本第二章-2控制系统的动态数学模型.ppt

1、控制系统的动态数学模型,第二章,本课程讨论的主要内容：,系统,输入,输出,？,稳 定 性,快 速 性,准 确 性,第一节 控制系统的运动微分方程 第二节 系统的传递函数 第三节 系统的传递函数方框图及其简化 第四节 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数,控制系统的动态数学模型,为了分析某一物理系统的特性，就必须对这个系统建立数学表达式。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。,可见，分析和设计系统，首先的任务就是要建立系统的数学模型。,经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理

2、定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。,静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。,动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。,常用的数学模型： 微分方程、传递函数、状态空间方程等。,本质：是表示输入和输出关系的数学关系式。,机械系统：牛顿力学定律,电学系统：基尔霍夫电压电流定律、电容、电感电路，运算放大器原理，晶体管原理等。,机电系统：电动机的特性方程。,（一）知识回顾：,牛顿第二定律：,第一节 控制系统的运动

3、微分方程,胡克定律 ：,阻尼定律：,在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型。阻尼力F的大小与运动质点的速度的大小成正比，方向相反，c为粘性阻尼系数，其数值须由振动试验确定。,转动惯量定理：转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。,转动惯量定理：,其中, M是扭转力矩（扭矩也叫转矩） J是转动惯量, 是角加速度,阻性元件：,感性元件：,容性元件：,基尔霍夫电压定理：电网络中的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。,运算放大器：其信号输入输出功率很小，

4、增益很大，通常位于电路的前端。,两个重要特征： 同相端和反相端电压相等（虚短）； 同相端和反相端的输入电流近似为零（虚断）,在没有外接元件的情况下，运算放大器就是个比较器，同相端电压高的时候，会输出近似于正电压的电平，反之也一样只有在外接电路的时候，构成反馈形式，才会使运放有放大，翻转等功能,电枢控制式直流电动机,电动机转矩：,反电动势：,（二）建立数学模型的一般步骤 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端

5、输出，导数降幂排列,例1 两级RC滤波网络,（1）明确系统的输入和输出,输入,输出,（2）列出各环节的微分方程,已知：输入、系统,未知：输出,三个未知量 三个方程,例2,直流电动机,(1) 输入：,输出：,(2) 列方程：,其中，,例3,例4,求输入为力 ，输出位移,输入位移 输出位移,A,在A点力平衡：,B,在B点力平衡：,消去中间变量 难,输入 输出,中间变量 消除困难,如图所示为汽车悬挂系统原理图,当汽车在道路上形势时，轮胎的垂直位移是一个运动激励，作用在汽车的悬挂系统上。该系的运动由质心的平动和绕质心的转动组成。建立在垂直方向上的运动的简化数学模型。设汽车轮胎的垂直位移为输入量，车体垂

6、直运动为输出量。,图所示是组合机床动力滑台铣平面时的情况。当切削力变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量。,为了分析这个系统，首先将动力滑台连同铣刀抽象成质量弹簧阻尼系统。,（三）、非线性系统数学模型的线性化,线性系统,可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 线性系统系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统；,非线性系统,用非线性微分方程描述的系统。,叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。,线性是指系统满

7、足叠加原理，即：,判断下列微分方程,(6),式中，nm; an、bm均为系统结构参数所决定的定常数 。（n，m=0、1、2、3）,设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描述系统的微分方程的一般形式为 :,机械控制系统的动态性能往在是用非线性微分方程来表示的，而非线性的微分方程式无一般解法；为研究分析问题的方便，常根据实际工程问题的情况将其进行线性化处埋，改非线性微分方程式为某参考点附近的增量线性微分方程式。,实例：单摆运动线性化,解：根据牛顿第二定律：,拉氏变换和拉氏反变换,补充,微分方程代数方程,一、拉氏变换及其特性,（一）拉氏变换的定义,时间函数f(t)，当t0时， f(t)=

