数值计算方法34.ppt

1、第二章 插值与逼近,2.4 Newton插值法,数值计算基础,华长生制作,2,2.4 Newton插值法,我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为,形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多,由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成,共n+1个多项式的线性组合,那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？,华长生制作,3,显然，多项式组,线性无关，,因此，可以作为插值基函数,华长生制作,4,有,再继续下去待定系数的形式将更复杂,为此引入差商和差分的概念,华长生制作,5,一、差商(均差),定义1.,称,依此类推,华长生制作,6,差商具有如下性质(请同学们自证)：,显

2、然,华长生制作,7,(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变,如,用余项的 相等证明,华长生制作,8,差商的计算方法(表格法):,规定函数值为零阶差商,差商表,Chashang.m,华长生制作,9,二、差分,定义2.,华长生制作,10,依此类推,可以证明,如,华长生制作,11,差分表,华长生制作,12,在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,华长生制作,13,依此类推,华长生制作,14,三、Newton基本插值公式,设插值多项式,满足插值条件,则待定系数为,华长生制作,15,称,定义3.,由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为,为k次多项式,华长生制作,16

3、,因此可得,华长生制作,17,因此,一般,Newton插值 估计误差的 重要公式,另外,华长生制作,18,四、Newton插值公式,由差商与向前差分的关系,Newton插值基本公式为,如果假设,1.Newton向前(差分)插值公式,华长生制作,19,则插值公式,化为,其余项,化为,华长生制作,20,称,为Newton向前插值公式,插值余项为,华长生制作,21,插值余项为,根据向前差分和向后差分的关系,如果假设,可得Newton向后插值公式,2.Newton向后(差分)插值公式,华长生制作,22,五、Newton插值公式的使用,由于高次插值多项式的Runge现象,Newton插值公式 一般也采用

4、分段低次插值,分段线性Newton插值,(1),(2),Newton分段二次插值,华长生制作,23,(3),Newton分段三次插值,余项为,余项为,华长生制作,24,(4),从(2),(3)两种情况可知,若,对分段二次及分段三次插值都没有相应的插值公式,若,对分段三次插值也没有相应的插值公式,此时应改用Newton基本后插公式,此处只列出公式,余项为,华长生制作,25,(5),插值余项为,分段线性Newton向前(差分)插值,(6),分段二次Newton 向前(差分)插值,华长生制作,26,(7),分段二次Newton 向后(差分)插值,依此类推,请同学们写出分段三次 向前和向后Newton公式及余项,在实际应用中,究竟使用几次插值多项式呢?,华长生制作,27,例1. 教材P87.例 1，用Newton基本插值公式计算,例2. 教材P87.例 2，用Newton等距插值公式计算,五、Newton基本插值公式的算法设计,Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时, 计算只要增加一项,这点是Lagrange插值