f(0)，|f(2)|，f(x1)三者大小而造成问题无法后续求解事实上，此处的分类依据是：先比较出f(0)与|f(2)|的大小，然后利用二者中的较大者再与f(x1)比较大小易错点四处易忽视

20、要得出f(x1)与f(0)及f(2)的大小关系，只需判断34a的符号即可，从而不能恰当分类，导致无法求解或求解错误全盘巩固1已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d)解析：选C依题意得，当x(，c)时，f(x)0；当x(c，e)时，f(x)0.因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，)上是增函数，又abf(b)f(a)2(2014淄博模拟)若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，则导函数f(x)的图象不可能是(

21、)解析：选D若函数f(x)ax3bx2cxd有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数f(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x轴，观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的，即f(x)的图象不可能是D.3函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1B(0,1C1，) D(0，)解析：选B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，可得0f，排除A；取函数f(x)(x1)2，则x1是f(x)的极大值点，但1不是f(x)的极小值点，排除B；f(x)(x1)2，1不是f(x)的极小值点，排除C.5已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()

22、A2或2 B9或3C1或1 D3或1解析：选Ay3x23，当y0时，x1.则x，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)yyc2c2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.6(2013湖北高考)已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2) Bf(x1)0，f(x2)0，f(x2) Df(x1)解析：选Df(x)ln x2ax1，依题意知f(x)0有两个不等实根x1，x2.即曲线y11ln x与y22ax有两个不同交点，如图由直线yx是曲线y11ln x的切线，可知：02a1，且0x11x2.a.由0x11

23、，得f(x1)x1(ln x1ax1)0，当x1x0，当xx2时，f(x)f(1)a.7(2014赣州模拟)若函数f(x)x3x2ax4恰在1,4上单调递减，则实数a的值为_解析：f(x)x3x2ax4，f(x)x23xa.又函数f(x)恰在1,4上单调递减，1,4是f(x)0的两根，a144.答案：48已知函数f(x)x33mx2nxm2在x1时有极值0，则mn_.解析：f(x)3x26mxn，由已知可得或当时，f(x)3x26x33(x1)20恒成立与x1是极值点矛盾，当时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，显然x1是极值点，符合题意，mn11.答案：119已知函数f(x)的定义域

24、为1,5，部分对应值如表，x1045f(x)1221f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，下列是关于函数f(x)的命题：函数f(x)的值域为1,2；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2) 11.已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最

25、大值和最小值解：(1)由f(0)1，f(1)0得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex.依题意须对于任意x(0,1)，有f(x)0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f(0)a0，所以须f(1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对任意x(0,1)有f(x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x(0,1)，f(x)xex0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围为0,1(2)因为g(x)(2ax1a)ex，所以g(x)(2ax1a)ex.当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，

26、在x1处取得最大值g(1)e.当a1时，对于任意x(0,1)有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.当0a0.()若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.()若1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a，g(1)(1a)e，则当a时，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a0，f(x)0.函数f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，令f(x)0，得0，x0，ax2x10，14a.()当0，即a时，得ax2x10，

27、故f(x)0，函数f(x)的单调递增区间为(0，)()当0，即a时，方程ax2x10的两个实根分别为x1，x2.若a0，则x10，x20.函数f(x)的单调递增区间为(0，)，若a0，则x10，此时，当x(0，x2)时，f(x)0，当x(x2，)时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间(2)由(1)得，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增，故函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，则f(x)有极大值，极大值为f(x2)ln x2axx2，其中x2.而axx210，即axx21，f(x2)ln x2.设函数h(x)ln x(x0)，则h(x)0，则h(x)ln x在(0，)上为增函数又h(1)0，则h(x)0等价于x1.f(x2)ln x20等价于x21.即当a0时，方程ax