8、0， t0时， f(t)的拉氏变换计为Lf(t)或F(s)，且定义为,式中 s= + j,L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、 F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。,虚数单位,表2-1常用函数的拉氏变换对照表,根据表格直接写出结果,（二）、拉氏变换的主要定理,1线性定理,2. 延迟定理,对任一正实数a,3. 位移定理,（实数或复数a ）,4. 相似定理,5微分定理,式中f(0+)表示当t在时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)值，相当于初始条件。,式中f(0+)、 f (1)(0+) 、 f (n-2)(0+) 、 f (n-1)(0+)分别为各阶导数在t时间坐标轴的右端趋于零时的 f

9、(t) 值，如果所有这些初值为零，则,例 试求下面微分方程式的拉氏变换式已知各阶导数初值为零。,解：利用线性定理和微分定理，可得,6.积分定理,式中 为 在t时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。,式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) 、 f (-n)(0+) 为式中f(t)的各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有,7初值定理,8终值定理,例：已知 ，求f(t)的终值。,二、拉氏反变换及其计算方法,（一）拉氏反变换的定义,式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s)在该点及其邻域不处处可导。,已

10、知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就称为拉氏反变换，计作,(二).拉氏反变换的计算方法,1.查表法,2. 部分分式展开法,(利用逆变化的线性原理),控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式,为实数,称留数,留数的方法可分为下面三种情况研究。,(1).不同实数极点情况 的求法,例1 求 的拉氏反变换。,解：,查表：,(2). 包含有共轭极点的情况,使上式两边的实数部分相等，得到一个方程。同样，使方程两边的虚数部分相等，得到另一个方程，根据这两个方程就可以确定1和2。,例2 求 的拉氏反变换。,由此得：,(3). 包含有多重极点的情况,有r个多重极点,下面得到的就是F(s)的

11、拉普拉斯反变换：,的拉氏反变换是由下式,例2-13求 的拉氏反变换,解：,因而上式拉氏反变换为,将A1、A2、B1、B2 代入前面方程得,一、传递函数的概念,第二节 系统的传递函数,当全部初始条件为零时（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0），输出量 的拉氏变换 与输入量 的拉氏变换 之比叫做系统的传递函数 。,设线性定常系统输入为 ，输出为 ，描述系统的微分方程的一般形式为 :,两边拉氏变换,特征方程,令传递函数分母等于零等到的方程称为系统的特征方程，特征根。,当s=0时 系统的放大系数或增益,从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零

12、。K 系统处于静态时，输出与输入的比值。,二、几个概念,放大系数,的根,，称为传递函数的零点；,的根,，称为传递函数的极点；,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！,零点、极点,零、极点分布图,传递函数的零、极点分布图：,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。,零点用“O”表示 极点用“”表示,传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n阶系统。,说明在复数域内，输入信号乘以传递函数就是输出信号。传递函数代表了系统对输入和输出的传递关系。,系统阶次,例 试写出具有下述微分方程式的传递函数。,（）,（）,解：按

13、（2-53）式，则传递函数为,（）,（）,三、典型环节及其传递函数,环节:具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。 任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。,假设系统有b个实零点，c 对复零点，d 个实极点，e对复极点和v个零极点，由线性系统传递函数的零、极点表达式,比例环节：,一阶微分环节：,二阶微分环节：,积分环节,惯性环节：,振荡环节：,一般，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节分别称为：,实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间,此时,因此，除了上述六种典型环节

14、外，还有一类典型环节延迟环节,1、比例环节Proportional link,输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。,其运动方程为,分别为环节的输出和输入量；,比例系数，等于输出量与输入量之比。,两边取拉氏变换得,2、惯性环节,凡运动方程为一阶微分方程,形式的环节称为惯性环节其传递函数为：,式中,K环节增益（放大系数）；,T时间常数，表征环节的惯性，和环节结构参数有关。,如：弹簧-阻尼器环节,3、微分环节 Differential link,一阶微分环节,运动方程：,二阶微分环节,式中，T为常数； x 为阻尼比。,理想微分,如：测速发电机,无负载时,式中 为电机常数。,无源微分网络

