Mathematica教程-5用Mathematica求解线性代数基本问题.ppt

1、用Mathematica求解线性代数基本问题,一、构造矩阵 两种方式输入矩阵,1、输入和构造矩阵 矩阵是一个数表，在Mathematica中构造并输入一个已知矩阵就相当于构造一个表。例如，键入 tt=a,b,c a,b,c 不一定是数，可以是一个图形等 在Mathematica中就构造了一个名为tt的3维向量a,b,c； 键入t0=1，2，3，4，5，6 则得到一个名为t0的2行3列的矩阵。,2、也可利用工具栏或菜单输入矩阵 点击工具栏上的矩阵输入的工具，就会得到一个二行二列的矩阵输入框，若不是二行二列的矩阵，可通过按Ctrl+Enter键增加一行，按Ctrl+,键增加一列，用鼠标选定一行（或

2、一列），按Del键可删除一行(或一列）。通过这样的操作，就可输入任意一个矩阵。下面的图演示了这个过程。,例,矩阵的输出默认是数表形式，也可利用MatrixForm命令将其输出为矩阵想形式。 如果要访问一个矩阵的某一个元素，比如t0的第一行第二列元素，用t01,2就代表该元素。 中括号表示指定位置，不能少,例,3、利用系统函数生成矩阵 Mathematica提供了很多生成向量和矩阵的命令，简述如下表所示。,例,对角线上为a,b,c,d,例（续）,二、矩阵的基本运算,矩阵运算是线性代数的基本内容。常规的矩阵运算有矩阵的加减法、数乘、乘法、行列式，转置和逆矩阵等。在Mathematica中只要一个运

3、算符或调用一个函数即可完成上述运算 下表给出了矩阵加法和乘法的一般形式,例,例（续）,二、矩阵的运算,下表列出矩阵的其他一些运算,例,例,例,例,求下列矩阵的秩及行向量组的一个极大无关 组，并将其余行向量表成它的线性组合：,Mathematica没有直接求矩阵秩的函数，但我们可以通过RowReduce函数求出行最简形，从而求出矩阵的秩。 注意由于是求行向量组的极大无关组，所以应求AT的出行最简形。,例,三、求解线性方程组,对于线性方程组Ax=b，若方程组有惟一解，由用Solve函数即可求解。但更好的方法是用NullSpace函数和LinearSolve函数。 首先用NullSpace函数求出A

4、x=0的基础解系，再用LinearSolve函数求出Ax=b的一个解（如果存在的话），由此就可求出Ax=b的通解。,例,例（续）,四、特征值与特征向量,下表列出求特征值与特征向量的函数,例,例（续）,五、向量正交化运算,在Mathematica的LinearAlgebraOrthogonalization程序包中有对向量单位化和对一组向量正交化的函数。下面仅列出施密特正交化函数。,示例,例,试求一个正交变换，将二次型 化为标准形式,例（续）,模块和块中的变量,前面我们学习了有关Mathematica的各种基本运算及操作,为了使Mathematica更有效的工作,我们可对Mathematica进

5、行模块化运算。在模块内部通过编写一系列表达式语句,使其实现一定的功能。在Mathematica内部也提供了很多程序包,我们将学习如何调用它们。 一般情况下,Mathematica假设所有变量都为全局变量。也就是说无论何时你使用一个你定义的变,Mathematica都假设你指的是同一个目标。然而在编制程序时,你则不会想把所有的变量当作全局变量,因为如果这样程序可能就不具有通用性,你也可能在调用程序时陷入混乱状态。下面给出定义模块或块和局部变量的常用形式,Mathematica中的模块工作很简单,每当使用模块时,就产生一个新的符号来表示它的每一个局部变量。产生的新符号具有唯一的名字,互不冲突,有效

6、的保护了模块内外的每个变量的作用范围。 首先来看Module函数，这个函数的第一部分参数里说明的 变量, 只在Module内起作用. body执行体，包含合法的Mathematica语句，多个语句之间可用“ ;”分割.,In1:=t=10; Modulet=5,t=t+2 Out2=7 In3:=t Out3=10,In3:=t Out3=10,可以对模块中的任意局部变量进行初始化,这些 初始值总是在模块执行前就被计算出来,Mathematica中的模块允许把某变量名看作 局部变量名。然而又存在有时你又希望它们为 全局变量时,但变量值为局部的矛盾,这时可以 用Block函数。,在Mathema

7、tica中编制程序时,必须使程序中的各个部分尽可能的独立,这样程序才便于读懂、维护和修改。确保程序各部分不相干的主要方法是设置具有一定作用域的变量。在Mathematica中有两种限制变量作用域的基本方法:模块(Module)和块(Block)。实际程序中，模块比块更具普遍性。然而在交互式计算中需要定义作用域时,块更实用。 Modulevars,body所要做的是把执行模块时表达式body的形式看成Mathematica程序的“代码”。然而当“代码”中直接出现变量vars时，这些vars都被看作局部的。Blockvars,body并不查看表达式body的形式，而在整个计算Body的过程中，使用

8、vars的局部值。,下例中我们根据i定义m: ln12:=m=i2 Out12:=i2 在计算i+m的整个过程中使用块中i的局部值: h13:=Blocki=a，i+m Out13=a+a2 而对于下面的例子，只有直接出现在i+m中的i，才被看作局部变量: In14:=Modulei=a，i+m Out14=a+i2,条件结构,条件结构的常用形式。,ln1:=If 10,1+2,2+3 Out1=3,ln3:g=1/:x0 ln4:g=-1/:x0,用“?”显示用/:condition定义的函数g的完整信息:,符号条件 在Mathemahca中,有一种可能的情况就是你给出的条件结果既不是真也不

9、为假。下面测试的结果既不是真也不是假,因此If的两个分支保持不变:,可以给If加上第三个条件结果,允许测试的结果 既不是真也不是假的情况下使用它,下面给出处理符号条件的函数。因x=x,故Mathematica给 出结果为真.但Mathematica在下面情况下以符号等式输出: ln4:=x=y Out4:=x=y 可以用TrueQ表达式来处理符号条件. 除非表达式能得出真,否则都被假设为假. ln5:=TrueQx=x Out5=True ln6:=TrueQx=y Out6=false,用“=”可直接测试两个表达式的等同性: In7:=x=y Out7:=False 一般情况下,“=”返回值

10、为真(True)或假(False),而“=”为符号形式输出,表示一个符号等式。在 特殊情况下可用“=”测试一个表达式的结构,而用“=”测试数学上的等同性。,逻辑表达式的运算形式,循环结构,Mathematica程序的执行包括对一系列Mathematica表达式的计算。对简单程序, 表达式的计算可用分号“；”来隔开,然后一个接一个地进行计算。然而,有时你需要对同一表达式进行多次计算,即循环计算。,Do循环结构,While与For结构,在Mathematica程序中，Do是以结构方式进行循环的，然而有时你需要生成非结构循环。此时，运用函数While和For是合适的。下面是While和For函数的循环结构形式:,一些特殊的赋值方式,重复运用函数,流程控制,函数程序结构的流程控制一般来说比较简单，但是在应用While或For等循环时就比较复杂了，这是因为他们的流程控制依赖于表达式的值。而且在这样的循环中，流程的控 制并不依赖于循环体中表达式的值。有时在编制Mathematica程序时，在该程序中，流程控制受某一过程或循环体执行结果的影响