圆的有关证明与计算题专题

1、圆的证明与计算 专 题 研 究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析： 1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的

2、相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半

3、径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，ab是o的直径，bcab，adoc交o于d点，求证：cd为o的切线；（2）如图，以rtabc的直角边ab为直径作o，交斜边ac于d，点e为bc的中点，连结de，求证：de是o的切线.（3）如图，以等腰abc的一腰为直径作o，交底边bc于d，交另一腰于f，若deac于e（或e为cf中点），求证：de是o的切线.（4）如图，ab是o的直径，ae平分baf，交o于点e，过点e作直线edaf，交af的延长线于点d，交ab的延长线于点c，求证：cd是o的切线.2、与圆有关

4、的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程

5、，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形1：如图1：ab是o的直径，点e、c是o上的两点，基本结论有：（1）在“ac平分bae”；“adcd”；“dc是o的切线”三个论断中，知二推一。（2）如图2、3，de等于弓形bce的高；dc=ae的弦心距of（或弓形bce的半弦ef）。（3）如图（4）：若ckab于k，则：ck=cd；bk=de；ck=be=dc；ae+ab=2bk=2ad;adcacbac2=adab（4）在(1)中的条件、

6、中任选两个条件，当bgcd于e时（如图5），则：de=gb；dc=cg；ad+bg=ab；adbg=dc2 图形2：如图：rtabc中，acb=90。点o是ac上一点，以oc为半径作o交ac于点e，基本结论有：（1）在“bo平分cba”;“bode”;“ab是o的切线”;“bd=bc”。四个论断中，知一推三。（2）g是bcd的内心； ；bcocdebode=coce=ce2；（3）在图（1）中的线段bc、ce、ae、ad中，知二求四。（4）如图（3），若bc=ce，则：=tanade；bc：ac：ab=3：4：5 ；（在、中知一推二）设be、cd交于点h，,则bh=2eh图形3：如图：rtab

7、c中，abc=90,以ab为直径作o交ac于d，基本结论有：如右图：（1）de切oe是bc的中点； （2）若de切o，则：de=be=ce； d、o、b、e四点共圆ced=2acdca=4be2, 图形特殊化：在（1）的条件下如图1：deababc、cde是等腰直角三角形；如图2：若de的延长线交ab的延长线于点f，若ab=bf，则：;图形4：如图，abc中，ab=ac，以ab为直径作o，交bc于点d，交ac于点f，基本结论有：（1）deacde切o；（2）在deac或de切o下，有：dfc是等腰三角形；ef=ec；d是 的中点。与基本图形1的结论重合。连ad，产生母子三角形。图形5：以直角梯

8、形abcd的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有：（1）如图1：ad+bccd； cod=aeb=90； od平分adc（或oc平分bcd）；（注：在、及“cd是o的切线”四个论断中，知一推三）adbc2=r2；（2）如图2，连ae、co，则有：coae，coae=2r2(与基本图形2重合)（3）如图3，若efab于f，交ac于g，则：eg=fg.图形6：如图：直线pro的半径ob于e，pq切o于q，bq交直线pq于r。基本结论有：（1）pq=pr (pqr是等腰三角形)；（2）在“prob”、“pq切o”、“pq=pr”中，知二推一（3）2prre=brrq=be2r=ab2图形7：如图，a

9、bc内接于o，i为abc的内心。基本结论有：（1）如图1，bd=cd=id；di2deda；aib=90+acb;（2）如图2，若bac=60，则：bd+ce=bc.图形8：已知，ab是o的直径，c是 中点，cdab于d。bg交cd、ac于e、f。基本结论有：（1）cd=bg；be=ef=ce；gf=2de(反之，由cd=bg或be=ef可得：c是 中点)（2）oe=af，oeac；odeagf（3）bebg=bdba（4）若d是ob的中点，则：cef是等边三角形； 四、范例讲解：1.abp中，abp=90，以ab为直径作o交ap于c点，弧=，过c作af的垂线，垂足为m，mc的延长线交bp于d

10、.（1）求证：cd为o的切线； （2）连bf交ap于e，若be=6，ef=2，求的值。2直角梯形abcd中，bcd=90，ab=ad+bc，ab为直径的圆交bc于e，连oc、bd交于f.求证：cd为o的切线 若，求的值3如图，ab为直径，pb为切线，点c在o上，acop。（1）求证：pc为o的切线。（2）过d点作deab，e为垂足，连ad交bc于g，cg=3，de=4，求的值。4。如图，已知abc中，以边bc为直径的o与边ab交于点d，点e为 的中点，af为abc的角平分线，且afec。（1）求证：ac与o相切；（2）若ac6，bc8，求ec的长5.如图，rtabc，以ab为直径作o交ac于点

11、d， ，过d作ae的垂线，f为垂足.（1）求证：df为o的切线；（2）若df=3，o的半径为5，求的值.6如图，ab为o的直径，c、d为o上的两点， ，过d作直线bc的垂线交直线ab于点e，f为垂足.（1）求证：ef为o的切线；（2）若ac=6，bd=5，求的值.7如图，ab为o的直径，半径ocab，d为ab延长线上一点，过d作o的切线，e为切点，连结ce交ab于点f.（1）求证：de=df； （2）连结ae，若of=1，bf=3，求的值.8如图，rtabc中，c=90，bd平分abc，以ab上一点o为圆心过b、d两点作o，o交ab于点一点e，efac于点f.（1）求证：o与ac相切；（2）若

12、ef=3，bc=4，求的值.9如图，等腰abc中，ab=ac，以ab为直径作o交bc于点d，deac于e.（1）求证：de为o的切线；（2）若bc=，ae=1，求的值. 10如图，bd为o的直径，a为 的中点，ad交bc于点e，f为bc延长线上一点，且fd=fe.（1）求证：df为o的切线；（2）若ae=2，de=4，bdf的面积为，求的值.11、如图，ab是o的直径，m是线段oa上一点，过m作ab的垂线交ac于点n，交bc的延长线于点e，直线cf交en于点f，且ecf=e（1）求证：cf是o的切线；（2）设o的半径为1，且ac=ce，求的长12、如图，ab是o的直径，bcab，过点c作o的切线ce，点d是ce延长线上一点，连结ad，且ad+bc=cd.（1）求证：ad是o的切线；（2）设oe交ac于f，若of=3，ef=2，求线段bc的长.13、如图，abc中，ab=bc，以ab为直径的o交ac于点d，且cd=bd.（1）求证：bc是o的切线；（2）已知点m、n分别是ad、cd的中点，bm延长线交o于e，ef