15、,显然，无源微分网络包括有惯性环节和 微分环节，称为惯性微分环节，只有当 |Ts|1时，才近似为微分环节。,微分电路,4、积分环节Integral link,输出量正比于输入量对时间的积分。,运动方程为：,传递函数为：,式中，T积分环节的时间常数。,例 如图所示的油缸，其输入为流量q，输出为油缸活塞的位移x，试写出其传递函数。,液压积分环节,解：活塞的速度为,所以位移,式中A活塞的面积,对上式取拉氏变换，并整理，则得其传递函数为 ：,注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与输出量后的传递函数而定。

16、,例 如图所示的无源网络，输入量为回路电流i,而输出量为uc，试写出其传递函数。,电气积分环节,解：电容器充电电流i与电容器两端的电压uc关系为,进行拉氏变换得传递函数为,含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，,5、振荡环节Second-order link,运动方程为：,传递函数为：,式中，,T振荡环节的时间常数,阻尼比，对于振荡环节，0 1,K比例系数,振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 （K=1）：,称为无阻尼固有角频率。,x,x,如：质量-弹簧-阻尼系统,传递函数：,6、延时环节Delay link,运动方程：,传递函数：,式中，为纯延迟时间

17、。,延迟环节与惯性环节的区别：,惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；,延迟环节从输入开始之初，在0 时间内,没有输出，但t=之后，输出等于之前时刻的输入。,小结,环节是根据微分方程划分的，不是具体的 物理装置或元件；,一个环节往往由几个元件之间的运动特性 共同组成,同一元件在不同系统中作用不同，输入输 出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,第三节 系统的传递函数方框图及其简化,一、传递函数方框图,概念：一个系统可由若干个环节按照一定的关系组成，将这些环节以方框表示，其间用相应的变量及信号流向联系起来，就构成了系统的方框图。 实质：是系统数学

18、模型的一种图解方法。,如图所示，图中指向框图单元的箭头表示输入，从框图出来的箭头表示输出，箭头上标明了相应的信号，G(s)表示其传递函数。,函数方框,(一)方框图的结构要素,如图2-15 所示，比较点代表两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件，或称比较器。箭头上的“+”或“-”表示信号相加还是相减，相加减的量应具有相同的量纲。,比较点(相加点),如图 所示，分支点表示信号引出和测量的位置，同一位置引出的几个信号，在大小和性质上完全一样。,引出点(分支点),(二)系统方框图的建立,(1)建立系统(或入件)的原始微分方程；,(2)对这些原始微分方程进行拉氏变换，并根据各拉氏变换式中的因果关系

19、，绘出相应的方框图；,(3)按照信号在系统中传递、变换的过程(即流向)，依次将各传递函数方框图连接起来 (同一变量的信号通路连接在一起)，系统输入量置于左端，输出量置于右端，使得到系统的传递函数方框图。,如：质量-弹簧-阻尼系统,令,如：质量-弹簧-阻尼系统,如：质量-弹簧-阻尼系统,两级RC滤波网络,列出各环节的微分方程,输入：,输出：,二、方框图等效简化法则,1.串联连接 各环节一个个顺序连接称为串联,前一框图的输出为后一框图的输入。G1(s)、G2(s)为各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为：,由串联环节所构成的系统，当前后方框之间无负载效应时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积

20、。 当系统由n个环节串联而成时，总传递函数为：,式中Gi(s)第i个串联环节的传递函数(i=1，2，n ),凡有几个环节的输入相同，输出相加或相减的连接形式称为并联。图2-18为两个环节的并联，共同的输入为X(s)，总输出为:,总的传递函数为,2.并联连接,并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节传递函数之和（或差）。 推广到n个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，即,式中Gi(s)第i个并联环节的传递函数(i=1，2，n ),反馈信号与输入信号相加的称为“正反馈”，与输入信号相减的称为“负反馈”。,由图可见：,3. 反馈连接,式中，传递函数分母的“+”号对应于负反馈情况，而“-”号对应于正反馈情况。,在前向通路中，所有经过的环节的乘积。可由下式计算：,常用的几个术语,前向通道,信号沿箭头方向从输入直到输出，并且每一路径不要重复的通道。,前向通道传递函数,H(s)称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即,反馈回路传递函数：